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Epsilon Delta Limit Definition 1

  • 0:01 - 0:03
    我来画一个函数
  • 0:03 - 0:04
    对这个函数取极限会很有意思
  • 0:04 - 0:07
    现在我就把它画出来
  • 0:07 - 0:08
    之后我们会做一些练习
  • 0:08 - 0:12
    这是y轴 这是x轴
  • 0:12 - 0:14
    函数应该是这样的--
  • 0:14 - 0:16
    我尽量想一个简单一些的
  • 0:16 - 0:20
    在大多数情况下它是条直线
  • 0:20 - 0:23
    像这样
  • 0:23 - 0:27
    在某一点有一个洞
  • 0:27 - 0:29
    比如x=a这一点 没有定义
  • 0:29 - 0:32
    我把这一点抹黑 这样就知道
  • 0:32 - 0:33
    此处无定义
  • 0:33 - 0:39
    这一点是x=a
  • 0:39 - 0:45
    这是x轴 这是y=f(x)轴
  • 0:45 - 0:47
    就简单的称之为y轴吧
  • 0:47 - 0:51
    这条线是函数f(x)
  • 0:51 - 0:54
    或者说是y=f(x)
  • 0:54 - 0:56
    我们已经学习了一些极限的视频
  • 0:56 - 0:57
    我想你们有一个大致的理解了
  • 0:57 - 1:00
    这里要求求出x趋向于a时函数的极限
  • 1:00 - 1:04
    假设这一点是L
  • 1:04 - 1:06
    从前面的视频可以知道--
  • 1:06 - 1:11
    我先把它写出来--
  • 1:11 - 1:14
    f(x)当x趋向于a时的极限
  • 1:14 - 1:18
    直观地说 就是指
  • 1:18 - 1:21
    x从任一边趋向a时
  • 1:21 - 1:22
    比如从这边
  • 1:22 - 1:27
    这时f(x)趋向于什么？
  • 1:27 - 1:29
    当x在这的时候 f(x)在这
  • 1:29 - 1:33
    x在这的时候 f(x)在这
  • 1:36 - 1:40
    可以看到 它是趋向于L的
  • 1:40 - 1:42
    从另一边接近a时--
  • 1:42 - 1:45
    我们求过只从左边或者右边
  • 1:45 - 1:49
    趋向于某个数时的极限
  • 1:49 - 1:52
    但为了极限存在
  • 1:52 - 1:54
    必须从正负方向同时趋向
  • 1:54 - 1:57
    一个相同的数
  • 1:57 - 2:04
    从右边接近a时 选这个点
  • 2:04 - 2:07
    这是f(x)
  • 2:07 - 2:08
    在这
  • 2:08 - 2:10
    x到了这一点时 f(x)在这
  • 2:10 - 2:13
    随着x越来越接近a点
  • 2:13 - 2:15
    f(x)趋向于L
  • 2:15 - 2:16
    所以f(x)当x趋向于a时的极限
  • 2:16 - 2:19
    为L
  • 2:19 - 2:21
    我想我们理解这种定义了
  • 2:21 - 2:27
    但这并不是很--
  • 2:27 - 2:29
    实际上相对于极限的概念
  • 2:29 - 2:32
    这样的说法很不精确
  • 2:32 - 2:37
    我目前所说的仅限于x趋向于某个数时
  • 2:37 - 2:39
    f(x)趋近什么
  • 2:39 - 2:49
    所以这个视频中
  • 2:49 - 2:55
    我会尝试介绍一种新的
  • 2:55 - 2:57
    极限的定义
  • 2:57 - 3:01
    这种定义比简单的当x趋向某个值
  • 3:01 - 3:06
    f(x)趋向于什么的定义方式
  • 3:06 - 3:12
    要稍微精确一些 或者说要精确很多
  • 3:12 - 3:16
    我认为可以把它看成一个小游戏
  • 3:16 - 3:18
    新的定义就是
  • 3:18 - 3:18
    这个式子意义在于
  • 3:18 - 3:22
    我总是可以给出这个点的一个范围
  • 3:22 - 3:30
    这里谈到范围
  • 3:30 - 3:37
    我并不是针对整个定义域而言
  • 3:37 - 3:40
    这里说的范围是像 比如说
  • 3:40 - 3:46
    规定这么一段距离
  • 3:46 - 3:50
    只要在这范围之内
  • 3:50 - 3:51
    可以保证f(x)的值和L的距离
  • 3:51 - 3:54
    始终不会超过某个给定值
  • 3:54 - 3:58
    我把它看做
  • 3:58 - 4:00
    一个小游戏
  • 4:03 - 4:08
    你们可以不相信我
  • 4:08 - 4:11
    并怀疑f(x)能不能
  • 4:11 - 4:17
    始终位于和L相距0.5的范围内
  • 4:17 - 4:19
    你们给出的距离是0.5
  • 4:19 - 4:21
    此时 我必须能找到
  • 4:21 - 4:23
    点a附近的一段范围
  • 4:23 - 4:24
    确保f(x)值始终和L相距0.5以内 对吧？
  • 4:24 - 4:29
    也就是说f(x)始终位于
  • 4:32 - 4:44
    这段范围内
  • 4:44 - 4:47
    只要x位于以a为中心的那段范围
  • 4:47 - 4:50
    只要满足你们所给出的范围
  • 4:50 - 4:53
    那么f(x)肯定
  • 4:53 - 4:58
    能达到你们的要求
  • 4:58 - 5:01
    我把图画大一些
  • 5:01 - 5:06
    因为我觉着我是在同一个地方上
  • 5:06 - 5:09
    反复的写
  • 5:09 - 5:10
    这是曲线f(x) 这点没有定义
  • 5:10 - 5:13
    这里不一定非得是个洞
  • 5:13 - 5:13
    其极限值可以等于一个函数值
  • 5:13 - 5:17
    但当函数在这点无定义却存在极限时
  • 5:17 - 5:20
    情况会更为有趣
  • 5:20 - 5:21
    所以这一点是--
  • 5:21 - 5:24
    重新画出坐标轴
  • 5:24 - 5:28
    这是x轴 y轴 x y
  • 5:28 - 5:30
    这是极限值L 这是点a
  • 5:30 - 5:37
    所以极限的定义是
  • 5:37 - 5:43
    我一会儿会回到这个问题
  • 5:43 - 5:48
    因为既然图大了些 我想再解释一遍
  • 5:48 - 5:52
    这个式子表示--
  • 5:52 - 5:54
    这是极限的ε-δ定义
  • 5:54 - 5:58
    稍后我们会接触到ε和δ
  • 5:58 - 6:02
    这式子的意义就是 你给我
  • 6:02 - 6:04
    距L的任何一个距离
  • 6:04 - 6:05
    实际上我们称这段距离为ε
  • 6:10 - 6:16
    与最开始提出的定义相对应
  • 6:16 - 6:19
    f(x)与L的距离不超过ε
  • 6:19 - 6:23
    ε可以是任何
  • 6:23 - 6:24
    大于0的实数
  • 6:24 - 6:26
    所以这里的这段距离就是ε
  • 6:26 - 6:30
    这一段也是ε
  • 6:30 - 6:33
    对于给出的任何ε 任何实数--
  • 6:33 - 6:36
    这点是L+ε
  • 6:36 - 6:39
    这点是L-ε
  • 6:39 - 6:43
    极限的ε-δ定义是说
  • 6:43 - 6:45
    不论ε是多少
  • 6:45 - 6:49
    总可以在a的附近确定一段范围
  • 6:49 - 6:53
    并称之为δ
  • 6:53 - 6:55
    总是可以确定一个δ
  • 6:55 - 6:57
    这段是比a小δ
  • 6:57 - 7:01
    这段是比a大δ
  • 7:01 - 7:04
    这是字母δ
  • 7:04 - 7:05
    只要在a+δ和a-δ之间
  • 7:05 - 7:12
    选取一个x值
  • 7:12 - 7:17
    只要x位于这段范围
  • 7:17 - 7:19
    就可以保证与x相对应的f(x)
  • 7:19 - 7:21
    位于你所给出的范围
  • 7:21 - 7:24
    思考一下 你们会觉着有道理 对吧？
  • 7:24 - 7:27
    实质上是说
  • 7:27 - 7:30
    我可以无限接近极限值
  • 7:30 - 7:36
    只要--
  • 7:36 - 7:40
    我所说的无限接近
  • 7:40 - 7:46
    是指你们可以任意给出一个ε值
  • 7:46 - 7:48
    因为这有点像一个小游戏
  • 7:48 - 7:51
    通过给出一个需要趋近的点
  • 7:51 - 7:58
    附近的一段范围
  • 7:58 - 8:03
    f(x)就可以无限接近极限值
  • 8:03 - 8:09
    只要是在a附近的这段范围内
  • 8:09 - 8:14
    选取x的值
  • 8:14 - 8:16
    只要是在这里取一个x值
  • 8:16 - 8:17
    我就可以保证f(x)
  • 8:17 - 8:20
    位于你们所指定的范围
  • 8:20 - 8:23
    为了更具体点
  • 8:23 - 8:24
    假设 x位于--
  • 8:24 - 8:27
    我们一律换成具体的数字来表示
  • 8:27 - 8:30
    假设这个是2
  • 8:30 - 8:36
    这是1
  • 8:36 - 8:40
    也就是求x趋向1时f(x)的极限
  • 8:40 - 8:43
    还没定义f(x)
  • 8:43 - 8:49
    但函数曲线是条有一个洞的直线
  • 8:49 - 8:52
    那里的f(x)值是2
  • 8:52 - 8:56
    你们可以给我任何一个数字
  • 8:56 - 9:00
    假定你们想用几个具体例子来验证一下
  • 9:00 - 9:04
    比如想要f(x)位于--
  • 9:04 - 9:08
    换种颜色--
  • 9:08 - 9:09
    想要使f(x)位于距2这点0.5的范围内
  • 9:09 - 9:11
    也就是在1.5和2.5之间
  • 9:11 - 9:13
    那么只要x选在--
  • 9:13 - 9:16
    x可以任意接近
  • 9:16 - 9:18
    但只要x选在--
  • 9:18 - 9:22
    对于这个函数
  • 9:22 - 9:24
    假定是在0.9和1.1之间
  • 9:24 - 9:26
    那么在这个例子中 δ和极限点的距离只有0.1
  • 9:26 - 9:33
    只要在和1相距0.1的范围内
  • 9:33 - 9:36
    选取x
  • 9:36 - 9:37
    就可以确保f(x)
  • 9:37 - 9:42
    位于要求的范围
  • 9:42 - 9:53
    希望你们有初步的理解了
  • 9:53 - 9:57
    现在我用ε和δ来给出定义
  • 9:57 - 9:58
    实际上在课本中见到的就是这种
  • 9:58 - 10:01
    接下来再做几个练习
  • 10:01 - 10:05
    要搞清楚上面只是个特例
  • 10:05 - 10:06
    你们给出一个ε 我再给出一个δ
  • 10:06 - 10:12
    但如果它在定义里成立
  • 10:12 - 10:15
    或者说要把它写出来
  • 10:15 - 10:23
    那么就是说这并不仅仅适用于
  • 10:23 - 10:28
    一个特定的例子
  • 10:28 - 10:31
    而是适用于任何给定的数
  • 10:31 - 10:35
    ε可以是百万分之一
  • 10:35 - 10:38
    或者10的负一百次方
  • 10:38 - 10:41
    也就是说非常接近于2
  • 10:41 - 10:45
    我都可以给出一个a点附近的范围
  • 10:45 - 10:46
    只要在里面选x值
  • 10:46 - 10:50
    那么f(x)就位于所给出的范围
  • 10:50 - 10:56
    也就是距极限值
  • 10:56 - 10:59
    万亿分之一的距离
  • 10:59 - 11:04
    当然 我不能确定
  • 11:04 - 11:08
    当x=a时的情况
  • 11:08 - 11:11
    我只是说当x不等于a
  • 11:11 - 11:17
    且位于给定范围内时 它会成立
  • 11:17 - 11:20
    f(x)会在给定的范围内
  • 11:20 - 11:23
    为了在数学上更清晰些
  • 11:23 - 11:27
    因为目前为止我都只是用单词来讲
  • 11:27 - 11:32
    这是我们会在课本中看到的
  • 11:32 - 11:36
    给定任意一个大于0的ε
  • 11:36 - 11:39
    这是一种定义 对吧？
  • 11:39 - 11:40
    如果写成这样
  • 11:40 - 11:42
    那意味着ε可以是大于0的任何数
  • 11:42 - 11:45
    然后会给出一个δ
  • 11:45 - 11:48
    记住 ε是f(x)与极限值的距离
  • 11:48 - 11:50
    对吧？
  • 11:50 - 11:53
    是f(x)的范围
  • 11:53 - 11:54
    之后会给出δ 也就是与a的距离 对吧？
  • 11:54 - 11:57
    写出来
  • 11:57 - 11:59
    f(x)当x趋向a的极限是1
  • 11:59 - 12:01
    给出δ 只要x与a相距
  • 12:01 - 12:02
    不超过δ--
  • 12:02 - 12:06
    x和a的距离
  • 12:06 - 12:13
    假设x选在这-- 换种颜色--
  • 12:13 - 12:14
    如果x选在这
  • 12:14 - 12:18
    那么只要x和a的绝对值
  • 12:18 - 12:20
    大于0 这是为了保证x不会位于a
  • 12:20 - 12:22
    因为a点函数无定义
  • 12:22 - 12:26
    只要x和a的距离
  • 12:26 - 12:30
    大于0并小于给定的一个值
  • 12:30 - 12:31
    也就是δ
  • 12:31 - 12:34
    只要在这个范围选取x
  • 12:34 - 12:38
    我在这画一个小点的x轴
  • 12:38 - 12:39
    这是a 这段距离是δ
  • 12:39 - 12:43
    这段距离也是δ
  • 12:43 - 12:45
    只要选取位于这里的x--
  • 12:45 - 12:47
    这个x
  • Not Synced
    f(x)趋向于这个值
  • Not Synced
    下期视频再见
  • Not Synced
    下期视频我们会做一些例题
  • Not Synced
    不会超过给定的数
  • Not Synced
    之间的距离
  • Not Synced
    以及一些极限结论
  • Not Synced
    但这个定义是数学上严格精确的
  • Not Synced
    使之成立
  • Not Synced
    只要选这些x
  • Not Synced
    在我们讲这之前 你们知道的是
  • Not Synced
    在数学上的定义则是
  • Not Synced
    如果你们要学习高等的微积分知识
  • Not Synced
    如果你们觉着这看起来很复杂
  • Not Synced
    它会迷惑很多学生
  • Not Synced
    它是一个很“数学”的问题
  • Not Synced
    它确实是很合乎逻辑的
  • Not Synced
    定义非常的严格
  • Not Synced
    就可以确保函数值和极限值
  • Not Synced
    希望当用到实际的数字时
  • Not Synced
    当x趋向于这点时
  • Not Synced
    当取这些x值时
  • Not Synced
    很难理解
  • Not Synced
    我会用这个定义证明一些极限
  • Not Synced
    我想很多人
  • Not Synced
    我想要f(x)和极限值的距离
  • Not Synced
    我想要非常接近
  • Not Synced
    我有很深的感触
  • Not Synced
    或者说要进修数学 那么这是很重要的
  • Not Synced
    或者这个x 或者这个
  • Not Synced
    是0.000000001
  • Not Synced
    比如第三周你们就会用到
  • Not Synced
    视频时间快到了
  • Not Synced
    计算这些点处的f(x)
  • Not Synced
    这个定义
  • Not Synced
    这个定义会更好理解一些
  • Not Synced
    这个定义会运用在大多数微积分课程
  • Not Synced
    这个距离--
  • Not Synced
    这时我仍可以给出一个x的范围
  • Not Synced
    那么f(x)和极限值的距离
  • Not Synced
    那时甚至还没学导数
Title:
Epsilon Delta Limit Definition 1
Description:

Introduction to the Epsilon Delta Definition of a Limit.
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Video Language:
English
Duration:
12:48
amyyan added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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