Prime Numbers

Σε αυτό το βίντεο θέλω να μιλήσω λίγο για

το τι σημαίνει να είναι κάποιος πρώτος αριθμός

και αυτό που ελπίζω να δείτε σε αυτό το βίντεο

είναι αυτό τη σχετικά στρωτή ιδέα

αλλά καθώς θα προχωράτε στην μαθηματική σας καριέρα

θα δείτε ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα αρκετά προχωρημένες ιδέες

που μπορούν να χτιστούν πάνω στην ιδέα του πρώτου αριθμού

και αυτό περιλαμβάνει την κρυπτογραφία

και ίσως κάποια από την κρυπτογράφηση που ο υπολογιστής σας

χρησιμοποιεί αυτή τη στιγμή είναι βασισμένη σε πρώτους αριθμούς.

Αν δεν ξέρετε τι σημαίνει κρυπτογράφηση

δε χρειάζεται να ανησυχείτε για αυτό τώρα

απλά πρέπει να ξέρετε ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι

αρκετά σημαντικοί. Οπότε θα σας δώσω τον ορισμό

και ο ορισμός μπορεί να είναι λίγο μπερδευτικός

αλλά όταν τον δούμε με παραδείγματα θα πρέπει να είναι σχετικά απλός.

Ένας αριθμός είναι πρώτος αν είναι φυσικός αριθμός

όπως για παράδειγμα 1, 2, ή 3 (οι αριθμοί που μετράνε ξεκινούν από το 1)

ή θα μπορούσατε να πείτε "οι θετικοί ακέραιοι"

αν είναι ένας φυσικός αριθμός που να διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς: τον εαυτό του και το 1.

Αυτοί είναι οι δύο αριθμοί από τους οποίους μπορεί να διαιρείται.

Αν αυτό δε σας βγάζει νόημα ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Ας βρούμε αν κάποιοι αριθμοί είναι πρώτοι ή όχι.

Ας ξεκινήσουμε με τους μικρότερους φυσικούς αριθμούς.

Τον αριθμό 1. Έτσι θα μπορούσατε να πείτε ότι "το 1 διαιρείται από το 1"

και ότι "το1 διαιρείται από τον εαυτό του", επ, το 1 είναι πρώτος αριθμός.

Αλλά θυμηθείτε, το μέρος του ορισμού μας, πρέπει να διαιρείται

από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς. Το 1 διαιρείται μόνο από έναν φυσικό αριθμό, μόνο από το 1.

Έτσι το 1, ακόμα και αν φαίνεται κάπως περίεργο, δεν είναι πρώτος αριθμός.

Ας προχωρήσουμε στο 2.

Το 2 διαιρείται από το 1 και από το 2, και από κανέναν άλλο φυσικό αριθμό.

Έτσι μοιάζει να τηρεί τις προϋποθέσεις μας.

Διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς.

Τον εαυτό του και το 1. Οπότε ο αριθμός 2 είναι πρώτος.

Θα κυκλώνω τους αριθμούς που είναι πρώτοι.

Ο αριθμός 2 είναι ενδιαφέρων γιατί

είναι ο μόνος ζυγός αριθμός που είναι πρώτος.

Αν το σκεφτείτε, ο οποιοσδήποτε άλλος ζυγός αριρθμός

θα διαιρείται επίσης από το 2, οπότε δε θα είναι πρώτος.

Θα το δούμε και σε παρακάτω βίντεο αυτό.

Ας δοκιμάσουμε το 3. Ε, το 3 διαιρείται σίγουρα από το 1 και από το 3

και δε διαιρείται από κάτι άλλο στο μεταξύ.

Δε διαιρείται από το 2. Άρα το 3 είναι επίσης ένας πρώτος αριθμός.

Ας δούμε το 4.

Το 4 σίγουρα διαιρείται από το 1 και από το 4, αλλά

διαιρείται επίσης από το 2. Έτσι διαιρείται

από τρεις φυσικούς αριθμούς: το 1, το 2 και το 4.

Έτσι δεν τηρεί τις προϋποθέσεις μας για τους πρώτους αριθμούς.

Ας δούμε το 5.

Το 5 σίγουρα διαιρείται από το 1,

δε διαιρείται από το 1, το 3 ή το 4

(θα μπορούσατε να κάνετε 5 δια 4, αλλά θα σας έμενε υπόλοιπο).

Και διαιρείται ακριβώς από το 5, προφανώς.

Έτσι, ξανά, το 5 διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς: το 1 και το 5.

Έτσι, το 5 είναι πρώτος. Ας συνεχίσουμε,

οπότε να δούμε αν υπάρχει και κάποιο μοτίβο εδώ

και μετά ίσως να δοκιμάσουμε ένα πραγματικά δύσκολο

που τείνει να μπερδεύει τους περισσότερους. Ας δούμε τον αριθμό 6.

Διαιρείται από το 1, το 2, το 3 και το 6.

Έτσι έχει 4 φυσικούς αριθμούς σαν "παράγοντες",

θα μπορούσατε να το πείτε έτσι υποθέτω.

Άρα δεν διαιρείται από ακριβώς δύο φυσικούς αριθμούς,

αλλά από 4, άρα δεν είναι πρώτος.

Ας πάμε στο 7.

Το 7 διαιρείται απο το 1, όχι από το 2, το 3, το 4, το 5 ή το 6,

όμως διαιρείται επίσης από το 7,

άρα το 7 είναι πρώτος. Νομίζω ότι πιάνετε τη γενική ιδέα εδώ.

Πόσοι φυσικοί αριθμοί, αριθμοί όπως τα 1,2,3,4,5,

οι αριθμοί που μαθαίνετε όταν είστε δύο χρονών

που δεν περιλαμβάνουν το μηδέν ή τους αρνητικούς αριθμούς,

που δεν περιλαμβάνουν κλάσματα και άρρητους αριθμούς,

και δεκαδικούς και όλα τα υπόλοιπα,

απλά κανονική θετικοί αριθμοί.

Αν έχετε μόνο δύο από αυτούς,

αν διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και από το 1,

τότε είναι πρώτος αριθμός.

Και ο τρόπος που το σκέφτομαι εγώ,

αν δε σκεφτούμε την ειδική περίπτωση του 1,

οι πρώτοι αριθμοί είναι κατά κάποιο τρόπο τα δομικά υλικά αριθμών.

Δε μπορείς να τους σπάσεις σε μικρότερα κομμάτια.

Είναι σχεδόν σαν τα άτομα.

Αν σκεφτείτε τι είναι το άτομο,

ή τι νομίζαν οι άνθρωποι ότι είναι τα άτομα αρχικά...

νόμιζαν ότι ήταν κάτι πράγματα

που δε μπορούσες να διαιρέσεις περισσότερο.

Ξέρουμε τώρα ότι μπορούμε να διαιρέσουμε άτομα και βασικά

αν το κάνεις μπορεί να δημιουργήσεις πυρηνική έκρηξη.

Αλλά είναι η ίδια ιδέα πίσω από τους πρώτους αριθμούς.

Δε μπορείς να τους σπάσεις άλλο

σε παράγωγα μικρότερων φυσικών αριθμών.

Αριθμούς όπως το 6, μπορείτε να πείτε, έι, το 6 είναι 2 επί 3,

μπορείτε να το σπάσετε, και προσέξτε, μπορούμε να το σπάσουμε

σαν ένα παράγωγο πρώτων αριθμών.

Κάπως το χωρίσαμε στα κομμάτια του.

Το 7 δε μπορείτε να το χωρίσειτε περισσότερο.

Το μόνο που μπορείτε να πείτε είναι ότι το 7 ισούται με το 1 επί 7.

Και σε αυτή την περίπτωση δεν το χωρίσατε ιδιαίτερα.

Απλά έχετε το 7 εδώ ξανά.

Το 6 μπορείτε βασικά να το χωρίσετε.

Το 4 μπορείτε να το χωρίσετε σε 2 επί 2.

Τώρα αφού έφυγε αυτό από τη μέση ας σκεφτούμε

μερικούς μεγαλύτερους αριθμούς, και να σκεφτούμε

αν αυτοί οι μεγαλύτεροι αριθμοί είναι πρώτοι.

Ας δοκιμάσουμε το16.

Έτσι ξεκάθαρα κάθε φυσικός αριθμός διαιρείται από το 1 και από τον εαυτό του.

Έτσι το 16 διαιρείται από το1 και από το 16.

Έτσι θα ξεκινήσετε με δύο,

έτσι ώστε αν βρείτε κάτι άλλο που να πηγαίνει σε αυτό

τότε ξέρετε ότι δεν είναι πρώτος ο αριθμός.

Και για το 16 θα μπορούσατε να έχετε 2 επί 8,

μπορείτε να έχετε 4 επί 4,

έχει πολλούς παράγοντες εδώ,

πέρα από απλά το 1 και το 16.

Έτσι το 16 δεν είναι πρώτος. Το 17;

Το 1 και το 17 σίγουρα πάνε στο 17,

το 2 δεν πάει στο 17, το 3 δεν πάει, 4, 5, 6, 7, 8, ...

κανείς από αυτούς τους αριθμούς, κανείς ενδιάμεσα του 1 και του 17

δεν πάει στο 17, οπότε το 7 είναι πρώτος.

Και τώρα θα σας δώσω ένα δύσκολο.

Αυτό μπερδεύει πολλούς ανθρώπους.

Το 51; Είναι το 51 πρώτος;

Και αν ενδιαφέρεστε μπορείτε να παγώσετε το βίντεο εδώ

και να προσπαθήσετε να το βρείτε μόνοι σας

αν το 51 είναι πρώτος αριθμός.

Αν βρείτε ο,τιδήποτε πέρα του 1 ή του 51

που να διαιρεί το 51. Φαίνεται σαν....

ουάου, είναι κάπως περίεργος αριθμός.

Μπορεί να μπείτε στον πειρασμό να σκεφτείτε ότι είναι πρώτος,

αλλά τώρα θα σας δείξω την απάντηση.

Δεν είναι πρώτος, γιατί επίσης διαίρείται από το 3 και από το 17.

3 x 17 = 51.

Ελπίζω να σας δίνει μία καλή ιδέα

για το τι είναι πάνω κάτω οι πρώτοι αριθμοί,

και ελπίζω ότι θα μπορέσουμε να το εξασκήσουμε και άλλο

σε μελλοντικά βίντεο και ίσως σε κάποιες από τις ασκήσεις μας.