9:59:59.000,9:59:59.000
f(x)趋向于这个值

9:59:59.000,9:59:59.000
下期视频再见

9:59:59.000,9:59:59.000
下期视频我们会做一些例题

9:59:59.000,9:59:59.000
不会超过给定的数

9:59:59.000,9:59:59.000
之间的距离

9:59:59.000,9:59:59.000
以及一些极限结论

9:59:59.000,9:59:59.000
但这个定义是数学上严格精确的

9:59:59.000,9:59:59.000
使之成立

9:59:59.000,9:59:59.000
只要选这些x

9:59:59.000,9:59:59.000
在我们讲这之前 你们知道的是

9:59:59.000,9:59:59.000
在数学上的定义则是

9:59:59.000,9:59:59.000
如果你们要学习高等的微积分知识

9:59:59.000,9:59:59.000
如果你们觉着这看起来很复杂

9:59:59.000,9:59:59.000
它会迷惑很多学生

9:59:59.000,9:59:59.000
它是一个很“数学”的问题

9:59:59.000,9:59:59.000
它确实是很合乎逻辑的

9:59:59.000,9:59:59.000
定义非常的严格

9:59:59.000,9:59:59.000
就可以确保函数值和极限值

9:59:59.000,9:59:59.000
希望当用到实际的数字时

9:59:59.000,9:59:59.000
当x趋向于这点时

9:59:59.000,9:59:59.000
当取这些x值时

9:59:59.000,9:59:59.000
很难理解

9:59:59.000,9:59:59.000
我会用这个定义证明一些极限

9:59:59.000,9:59:59.000
我想很多人

9:59:59.000,9:59:59.000
我想要f(x)和极限值的距离

9:59:59.000,9:59:59.000
我想要非常接近

9:59:59.000,9:59:59.000
我有很深的感触

9:59:59.000,9:59:59.000
或者说要进修数学 那么这是很重要的

9:59:59.000,9:59:59.000
或者这个x 或者这个

9:59:59.000,9:59:59.000
是0.000000001

9:59:59.000,9:59:59.000
比如第三周你们就会用到

9:59:59.000,9:59:59.000
视频时间快到了

9:59:59.000,9:59:59.000
计算这些点处的f(x)

9:59:59.000,9:59:59.000
这个定义

9:59:59.000,9:59:59.000
这个定义会更好理解一些

9:59:59.000,9:59:59.000
这个定义会运用在大多数微积分课程

9:59:59.000,9:59:59.000
这个距离--

9:59:59.000,9:59:59.000
这时我仍可以给出一个x的范围

9:59:59.000,9:59:59.000
那么f(x)和极限值的距离

9:59:59.000,9:59:59.000
那时甚至还没学导数

0:00:00.900,0:00:02.810
我来画一个函数

0:00:02.810,0:00:04.490
对这个函数取极限会很有意思

0:00:04.490,0:00:06.880
现在我就把它画出来

0:00:06.880,0:00:08.390
之后我们会做一些练习

0:00:08.390,0:00:11.870
这是y轴 这是x轴

0:00:11.870,0:00:14.180
函数应该是这样的--

0:00:14.180,0:00:15.950
我尽量想一个简单一些的

0:00:15.950,0:00:19.760
在大多数情况下它是条直线

0:00:19.760,0:00:23.100
像这样

0:00:23.100,0:00:27.080
在某一点有一个洞

0:00:27.080,0:00:28.690
比如x=a这一点 没有定义

0:00:28.690,0:00:32.030
我把这一点抹黑 这样就知道

0:00:32.030,0:00:33.110
此处无定义

0:00:33.110,0:00:38.780
这一点是x=a

0:00:38.780,0:00:45.180
这是x轴 这是y=f(x)轴

0:00:45.180,0:00:47.120
就简单的称之为y轴吧

0:00:47.120,0:00:51.030
这条线是函数f(x)

0:00:51.030,0:00:53.880
或者说是y=f(x)

0:00:53.880,0:00:55.740
我们已经学习了一些极限的视频

0:00:55.740,0:00:57.160
我想你们有一个大致的理解了

0:00:57.160,0:00:59.850
这里要求求出x趋向于a时函数的极限

0:00:59.850,0:01:04.020
假设这一点是L

0:01:04.020,0:01:06.480
从前面的视频可以知道--

0:01:06.480,0:01:10.940
我先把它写出来--

0:01:10.940,0:01:13.690
f(x)当x趋向于a时的极限

0:01:13.690,0:01:17.560
直观地说 就是指

0:01:17.560,0:01:20.980
x从任一边趋向a时

0:01:20.980,0:01:22.290
比如从这边

0:01:22.290,0:01:27.030
这时f(x)趋向于什么？

0:01:27.030,0:01:29.490
当x在这的时候 f(x)在这

0:01:29.490,0:01:33.080
x在这的时候 f(x)在这

0:01:35.950,0:01:40.320
可以看到 它是趋向于L的

0:01:40.320,0:01:42.200
从另一边接近a时--

0:01:42.200,0:01:44.750
我们求过只从左边或者右边

0:01:44.750,0:01:48.670
趋向于某个数时的极限

0:01:48.670,0:01:52.380
但为了极限存在

0:01:52.380,0:01:54.440
必须从正负方向同时趋向

0:01:54.440,0:01:57.460
一个相同的数

0:01:57.460,0:02:03.860
从右边接近a时 选这个点

0:02:03.860,0:02:06.600
这是f(x)

0:02:06.600,0:02:07.960
在这

0:02:07.960,0:02:09.640
x到了这一点时 f(x)在这

0:02:09.640,0:02:13.360
随着x越来越接近a点

0:02:13.360,0:02:15.480
f(x)趋向于L

0:02:15.480,0:02:16.290
所以f(x)当x趋向于a时的极限

0:02:16.290,0:02:19.340
为L

0:02:19.340,0:02:21.440
我想我们理解这种定义了

0:02:21.440,0:02:27.360
但这并不是很--

0:02:27.360,0:02:29.360
实际上相对于极限的概念

0:02:29.360,0:02:32.180
这样的说法很不精确

0:02:32.180,0:02:36.990
我目前所说的仅限于x趋向于某个数时

0:02:36.990,0:02:39.290
f(x)趋近什么

0:02:39.290,0:02:48.640
所以这个视频中

0:02:48.640,0:02:55.150
我会尝试介绍一种新的

0:02:55.150,0:02:57.190
极限的定义

0:02:57.190,0:03:00.960
这种定义比简单的当x趋向某个值

0:03:00.960,0:03:05.980
f(x)趋向于什么的定义方式

0:03:05.980,0:03:12.360
要稍微精确一些 或者说要精确很多

0:03:12.360,0:03:16.160
我认为可以把它看成一个小游戏

0:03:16.160,0:03:18.030
新的定义就是

0:03:18.030,0:03:18.490
这个式子意义在于

0:03:18.490,0:03:21.840
我总是可以给出这个点的一个范围

0:03:21.840,0:03:29.900
这里谈到范围

0:03:29.900,0:03:37.460
我并不是针对整个定义域而言

0:03:37.460,0:03:39.760
这里说的范围是像 比如说

0:03:39.760,0:03:46.330
规定这么一段距离

0:03:46.330,0:03:49.980
只要在这范围之内

0:03:49.980,0:03:51.160
可以保证f(x)的值和L的距离

0:03:51.160,0:03:54.300
始终不会超过某个给定值

0:03:54.300,0:03:57.890
我把它看做

0:03:57.890,0:04:00.030
一个小游戏

0:04:02.820,0:04:07.830
你们可以不相信我

0:04:07.830,0:04:10.870
并怀疑f(x)能不能

0:04:10.870,0:04:16.770
始终位于和L相距0.5的范围内

0:04:16.770,0:04:19.340
你们给出的距离是0.5

0:04:19.340,0:04:21.020
此时 我必须能找到

0:04:21.020,0:04:22.560
点a附近的一段范围

0:04:22.560,0:04:23.910
确保f(x)值始终和L相距0.5以内 对吧？

0:04:23.910,0:04:28.770
也就是说f(x)始终位于

0:04:31.530,0:04:44.010
这段范围内

0:04:44.010,0:04:47.310
只要x位于以a为中心的那段范围

0:04:47.310,0:04:49.630
只要满足你们所给出的范围

0:04:49.630,0:04:52.690
那么f(x)肯定

0:04:52.690,0:04:58.090
能达到你们的要求

0:04:58.090,0:05:01.260
我把图画大一些

0:05:01.260,0:05:05.790
因为我觉着我是在同一个地方上

0:05:05.790,0:05:08.860
反复的写

0:05:08.860,0:05:10.450
这是曲线f(x) 这点没有定义

0:05:10.450,0:05:12.590
这里不一定非得是个洞

0:05:12.590,0:05:13.050
其极限值可以等于一个函数值

0:05:13.050,0:05:17.090
但当函数在这点无定义却存在极限时

0:05:17.090,0:05:19.510
情况会更为有趣

0:05:19.510,0:05:20.960
所以这一点是--

0:05:20.960,0:05:24.320
重新画出坐标轴

0:05:24.320,0:05:27.810
这是x轴 y轴 x y

0:05:27.810,0:05:30.480
这是极限值L 这是点a

0:05:30.480,0:05:36.810
所以极限的定义是

0:05:36.810,0:05:43.030
我一会儿会回到这个问题

0:05:43.030,0:05:48.030
因为既然图大了些 我想再解释一遍

0:05:48.030,0:05:51.650
这个式子表示--

0:05:51.650,0:05:54.000
这是极限的ε-δ定义

0:05:54.000,0:05:57.710
稍后我们会接触到ε和δ

0:05:57.710,0:06:02.320
这式子的意义就是 你给我

0:06:02.320,0:06:04.440
距L的任何一个距离

0:06:04.440,0:06:05.365
实际上我们称这段距离为ε

0:06:09.970,0:06:15.680
与最开始提出的定义相对应

0:06:15.680,0:06:19.440
f(x)与L的距离不超过ε

0:06:19.440,0:06:23.160
ε可以是任何

0:06:23.160,0:06:24.350
大于0的实数

0:06:24.350,0:06:26.060
所以这里的这段距离就是ε

0:06:26.060,0:06:29.630
这一段也是ε

0:06:29.630,0:06:32.980
对于给出的任何ε 任何实数--

0:06:32.980,0:06:36.430
这点是L+ε

0:06:36.430,0:06:38.940
这点是L-ε

0:06:38.940,0:06:43.000
极限的ε-δ定义是说

0:06:43.000,0:06:44.680
不论ε是多少

0:06:44.680,0:06:49.420
总可以在a的附近确定一段范围

0:06:49.420,0:06:52.570
并称之为δ

0:06:52.570,0:06:55.440
总是可以确定一个δ

0:06:55.440,0:06:57.290
这段是比a小δ

0:06:57.290,0:07:01.270
这段是比a大δ

0:07:01.270,0:07:04.490
这是字母δ

0:07:04.490,0:07:05.380
只要在a+δ和a-δ之间

0:07:05.380,0:07:11.750
选取一个x值

0:07:11.750,0:07:16.575
只要x位于这段范围

0:07:16.575,0:07:18.880
就可以保证与x相对应的f(x)

0:07:18.880,0:07:21.480
位于你所给出的范围

0:07:21.480,0:07:23.820
思考一下 你们会觉着有道理 对吧？

0:07:23.820,0:07:27.380
实质上是说

0:07:27.380,0:07:30.220
我可以无限接近极限值

0:07:30.220,0:07:35.680
只要--

0:07:35.680,0:07:39.970
我所说的无限接近

0:07:39.970,0:07:45.650
是指你们可以任意给出一个ε值

0:07:45.650,0:07:48.190
因为这有点像一个小游戏

0:07:48.190,0:07:50.920
通过给出一个需要趋近的点

0:07:50.920,0:07:57.790
附近的一段范围

0:07:57.790,0:08:02.980
f(x)就可以无限接近极限值

0:08:02.980,0:08:09.320
只要是在a附近的这段范围内

0:08:09.320,0:08:13.640
选取x的值

0:08:13.640,0:08:15.740
只要是在这里取一个x值

0:08:15.740,0:08:17.220
我就可以保证f(x)

0:08:17.220,0:08:19.750
位于你们所指定的范围

0:08:19.750,0:08:22.580
为了更具体点

0:08:22.580,0:08:24.110
假设 x位于--

0:08:24.110,0:08:26.730
我们一律换成具体的数字来表示

0:08:26.730,0:08:29.870
假设这个是2

0:08:29.870,0:08:36.270
这是1

0:08:36.270,0:08:40.290
也就是求x趋向1时f(x)的极限

0:08:40.290,0:08:42.900
还没定义f(x)

0:08:42.900,0:08:48.800
但函数曲线是条有一个洞的直线

0:08:48.800,0:08:52.180
那里的f(x)值是2

0:08:52.180,0:08:55.590
你们可以给我任何一个数字

0:08:55.590,0:09:00.270
假定你们想用几个具体例子来验证一下

0:09:00.270,0:09:03.540
比如想要f(x)位于--

0:09:03.540,0:09:08.240
换种颜色--

0:09:08.240,0:09:09.470
想要使f(x)位于距2这点0.5的范围内

0:09:09.470,0:09:11.270
也就是在1.5和2.5之间

0:09:11.270,0:09:12.760
那么只要x选在--

0:09:12.760,0:09:15.580
x可以任意接近

0:09:15.580,0:09:17.950
但只要x选在--

0:09:17.950,0:09:21.720
对于这个函数

0:09:21.720,0:09:23.680
假定是在0.9和1.1之间

0:09:23.680,0:09:26.250
那么在这个例子中 δ和极限点的距离只有0.1

0:09:26.250,0:09:33.460
只要在和1相距0.1的范围内

0:09:33.460,0:09:35.810
选取x

0:09:35.810,0:09:37.390
就可以确保f(x)

0:09:37.390,0:09:41.730
位于要求的范围

0:09:41.730,0:09:52.800
希望你们有初步的理解了

0:09:52.800,0:09:56.590
现在我用ε和δ来给出定义

0:09:56.590,0:09:57.760
实际上在课本中见到的就是这种

0:09:57.760,0:10:00.530
接下来再做几个练习

0:10:00.530,0:10:04.860
要搞清楚上面只是个特例

0:10:04.860,0:10:05.520
你们给出一个ε 我再给出一个δ

0:10:05.520,0:10:11.830
但如果它在定义里成立

0:10:11.830,0:10:15.210
或者说要把它写出来

0:10:15.210,0:10:23.025
那么就是说这并不仅仅适用于

0:10:23.025,0:10:27.950
一个特定的例子

0:10:27.950,0:10:31.340
而是适用于任何给定的数

0:10:31.340,0:10:34.840
ε可以是百万分之一

0:10:34.840,0:10:37.980
或者10的负一百次方

0:10:37.980,0:10:40.750
也就是说非常接近于2

0:10:40.750,0:10:45.400
我都可以给出一个a点附近的范围

0:10:45.400,0:10:46.450
只要在里面选x值

0:10:46.450,0:10:49.930
那么f(x)就位于所给出的范围

0:10:49.930,0:10:55.680
也就是距极限值

0:10:55.680,0:10:59.240
万亿分之一的距离

0:10:59.240,0:11:03.920
当然 我不能确定

0:11:03.920,0:11:07.520
当x=a时的情况

0:11:07.520,0:11:10.560
我只是说当x不等于a

0:11:10.560,0:11:17.010
且位于给定范围内时 它会成立

0:11:17.010,0:11:19.670
f(x)会在给定的范围内

0:11:19.670,0:11:23.460
为了在数学上更清晰些

0:11:23.460,0:11:27.170
因为目前为止我都只是用单词来讲

0:11:27.170,0:11:31.560
这是我们会在课本中看到的

0:11:31.560,0:11:36.470
给定任意一个大于0的ε

0:11:36.470,0:11:38.690
这是一种定义 对吧？

0:11:38.690,0:11:39.640
如果写成这样

0:11:39.640,0:11:42.345
那意味着ε可以是大于0的任何数

0:11:42.345,0:11:44.670
然后会给出一个δ

0:11:44.670,0:11:47.560
记住 ε是f(x)与极限值的距离

0:11:47.560,0:11:49.720
对吧？

0:11:49.720,0:11:53.010
是f(x)的范围

0:11:53.010,0:11:54.050
之后会给出δ 也就是与a的距离 对吧？

0:11:54.050,0:11:56.910
写出来

0:11:56.910,0:11:58.910
f(x)当x趋向a的极限是1

0:11:58.910,0:12:01.330
给出δ 只要x与a相距

0:12:01.330,0:12:02.160
不超过δ--

0:12:02.160,0:12:05.550
x和a的距离

0:12:05.550,0:12:12.945
假设x选在这-- 换种颜色--

0:12:12.945,0:12:13.960
如果x选在这

0:12:13.960,0:12:17.620
那么只要x和a的绝对值

0:12:17.620,0:12:19.970
大于0 这是为了保证x不会位于a

0:12:19.970,0:12:22.180
因为a点函数无定义

0:12:22.180,0:12:25.640
只要x和a的距离

0:12:25.640,0:12:29.540
大于0并小于给定的一个值

0:12:29.540,0:12:31.320
也就是δ

0:12:31.320,0:12:34.260
只要在这个范围选取x

0:12:34.260,0:12:38.120
我在这画一个小点的x轴

0:12:38.120,0:12:39.330
这是a 这段距离是δ

0:12:39.330,0:12:43.370
这段距离也是δ

0:12:43.370,0:12:45.440
只要选取位于这里的x--

0:12:45.440,0:12:47.270
这个x