WEBVTT

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
f(x)趋向于这个值

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
下期视频再见

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
下期视频我们会做一些例题

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
不会超过给定的数

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
之间的距离

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
以及一些极限结论

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
但这个定义是数学上严格精确的

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
使之成立

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
只要选这些x

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
在我们讲这之前 你们知道的是

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
在数学上的定义则是

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
如果你们要学习高等的微积分知识

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
如果你们觉着这看起来很复杂

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
它会迷惑很多学生

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
它是一个很“数学”的问题

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
它确实是很合乎逻辑的

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
定义非常的严格

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
就可以确保函数值和极限值

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
希望当用到实际的数字时

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
当x趋向于这点时

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
当取这些x值时

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
很难理解

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
我会用这个定义证明一些极限

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
我想很多人

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
我想要f(x)和极限值的距离

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
我想要非常接近

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
我有很深的感触

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
或者说要进修数学 那么这是很重要的

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
或者这个x 或者这个

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
是0.000000001

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
比如第三周你们就会用到

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
视频时间快到了

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
计算这些点处的f(x)

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
这个定义

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
这个定义会更好理解一些

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
这个定义会运用在大多数微积分课程

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
这个距离--

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
这时我仍可以给出一个x的范围

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
那么f(x)和极限值的距离

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
那时甚至还没学导数

00:00:00.900 --> 00:00:02.810
我来画一个函数

00:00:02.810 --> 00:00:04.490
对这个函数取极限会很有意思

00:00:04.490 --> 00:00:06.880
现在我就把它画出来

00:00:06.880 --> 00:00:08.390
之后我们会做一些练习

00:00:08.390 --> 00:00:11.870
这是y轴 这是x轴

00:00:11.870 --> 00:00:14.180
函数应该是这样的--

00:00:14.180 --> 00:00:15.950
我尽量想一个简单一些的

00:00:15.950 --> 00:00:19.760
在大多数情况下它是条直线

00:00:19.760 --> 00:00:23.100
像这样

00:00:23.100 --> 00:00:27.080
在某一点有一个洞

00:00:27.080 --> 00:00:28.690
比如x=a这一点 没有定义

00:00:28.690 --> 00:00:32.030
我把这一点抹黑 这样就知道

00:00:32.030 --> 00:00:33.110
此处无定义

00:00:33.110 --> 00:00:38.780
这一点是x=a

00:00:38.780 --> 00:00:45.180
这是x轴 这是y=f(x)轴

00:00:45.180 --> 00:00:47.120
就简单的称之为y轴吧

00:00:47.120 --> 00:00:51.030
这条线是函数f(x)

00:00:51.030 --> 00:00:53.880
或者说是y=f(x)

00:00:53.880 --> 00:00:55.740
我们已经学习了一些极限的视频

00:00:55.740 --> 00:00:57.160
我想你们有一个大致的理解了

00:00:57.160 --> 00:00:59.850
这里要求求出x趋向于a时函数的极限

00:00:59.850 --> 00:01:04.020
假设这一点是L

00:01:04.020 --> 00:01:06.480
从前面的视频可以知道--

00:01:06.480 --> 00:01:10.940
我先把它写出来--

00:01:10.940 --> 00:01:13.690
f(x)当x趋向于a时的极限

00:01:13.690 --> 00:01:17.560
直观地说 就是指

00:01:17.560 --> 00:01:20.980
x从任一边趋向a时

00:01:20.980 --> 00:01:22.290
比如从这边

00:01:22.290 --> 00:01:27.030
这时f(x)趋向于什么？

00:01:27.030 --> 00:01:29.490
当x在这的时候 f(x)在这

00:01:29.490 --> 00:01:33.080
x在这的时候 f(x)在这

00:01:35.950 --> 00:01:40.320
可以看到 它是趋向于L的

00:01:40.320 --> 00:01:42.200
从另一边接近a时--

00:01:42.200 --> 00:01:44.750
我们求过只从左边或者右边

00:01:44.750 --> 00:01:48.670
趋向于某个数时的极限

00:01:48.670 --> 00:01:52.380
但为了极限存在

00:01:52.380 --> 00:01:54.440
必须从正负方向同时趋向

00:01:54.440 --> 00:01:57.460
一个相同的数

00:01:57.460 --> 00:02:03.860
从右边接近a时 选这个点

00:02:03.860 --> 00:02:06.600
这是f(x)

00:02:06.600 --> 00:02:07.960
在这

00:02:07.960 --> 00:02:09.640
x到了这一点时 f(x)在这

00:02:09.640 --> 00:02:13.360
随着x越来越接近a点

00:02:13.360 --> 00:02:15.480
f(x)趋向于L

00:02:15.480 --> 00:02:16.290
所以f(x)当x趋向于a时的极限

00:02:16.290 --> 00:02:19.340
为L

00:02:19.340 --> 00:02:21.440
我想我们理解这种定义了

00:02:21.440 --> 00:02:27.360
但这并不是很--

00:02:27.360 --> 00:02:29.360
实际上相对于极限的概念

00:02:29.360 --> 00:02:32.180
这样的说法很不精确

00:02:32.180 --> 00:02:36.990
我目前所说的仅限于x趋向于某个数时

00:02:36.990 --> 00:02:39.290
f(x)趋近什么

00:02:39.290 --> 00:02:48.640
所以这个视频中

00:02:48.640 --> 00:02:55.150
我会尝试介绍一种新的

00:02:55.150 --> 00:02:57.190
极限的定义

00:02:57.190 --> 00:03:00.960
这种定义比简单的当x趋向某个值

00:03:00.960 --> 00:03:05.980
f(x)趋向于什么的定义方式

00:03:05.980 --> 00:03:12.360
要稍微精确一些 或者说要精确很多

00:03:12.360 --> 00:03:16.160
我认为可以把它看成一个小游戏

00:03:16.160 --> 00:03:18.030
新的定义就是

00:03:18.030 --> 00:03:18.490
这个式子意义在于

00:03:18.490 --> 00:03:21.840
我总是可以给出这个点的一个范围

00:03:21.840 --> 00:03:29.900
这里谈到范围

00:03:29.900 --> 00:03:37.460
我并不是针对整个定义域而言

00:03:37.460 --> 00:03:39.760
这里说的范围是像 比如说

00:03:39.760 --> 00:03:46.330
规定这么一段距离

00:03:46.330 --> 00:03:49.980
只要在这范围之内

00:03:49.980 --> 00:03:51.160
可以保证f(x)的值和L的距离

00:03:51.160 --> 00:03:54.300
始终不会超过某个给定值

00:03:54.300 --> 00:03:57.890
我把它看做

00:03:57.890 --> 00:04:00.030
一个小游戏

00:04:02.820 --> 00:04:07.830
你们可以不相信我

00:04:07.830 --> 00:04:10.870
并怀疑f(x)能不能

00:04:10.870 --> 00:04:16.770
始终位于和L相距0.5的范围内

00:04:16.770 --> 00:04:19.340
你们给出的距离是0.5

00:04:19.340 --> 00:04:21.020
此时 我必须能找到

00:04:21.020 --> 00:04:22.560
点a附近的一段范围

00:04:22.560 --> 00:04:23.910
确保f(x)值始终和L相距0.5以内 对吧？

00:04:23.910 --> 00:04:28.770
也就是说f(x)始终位于

00:04:31.530 --> 00:04:44.010
这段范围内

00:04:44.010 --> 00:04:47.310
只要x位于以a为中心的那段范围

00:04:47.310 --> 00:04:49.630
只要满足你们所给出的范围

00:04:49.630 --> 00:04:52.690
那么f(x)肯定

00:04:52.690 --> 00:04:58.090
能达到你们的要求

00:04:58.090 --> 00:05:01.260
我把图画大一些

00:05:01.260 --> 00:05:05.790
因为我觉着我是在同一个地方上

00:05:05.790 --> 00:05:08.860
反复的写

00:05:08.860 --> 00:05:10.450
这是曲线f(x) 这点没有定义

00:05:10.450 --> 00:05:12.590
这里不一定非得是个洞

00:05:12.590 --> 00:05:13.050
其极限值可以等于一个函数值

00:05:13.050 --> 00:05:17.090
但当函数在这点无定义却存在极限时

00:05:17.090 --> 00:05:19.510
情况会更为有趣

00:05:19.510 --> 00:05:20.960
所以这一点是--

00:05:20.960 --> 00:05:24.320
重新画出坐标轴

00:05:24.320 --> 00:05:27.810
这是x轴 y轴 x y

00:05:27.810 --> 00:05:30.480
这是极限值L 这是点a

00:05:30.480 --> 00:05:36.810
所以极限的定义是

00:05:36.810 --> 00:05:43.030
我一会儿会回到这个问题

00:05:43.030 --> 00:05:48.030
因为既然图大了些 我想再解释一遍

00:05:48.030 --> 00:05:51.650
这个式子表示--

00:05:51.650 --> 00:05:54.000
这是极限的ε-δ定义

00:05:54.000 --> 00:05:57.710
稍后我们会接触到ε和δ

00:05:57.710 --> 00:06:02.320
这式子的意义就是 你给我

00:06:02.320 --> 00:06:04.440
距L的任何一个距离

00:06:04.440 --> 00:06:05.365
实际上我们称这段距离为ε

00:06:09.970 --> 00:06:15.680
与最开始提出的定义相对应

00:06:15.680 --> 00:06:19.440
f(x)与L的距离不超过ε

00:06:19.440 --> 00:06:23.160
ε可以是任何

00:06:23.160 --> 00:06:24.350
大于0的实数

00:06:24.350 --> 00:06:26.060
所以这里的这段距离就是ε

00:06:26.060 --> 00:06:29.630
这一段也是ε

00:06:29.630 --> 00:06:32.980
对于给出的任何ε 任何实数--

00:06:32.980 --> 00:06:36.430
这点是L+ε

00:06:36.430 --> 00:06:38.940
这点是L-ε

00:06:38.940 --> 00:06:43.000
极限的ε-δ定义是说

00:06:43.000 --> 00:06:44.680
不论ε是多少

00:06:44.680 --> 00:06:49.420
总可以在a的附近确定一段范围

00:06:49.420 --> 00:06:52.570
并称之为δ

00:06:52.570 --> 00:06:55.440
总是可以确定一个δ

00:06:55.440 --> 00:06:57.290
这段是比a小δ

00:06:57.290 --> 00:07:01.270
这段是比a大δ

00:07:01.270 --> 00:07:04.490
这是字母δ

00:07:04.490 --> 00:07:05.380
只要在a+δ和a-δ之间

00:07:05.380 --> 00:07:11.750
选取一个x值

00:07:11.750 --> 00:07:16.575
只要x位于这段范围

00:07:16.575 --> 00:07:18.880
就可以保证与x相对应的f(x)

00:07:18.880 --> 00:07:21.480
位于你所给出的范围

00:07:21.480 --> 00:07:23.820
思考一下 你们会觉着有道理 对吧？

00:07:23.820 --> 00:07:27.380
实质上是说

00:07:27.380 --> 00:07:30.220
我可以无限接近极限值

00:07:30.220 --> 00:07:35.680
只要--

00:07:35.680 --> 00:07:39.970
我所说的无限接近

00:07:39.970 --> 00:07:45.650
是指你们可以任意给出一个ε值

00:07:45.650 --> 00:07:48.190
因为这有点像一个小游戏

00:07:48.190 --> 00:07:50.920
通过给出一个需要趋近的点

00:07:50.920 --> 00:07:57.790
附近的一段范围

00:07:57.790 --> 00:08:02.980
f(x)就可以无限接近极限值

00:08:02.980 --> 00:08:09.320
只要是在a附近的这段范围内

00:08:09.320 --> 00:08:13.640
选取x的值

00:08:13.640 --> 00:08:15.740
只要是在这里取一个x值

00:08:15.740 --> 00:08:17.220
我就可以保证f(x)

00:08:17.220 --> 00:08:19.750
位于你们所指定的范围

00:08:19.750 --> 00:08:22.580
为了更具体点

00:08:22.580 --> 00:08:24.110
假设 x位于--

00:08:24.110 --> 00:08:26.730
我们一律换成具体的数字来表示

00:08:26.730 --> 00:08:29.870
假设这个是2

00:08:29.870 --> 00:08:36.270
这是1

00:08:36.270 --> 00:08:40.290
也就是求x趋向1时f(x)的极限

00:08:40.290 --> 00:08:42.900
还没定义f(x)

00:08:42.900 --> 00:08:48.800
但函数曲线是条有一个洞的直线

00:08:48.800 --> 00:08:52.180
那里的f(x)值是2

00:08:52.180 --> 00:08:55.590
你们可以给我任何一个数字

00:08:55.590 --> 00:09:00.270
假定你们想用几个具体例子来验证一下

00:09:00.270 --> 00:09:03.540
比如想要f(x)位于--

00:09:03.540 --> 00:09:08.240
换种颜色--

00:09:08.240 --> 00:09:09.470
想要使f(x)位于距2这点0.5的范围内

00:09:09.470 --> 00:09:11.270
也就是在1.5和2.5之间

00:09:11.270 --> 00:09:12.760
那么只要x选在--

00:09:12.760 --> 00:09:15.580
x可以任意接近

00:09:15.580 --> 00:09:17.950
但只要x选在--

00:09:17.950 --> 00:09:21.720
对于这个函数

00:09:21.720 --> 00:09:23.680
假定是在0.9和1.1之间

00:09:23.680 --> 00:09:26.250
那么在这个例子中 δ和极限点的距离只有0.1

00:09:26.250 --> 00:09:33.460
只要在和1相距0.1的范围内

00:09:33.460 --> 00:09:35.810
选取x

00:09:35.810 --> 00:09:37.390
就可以确保f(x)

00:09:37.390 --> 00:09:41.730
位于要求的范围

00:09:41.730 --> 00:09:52.800
希望你们有初步的理解了

00:09:52.800 --> 00:09:56.590
现在我用ε和δ来给出定义

00:09:56.590 --> 00:09:57.760
实际上在课本中见到的就是这种

00:09:57.760 --> 00:10:00.530
接下来再做几个练习

00:10:00.530 --> 00:10:04.860
要搞清楚上面只是个特例

00:10:04.860 --> 00:10:05.520
你们给出一个ε 我再给出一个δ

00:10:05.520 --> 00:10:11.830
但如果它在定义里成立

00:10:11.830 --> 00:10:15.210
或者说要把它写出来

00:10:15.210 --> 00:10:23.025
那么就是说这并不仅仅适用于

00:10:23.025 --> 00:10:27.950
一个特定的例子

00:10:27.950 --> 00:10:31.340
而是适用于任何给定的数

00:10:31.340 --> 00:10:34.840
ε可以是百万分之一

00:10:34.840 --> 00:10:37.980
或者10的负一百次方

00:10:37.980 --> 00:10:40.750
也就是说非常接近于2

00:10:40.750 --> 00:10:45.400
我都可以给出一个a点附近的范围

00:10:45.400 --> 00:10:46.450
只要在里面选x值

00:10:46.450 --> 00:10:49.930
那么f(x)就位于所给出的范围

00:10:49.930 --> 00:10:55.680
也就是距极限值

00:10:55.680 --> 00:10:59.240
万亿分之一的距离

00:10:59.240 --> 00:11:03.920
当然 我不能确定

00:11:03.920 --> 00:11:07.520
当x=a时的情况

00:11:07.520 --> 00:11:10.560
我只是说当x不等于a

00:11:10.560 --> 00:11:17.010
且位于给定范围内时 它会成立

00:11:17.010 --> 00:11:19.670
f(x)会在给定的范围内

00:11:19.670 --> 00:11:23.460
为了在数学上更清晰些

00:11:23.460 --> 00:11:27.170
因为目前为止我都只是用单词来讲

00:11:27.170 --> 00:11:31.560
这是我们会在课本中看到的

00:11:31.560 --> 00:11:36.470
给定任意一个大于0的ε

00:11:36.470 --> 00:11:38.690
这是一种定义 对吧？

00:11:38.690 --> 00:11:39.640
如果写成这样

00:11:39.640 --> 00:11:42.345
那意味着ε可以是大于0的任何数

00:11:42.345 --> 00:11:44.670
然后会给出一个δ

00:11:44.670 --> 00:11:47.560
记住 ε是f(x)与极限值的距离

00:11:47.560 --> 00:11:49.720
对吧？

00:11:49.720 --> 00:11:53.010
是f(x)的范围

00:11:53.010 --> 00:11:54.050
之后会给出δ 也就是与a的距离 对吧？

00:11:54.050 --> 00:11:56.910
写出来

00:11:56.910 --> 00:11:58.910
f(x)当x趋向a的极限是1

00:11:58.910 --> 00:12:01.330
给出δ 只要x与a相距

00:12:01.330 --> 00:12:02.160
不超过δ--

00:12:02.160 --> 00:12:05.550
x和a的距离

00:12:05.550 --> 00:12:12.945
假设x选在这-- 换种颜色--

00:12:12.945 --> 00:12:13.960
如果x选在这

00:12:13.960 --> 00:12:17.620
那么只要x和a的绝对值

00:12:17.620 --> 00:12:19.970
大于0 这是为了保证x不会位于a

00:12:19.970 --> 00:12:22.180
因为a点函数无定义

00:12:22.180 --> 00:12:25.640
只要x和a的距离

00:12:25.640 --> 00:12:29.540
大于0并小于给定的一个值

00:12:29.540 --> 00:12:31.320
也就是δ

00:12:31.320 --> 00:12:34.260
只要在这个范围选取x

00:12:34.260 --> 00:12:38.120
我在这画一个小点的x轴

00:12:38.120 --> 00:12:39.330
这是a 这段距离是δ

00:12:39.330 --> 00:12:43.370
这段距离也是δ

00:12:43.370 --> 00:12:45.440
只要选取位于这里的x--

00:12:45.440 --> 00:12:47.270
这个x