Definição de limite epsilon delta 1

Introdução a definição de epsilon delta de limites.

Legenda em português brasileiro finalizada por Thiago Serra.

Vou desenhar uma função interessante

para tirar o limite.

Vou apenas desenhá-la agora,
é nós faremos alguns

exemplos específicos adiante.

Então esse é meu eixo y, e meu eixo x.

Digamos que a função se pareça com --

eu vou fazer uma função bem simples

-- digamos que seja uma linha,
na maior parte.

Digamos que se pareça assim,
exceto por ter um

buraco em um ponto

x igual a "a",
é indefinida aqui.

Deixa eu preencher este ponto de preto,
pra você ver que

não está definida.

E este ponto, é onde x é igual a "a".

Este é o eixo x, e este o y=f(x).

Vamos dizer que este é o eixo y.

E digamos que isto seja f(x), ou isto é

y=f(x).

Já fizemos vários vídeos de limites.

Acho que você tem uma ideia.

Se eu perguntasse: -Qual o limite
se x tende a "a"?

Digamos que este ponto aqui é L.

Sabemos de vídeos anteriores que --
antes de tudo,

eu tenho que escrever --
o limite de x tendendo

a "a" de f(x).

Intuitivamente isso significa que,
à medida que aproximamos "a" de qualquer

lado, como aproximamos desse lado, de quê

f(x) se aproxima?

Então quando x está aqui, f(x) está aqui.

Quando x está aqui, f(x) está ali.

E vemos que está se aproximando
desse L aqui.

E quando aproximamos "a" por esse lado --
e nós calculamos

limites só pela esquerda ou direita,

mas para ter mesmo limite,
precisa se aproximar igual

dos lados positivo e negativo --
mas à medida que

você vem dali, se você pegar esse X,
então este é o f(x).

f(x) é exatamente aqui.

Se x chega aqui então f(x) é esse, e
conforme nos aproximamos

de "a", f(x) se aŕoxima do ponto L,
ou do valor L.

Então dizemos que o limite de f(x)
quando x tende a "a"

é igual a L.

Acho que temos essa intuição.

Mas isso não está, na verdade
não é muito rigoroso

em termos de especificidade,
em termo do que

seja um limite.

O que eu disse até agora é que,
conforme nos aproximamos,

do quê f(x) fica próximo?

Nesse vídeo eu vou tentar
explicar uma definição

de limite um pouco mais,
ou na verdade

muito mais, rigor matemático
do que dizer: - Conforme x

se aproxima desse valor,
do quê f(x) se aproxima?

Eu vejo isso como se fosse um joguinho.

A definição é, essa afirmação aqui
significa que

eu sempre posso lhe dar um intervalo
em torno desse ponto -- e quando eu

falo de intervalo eu não me refiro a todo

o domínio, eu falo apenas
de um intervalo como

lhe dar uma distância de "a" e não vou

além dela, eu posso garantir a você
onde f(x) não estará

além de uma dada distância de L

-- e eu penso em ver isso como um jogo.

Digamos que você diga, OK Sal,
eu não acredito em você.

Eu quero ver f(x) ficando a até 0,5 de L.

Então, digamos que você me dê 0,5 e diga:
- A partir dessa

definição, você tem que
me dar um intervalo

em torno de "a" que cubra f(x)
a 0,5 de distância de L, certo?

Então os valores de f(x) vão
sempre ser dentro

desse intervalo aqui.

Se eu estiver dentro desse
intervalo em torno de "a",

nesse intervalo que você me deu,
f(x) será ao menos

tão próxima do nosso ponto limite.

Deixe-me desenhar isso um pouco maior,
porque eu acho que

eu estou borrando o diagrama.

Então digamos que isso é f(x),
e isso é o "buraco".

Não precisa ter um "buraco" aqui,
o limite vai ser um

valor da função, mas ele é mais

interessante se ela não for definida,
mas o limite sim.

Então esse ponto aqui-- isto é,
deixe-me traçar os eixos novamente.

Então esse é o eixo x, eixo y,
esse é o ponto do limite

L, e esse é o ponto "a".

Logo a definição de limite,
e eu volto a isso em

um segundo porque agora que está maior
quero explicar de novo.

Ela diz pela definição delta-epsilon

de limite, e logo chegaremos
a epsilon e delta,

que eu posso garantir-lhe f(x),
você me dando qualquer

distância de L que você queira.

Vamos chamar isso de epsilon.

Vamos apresentar a definição corretamente.

Então você diz: -Eu não quero

estar a distância
maior do que epsilon de L.

E epsilon pode ser qualquer número real

maior do que 0.

Então essa distância aqui é epsilon.

Essa aqui.

E para cada epsilon que me dê,
qualquer numero real --

então esse vai ser L mais epsilon,
e esse vai

ser L menos epsilon --
a definição epsilon-delta

disso diz que não importa
qual epsilon você me dê, eu

posso sempre especificar uma
distância em torno de "a".

Eu vou chama-lá de delta.

Eu posso sempre especificar uma
distância em torno de "a".

Então digamos que esse é
delta menor que "a", e isso

é delta maior que "a".

Essa letra é delta. Este é
delta mais "a".

Se você escolher um x que esteja
entre "a"+delta e

"a"-delta, se x estiver aqui dentro,
eu posso garantir

a você que o f(x) correspondente estará

dentro do seu intervalo.

Se pensar bem faz sentido, certo?

É simplesmente dizer: - Eu posso deixar
você tão perto quanto queira

desse ponto limite apenas por -- e
quando eu digo o mais perto que

queira, você me diz o que quer
com um epsilon;

é como um jogo -- e posso deixá-lo
tão perto quanto

queira do ponto L dando a você
um intervalo em volta do

ponto que x está se aproximando.

E contanto que você escolha um valor de x
que esteja dentro desse intervalo

em torno de "a", se escolher um valor de x
em torno dali, eu posso

garantir que f(x) estará
dentro do intervalo que

você especificou.

Para pensar em um caso prático,
digamos que você

diga: -Eu quero que f(x)
esteja a 0,5 -- vamos fazer

numericamente.

Digamos que este é o numero 2 e este o 1.

Então estamos dizendo que o limite
à medida que x tende a 1 de f(x) -- eu

não defini f(x), mas é uma
linha com buraco --

f(x) vai ser igual a 2.

Logo você pode me dar qualquer número.

Digamos que você queira
tentar alguns exemplos.

Você poderia dizer: - Eu quero que
f(x) esteja -- deixe-me

usar outra cor -- eu quero que
f(x) esteja a 0,5 de 2.

Eu quero que f(x) esteja entre 2,5 e 1,5.

Então eu posso dizer, OK, contanto que
você escolha um x dentro -- eu

não sei, pode ser arbitrariamente perto
mas se ao menos

você pegar um x que -- digamos
que funcione nesta função

que está entre, não sei, 0,9 e 1,1.

Então, nesse caso o delta para
nosso ponto limite é 0,1.

Contanto que você escolha um x
que está a 0,1 deste ponto, ou 1,

eu posso garantir que seu f(x) vai

estar naquele intervalo.

Você deve ter entendido a idéia.

Deixe-me definir isso com o
epsilon-delta de verdade,

isso é o que você vai encontrar
no seu livro de matemática,

e então faremos mais exemplos.

E para ser claro, aquele foi
um exemplo específico.

Você me deu um epsilon e eu
devolvi um delta que funcionou.

Mas se por definição isso for
verdade, ou se alguém escreve

isto, então diríamos que isso não
funciona apenas para um exemplo

específico, mas sim mas qualquer
número que você me dê.

Você pode me dizer que quer estar
a um milionésimo de, ou

dez elevado à centésima
potência negativa de 2, muito

próximo de 2, e eu sempre posso
dar um intervalo em torno desse

ponto no qual, contanto que você
escolha um x no intervalo, f(x) vai

sempre estar dentro do intervalo
que você escolheu, digamos

dentro de um trilionésimo de unidade

do ponto limite.

Obviamente, o que eu não posso garantir é o que

acontece quando x é igual a "a".

Estou apenas dizendo que contanto
que você pegue um x no meu

intervalo mas não seja "a",
isso vai funcionar.

Seu f(x) vai estar no intervalo
que você escolheu.

E para deixar a matemática
clara -- porque eu tenho

apenas usado palavras até aqui
-- isso é o que está nos

livros: que você me dê
qualquer epsilon

maior que 0.

Bem, isso é uma definição, certo?

Se alguém escreve isso, quer dizer
que você pode dar qualquer

epsilon maior que 0, e eles
te darão um delta --

lembre que seu epsilon é quão
perto você quer que f(x) esteja

do ponto limite, certo?

É um intervalo em torno de f(x)
-- eles te darão um delta,

que é um intervalo em
torno de "a", certo?

Deixe-me escrever isso.

O limite conforme se aproxima
de "a" de f(x) é igual a L.

Então eles vão te dar um delta,
no qual tão logo x não seja mais

que delta -- logo a distância
entre x e "a", então se pegarmos

um x aqui -- deixe-me usar outra
cor -- se pegarmos um x aqui,

a distância entre aquele valor
e "a", contanto que seja

maior do que 0 para que x
não seja exatamente "a",

porque a funcão pode ser
indefinida nesse ponto.

Mas tão logo a distância
entre x e "a" seja maior

que 0 e menor que esse
intervalo de x que te deram,

vai ser menos que delta.

Então se você pegar um x,
se eu fosse ampliar o

eixo x bem aqui -- isto é "a"
e então essa distância aqui

seria delta, e esta distância aqui seria

delta -- contato que você pegue um
valor de x por aqui -- então se

você pegar esse valor x, ou
esse, ou aquele

-- contato que pegue um desses valores,
eu posso garantir

a você que a distância do valor
da função ao ponto

limite, a distância quando
você pega um desses

valores x e avalia f(x) no ponto, que a

distância entre aquele f(x)
e o ponto limite vai

ser menos que o número que me deu.

Você pode pensar que é
bem complicado, e eu

fico receoso de onde isso
é incluso em muitas

ementas de cálculo.

Está incluso, por exemplo,
na terceira semana antes

de você aprender derivadas,
e isso e muito matemático

e rigoroso para se pensar,
e isso tende a

deixar muitos estudantes perdidos
e eu não acho que muita gente

entenda a ideia por trás disso, mas é

matematicamente rigorosa.

E eu acho ser muito importante,
assim que você estude

cálculo avançado e se torne
um estudante de matemática.

Mas dito isso, isso faz
muito sentido

intuitivamente, certo?

Porque antes nós falávamos sobre chegar

tão próximo quando x se aproxime,
este valor f(x) vai se

aproximar desse valor.

E o jeito matemático de
definir isso é, digamos,

eu quero estar muito perto.

Eu quero que a distância seja f(x)

e o intervalo seja 0,000000001,
então eu sempre posso

posso te dar uma distância em torno de x
na qual isto será verdade.

E eu esgotei meu tempo nesse vídeo.

No próximo vídeo vou fazer alguns
exemplos nos quais eu provo os

limites, no qual eu provo algumas
expressões de limite usando

esta definição.

E espero que quando usemos números, esta

definição faça um pouco mais de sentido.

Vejo você no próximo vídeo.

[legenda finalizada por: Thiago Serra]