f(x)趋向于这个值
下期视频再见
下期视频我们会做一些例题
不会超过给定的数
之间的距离
以及一些极限结论
但这个定义是数学上严格精确的
使之成立
只要选这些x
在我们讲这之前 你们知道的是
在数学上的定义则是
如果你们要学习高等的微积分知识
如果你们觉着这看起来很复杂
它会迷惑很多学生
它是一个很“数学”的问题
它确实是很合乎逻辑的
定义非常的严格
就可以确保函数值和极限值
希望当用到实际的数字时
当x趋向于这点时
当取这些x值时
很难理解
我会用这个定义证明一些极限
我想很多人
我想要f(x)和极限值的距离
我想要非常接近
我有很深的感触
或者说要进修数学 那么这是很重要的
或者这个x 或者这个
是0.000000001
比如第三周你们就会用到
视频时间快到了
计算这些点处的f(x)
这个定义
这个定义会更好理解一些
这个定义会运用在大多数微积分课程
这个距离--
这时我仍可以给出一个x的范围
那么f(x)和极限值的距离
那时甚至还没学导数
我来画一个函数
对这个函数取极限会很有意思
现在我就把它画出来
之后我们会做一些练习
这是y轴 这是x轴
函数应该是这样的--
我尽量想一个简单一些的
在大多数情况下它是条直线
像这样
在某一点有一个洞
比如x=a这一点 没有定义
我把这一点抹黑 这样就知道
此处无定义
这一点是x=a
这是x轴 这是y=f(x)轴
就简单的称之为y轴吧
这条线是函数f(x)
或者说是y=f(x)
我们已经学习了一些极限的视频
我想你们有一个大致的理解了
这里要求求出x趋向于a时函数的极限
假设这一点是L
从前面的视频可以知道--
我先把它写出来--
f(x)当x趋向于a时的极限
直观地说 就是指
x从任一边趋向a时
比如从这边
这时f(x)趋向于什么？
当x在这的时候 f(x)在这
x在这的时候 f(x)在这
可以看到 它是趋向于L的
从另一边接近a时--
我们求过只从左边或者右边
趋向于某个数时的极限
但为了极限存在
必须从正负方向同时趋向
一个相同的数
从右边接近a时 选这个点
这是f(x)
在这
x到了这一点时 f(x)在这
随着x越来越接近a点
f(x)趋向于L
所以f(x)当x趋向于a时的极限
为L
我想我们理解这种定义了
但这并不是很--
实际上相对于极限的概念
这样的说法很不精确
我目前所说的仅限于x趋向于某个数时
f(x)趋近什么
所以这个视频中
我会尝试介绍一种新的
极限的定义
这种定义比简单的当x趋向某个值
f(x)趋向于什么的定义方式
要稍微精确一些 或者说要精确很多
我认为可以把它看成一个小游戏
新的定义就是
这个式子意义在于
我总是可以给出这个点的一个范围
这里谈到范围
我并不是针对整个定义域而言
这里说的范围是像 比如说
规定这么一段距离
只要在这范围之内
可以保证f(x)的值和L的距离
始终不会超过某个给定值
我把它看做
一个小游戏
你们可以不相信我
并怀疑f(x)能不能
始终位于和L相距0.5的范围内
你们给出的距离是0.5
此时 我必须能找到
点a附近的一段范围
确保f(x)值始终和L相距0.5以内 对吧？
也就是说f(x)始终位于
这段范围内
只要x位于以a为中心的那段范围
只要满足你们所给出的范围
那么f(x)肯定
能达到你们的要求
我把图画大一些
因为我觉着我是在同一个地方上
反复的写
这是曲线f(x) 这点没有定义
这里不一定非得是个洞
其极限值可以等于一个函数值
但当函数在这点无定义却存在极限时
情况会更为有趣
所以这一点是--
重新画出坐标轴
这是x轴 y轴 x y
这是极限值L 这是点a
所以极限的定义是
我一会儿会回到这个问题
因为既然图大了些 我想再解释一遍
这个式子表示--
这是极限的ε-δ定义
稍后我们会接触到ε和δ
这式子的意义就是 你给我
距L的任何一个距离
实际上我们称这段距离为ε
与最开始提出的定义相对应
f(x)与L的距离不超过ε
ε可以是任何
大于0的实数
所以这里的这段距离就是ε
这一段也是ε
对于给出的任何ε 任何实数--
这点是L+ε
这点是L-ε
极限的ε-δ定义是说
不论ε是多少
总可以在a的附近确定一段范围
并称之为δ
总是可以确定一个δ
这段是比a小δ
这段是比a大δ
这是字母δ
只要在a+δ和a-δ之间
选取一个x值
只要x位于这段范围
就可以保证与x相对应的f(x)
位于你所给出的范围
思考一下 你们会觉着有道理 对吧？
实质上是说
我可以无限接近极限值
只要--
我所说的无限接近
是指你们可以任意给出一个ε值
因为这有点像一个小游戏
通过给出一个需要趋近的点
附近的一段范围
f(x)就可以无限接近极限值
只要是在a附近的这段范围内
选取x的值
只要是在这里取一个x值
我就可以保证f(x)
位于你们所指定的范围
为了更具体点
假设 x位于--
我们一律换成具体的数字来表示
假设这个是2
这是1
也就是求x趋向1时f(x)的极限
还没定义f(x)
但函数曲线是条有一个洞的直线
那里的f(x)值是2
你们可以给我任何一个数字
假定你们想用几个具体例子来验证一下
比如想要f(x)位于--
换种颜色--
想要使f(x)位于距2这点0.5的范围内
也就是在1.5和2.5之间
那么只要x选在--
x可以任意接近
但只要x选在--
对于这个函数
假定是在0.9和1.1之间
那么在这个例子中 δ和极限点的距离只有0.1
只要在和1相距0.1的范围内
选取x
就可以确保f(x)
位于要求的范围
希望你们有初步的理解了
现在我用ε和δ来给出定义
实际上在课本中见到的就是这种
接下来再做几个练习
要搞清楚上面只是个特例
你们给出一个ε 我再给出一个δ
但如果它在定义里成立
或者说要把它写出来
那么就是说这并不仅仅适用于
一个特定的例子
而是适用于任何给定的数
ε可以是百万分之一
或者10的负一百次方
也就是说非常接近于2
我都可以给出一个a点附近的范围
只要在里面选x值
那么f(x)就位于所给出的范围
也就是距极限值
万亿分之一的距离
当然 我不能确定
当x=a时的情况
我只是说当x不等于a
且位于给定范围内时 它会成立
f(x)会在给定的范围内
为了在数学上更清晰些
因为目前为止我都只是用单词来讲
这是我们会在课本中看到的
给定任意一个大于0的ε
这是一种定义 对吧？
如果写成这样
那意味着ε可以是大于0的任何数
然后会给出一个δ
记住 ε是f(x)与极限值的距离
对吧？
是f(x)的范围
之后会给出δ 也就是与a的距离 对吧？
写出来
f(x)当x趋向a的极限是1
给出δ 只要x与a相距
不超过δ--
x和a的距离
假设x选在这-- 换种颜色--
如果x选在这
那么只要x和a的绝对值
大于0 这是为了保证x不会位于a
因为a点函数无定义
只要x和a的距离
大于0并小于给定的一个值
也就是δ
只要在这个范围选取x
我在这画一个小点的x轴
这是a 这段距离是δ
这段距离也是δ
只要选取位于这里的x--
这个x