0:00:00.900,0:00:02.810
Vou desenhar uma função interessante

0:00:02.810,0:00:04.490
para tirar o limite.

0:00:04.490,0:00:06.880
Vou apenas desenhá-la agora, [br]é nós faremos alguns

0:00:06.880,0:00:08.390
exemplos específicos adiante.

0:00:08.390,0:00:11.870
Então esse é meu eixo y, e meu eixo x.

0:00:11.870,0:00:14.180
Digamos que a função se pareça com --

0:00:14.180,0:00:15.950
eu vou fazer uma função bem simples

0:00:15.950,0:00:19.760
-- digamos que seja uma linha, [br]na maior parte.

0:00:19.760,0:00:23.100
Digamos que se pareça assim, [br]exceto por ter um

0:00:23.100,0:00:27.080
buraco em um ponto

0:00:27.080,0:00:28.690
x igual a "a", [br]é indefinida aqui.

0:00:28.690,0:00:32.030
Deixa eu preencher este ponto de preto, [br]pra você ver que

0:00:32.030,0:00:33.110
não está definida.

0:00:33.110,0:00:38.780
E este ponto, é onde x é igual a "a".

0:00:38.780,0:00:45.180
Este é o eixo x, e este o y=f(x).

0:00:45.180,0:00:47.120
Vamos dizer que este é o eixo y.

0:00:47.120,0:00:51.030
E digamos que isto seja f(x), ou isto é

0:00:51.030,0:00:53.880
y=f(x).

0:00:53.880,0:00:55.740
Já fizemos vários vídeos de limites.

0:00:55.740,0:00:57.160
Acho que você tem uma ideia.

0:00:57.160,0:00:59.850
Se eu perguntasse: -Qual o limite[br]se x tende a "a"?

0:00:59.850,0:01:04.020
Digamos que este ponto aqui é L.

0:01:04.020,0:01:06.480
Sabemos de vídeos anteriores que -- [br]antes de tudo,

0:01:06.480,0:01:10.940
eu tenho que escrever -- [br]o limite de x tendendo

0:01:10.940,0:01:13.690
a "a" de f(x).

0:01:13.690,0:01:17.560
Intuitivamente isso significa que, [br]à medida que aproximamos "a" de qualquer

0:01:17.560,0:01:20.980
lado, como aproximamos desse lado, de quê

0:01:20.980,0:01:22.290
f(x) se aproxima?

0:01:22.290,0:01:27.030
Então quando x está aqui, f(x) está aqui.

0:01:27.030,0:01:29.490
Quando x está aqui, f(x) está ali.

0:01:29.490,0:01:33.080
E vemos que está se aproximando[br]desse L aqui.

0:01:33.080,0:01:40.320
E quando aproximamos "a" por esse lado --[br]e nós calculamos

0:01:40.320,0:01:42.200
limites só pela esquerda ou direita,

0:01:42.200,0:01:44.750
mas para ter mesmo limite, [br]precisa se aproximar igual

0:01:44.750,0:01:48.670
dos lados positivo e negativo -- [br]mas à medida que

0:01:48.670,0:01:52.380
você vem dali, se você pegar esse X, [br]então este é o f(x).

0:01:52.380,0:01:54.440
f(x) é exatamente aqui.

0:01:54.440,0:01:57.460
Se x chega aqui então f(x) é esse, e [br]conforme nos aproximamos

0:01:57.460,0:02:03.860
de "a", f(x) se aŕoxima do ponto L, [br]ou do valor L.

0:02:03.860,0:02:06.600
Então dizemos que o limite de f(x)[br]quando x tende a "a"

0:02:06.600,0:02:07.960
é igual a L.

0:02:07.960,0:02:09.640
Acho que temos essa intuição.

0:02:09.640,0:02:13.360
Mas isso não está, na verdade [br]não é muito rigoroso

0:02:13.360,0:02:15.480
em termos de especificidade, [br]em termo do que

0:02:15.480,0:02:16.290
seja um limite.

0:02:16.290,0:02:19.340
O que eu disse até agora é que, [br]conforme nos aproximamos,

0:02:19.340,0:02:21.440
do quê f(x) fica próximo?

0:02:21.440,0:02:27.360
Nesse vídeo eu vou tentar[br]explicar uma definição

0:02:27.360,0:02:29.360
de limite um pouco mais,[br]ou na verdade

0:02:29.360,0:02:32.180
muito mais, rigor matemático [br]do que dizer: - Conforme x

0:02:32.180,0:02:36.990
se aproxima desse valor,[br]do quê f(x) se aproxima?

0:02:36.990,0:02:39.290
Eu vejo isso como se fosse um joguinho.

0:02:39.290,0:02:48.640
A definição é, essa afirmação aqui[br]significa que

0:02:48.640,0:02:55.150
eu sempre posso lhe dar um intervalo[br]em torno desse ponto -- e quando eu

0:02:55.150,0:02:57.190
falo de intervalo eu não me refiro a todo

0:02:57.190,0:03:00.960
o domínio, eu falo apenas[br]de um intervalo como

0:03:00.960,0:03:05.980
lhe dar uma distância de "a" e não vou

0:03:05.980,0:03:12.360
além dela, eu posso garantir a você[br]onde f(x) não estará

0:03:12.360,0:03:16.160
além de uma dada distância de L

0:03:16.160,0:03:18.490
-- e eu penso em ver isso como um jogo.

0:03:18.490,0:03:21.840
Digamos que você diga, OK Sal,[br]eu não acredito em você.

0:03:21.840,0:03:29.900
Eu quero ver f(x) ficando a até 0,5 de L.

0:03:29.900,0:03:37.460
Então, digamos que você me dê 0,5 e diga: [br]- A partir dessa

0:03:37.460,0:03:39.760
definição, você tem que [br]me dar um intervalo

0:03:39.760,0:03:46.330
em torno de "a" que cubra f(x) [br]a 0,5 de distância de L, certo?

0:03:46.330,0:03:49.980
Então os valores de f(x) vão[br]sempre ser dentro

0:03:49.980,0:03:51.160
desse intervalo aqui.

0:03:51.160,0:03:54.300
Se eu estiver dentro desse[br]intervalo em torno de "a",

0:03:54.300,0:03:57.890
nesse intervalo que você me deu, [br]f(x) será ao menos

0:03:57.890,0:04:02.820
tão próxima do nosso ponto limite.

0:04:02.820,0:04:07.830
Deixe-me desenhar isso um pouco maior, [br]porque eu acho que

0:04:07.830,0:04:10.870
eu estou borrando o diagrama.

0:04:10.870,0:04:16.770
Então digamos que isso é f(x), [br]e isso é o "buraco".

0:04:16.770,0:04:19.340
Não precisa ter um "buraco" aqui, [br]o limite vai ser um

0:04:19.340,0:04:21.020
valor da função, mas ele é mais

0:04:21.020,0:04:23.596
interessante se ela não for definida,[br]mas o limite sim.

0:04:23.596,0:04:28.770
Então esse ponto aqui-- isto é, [br]deixe-me traçar os eixos novamente.

0:04:31.530,0:04:44.010
Então esse é o eixo x, eixo y,[br]esse é o ponto do limite

0:04:44.010,0:04:47.310
L, e esse é o ponto "a".

0:04:47.310,0:04:49.630
Logo a definição de limite, [br]e eu volto a isso em

0:04:49.630,0:04:52.690
um segundo porque agora que está maior[br]quero explicar de novo.

0:04:52.690,0:04:58.090
Ela diz pela definição delta-epsilon

0:04:58.090,0:05:01.260
de limite, e logo chegaremos[br]a epsilon e delta,

0:05:01.260,0:05:05.790
que eu posso garantir-lhe f(x), [br]você me dando qualquer

0:05:05.790,0:05:08.860
distância de L que você queira.

0:05:08.860,0:05:10.450
Vamos chamar isso de epsilon.

0:05:10.450,0:05:12.590
Vamos apresentar a definição corretamente.

0:05:12.590,0:05:14.896
Então você diz: -Eu não quero

0:05:14.896,0:05:17.202
estar a distância[br]maior do que epsilon de L.

0:05:17.202,0:05:19.510
E epsilon pode ser qualquer número real

0:05:19.510,0:05:20.960
maior do que 0.

0:05:20.960,0:05:24.320
Então essa distância aqui é epsilon.

0:05:24.320,0:05:27.810
Essa aqui.

0:05:27.810,0:05:30.480
E para cada epsilon que me dê, [br]qualquer numero real --

0:05:30.480,0:05:36.810
então esse vai ser L mais epsilon, [br]e esse vai

0:05:36.810,0:05:43.030
ser L menos epsilon -- [br]a definição epsilon-delta

0:05:43.030,0:05:48.030
disso diz que não importa[br]qual epsilon você me dê, eu

0:05:48.030,0:05:51.650
posso sempre especificar uma[br]distância em torno de "a".

0:05:51.650,0:05:54.000
Eu vou chama-lá de delta.

0:05:54.000,0:05:57.710
Eu posso sempre especificar uma[br]distância em torno de "a".

0:05:57.710,0:06:02.320
Então digamos que esse é [br]delta menor que "a", e isso

0:06:02.320,0:06:04.440
é delta maior que "a".

0:06:04.440,0:06:09.975
Essa letra é delta. Este é[br]delta mais "a".

0:06:09.975,0:06:15.680
Se você escolher um x que esteja[br]entre "a"+delta e

0:06:15.680,0:06:19.440
"a"-delta, se x estiver aqui dentro,[br]eu posso garantir

0:06:19.440,0:06:23.160
a você que o f(x) correspondente estará

0:06:23.160,0:06:24.350
dentro do seu intervalo.

0:06:24.350,0:06:26.060
Se pensar bem faz sentido, certo?

0:06:26.060,0:06:29.630
É simplesmente dizer: - Eu posso deixar[br]você tão perto quanto queira

0:06:29.630,0:06:32.980
desse ponto limite apenas por -- e [br]quando eu digo o mais perto que

0:06:32.980,0:06:36.430
queira, você me diz o que quer[br]com um epsilon;

0:06:36.430,0:06:38.940
é como um jogo -- e posso deixá-lo[br]tão perto quanto

0:06:38.940,0:06:43.000
queira do ponto L dando a você[br]um intervalo em volta do

0:06:43.000,0:06:44.680
ponto que x está se aproximando.

0:06:44.680,0:06:49.420
E contanto que você escolha um valor de x[br]que esteja dentro desse intervalo

0:06:49.420,0:06:52.570
em torno de "a", se escolher um valor de x[br]em torno dali, eu posso

0:06:52.570,0:06:55.440
garantir que f(x) estará[br]dentro do intervalo que

0:06:55.440,0:06:57.290
você especificou.

0:06:57.290,0:07:01.270
Para pensar em um caso prático,[br]digamos que você

0:07:01.270,0:07:04.490
diga: -Eu quero que f(x)[br]esteja a 0,5 -- vamos fazer

0:07:04.490,0:07:05.380
numericamente.

0:07:05.380,0:07:11.750
Digamos que este é o numero 2 e este o 1.

0:07:11.750,0:07:16.575
Então estamos dizendo que o limite[br]à medida que x tende a 1 de f(x) -- eu

0:07:16.575,0:07:18.880
não defini f(x), mas é uma[br]linha com buraco --

0:07:18.880,0:07:21.480
f(x) vai ser igual a 2.

0:07:21.480,0:07:23.820
Logo você pode me dar qualquer número.

0:07:23.820,0:07:27.380
Digamos que você queira[br]tentar alguns exemplos.

0:07:27.380,0:07:30.220
Você poderia dizer: - Eu quero que [br]f(x) esteja -- deixe-me

0:07:30.220,0:07:35.680
usar outra cor -- eu quero que [br]f(x) esteja a 0,5 de 2.

0:07:35.680,0:07:39.970
Eu quero que f(x) esteja entre 2,5 e 1,5.

0:07:39.970,0:07:45.650
Então eu posso dizer, OK, contanto que[br]você escolha um x dentro -- eu

0:07:45.650,0:07:48.190
não sei, pode ser arbitrariamente perto[br]mas se ao menos

0:07:48.190,0:07:50.920
você pegar um x que -- digamos[br]que funcione nesta função

0:07:50.920,0:07:57.790
que está entre, não sei, 0,9 e 1,1.

0:07:57.790,0:08:02.980
Então, nesse caso o delta para[br]nosso ponto limite é 0,1.

0:08:02.980,0:08:09.320
Contanto que você escolha um x[br]que está a 0,1 deste ponto, ou 1,

0:08:09.320,0:08:13.640
eu posso garantir que seu f(x) vai

0:08:13.640,0:08:15.740
estar naquele intervalo.

0:08:15.740,0:08:17.220
Você deve ter entendido a idéia.

0:08:17.220,0:08:19.750
Deixe-me definir isso com o[br]epsilon-delta de verdade,

0:08:19.750,0:08:22.580
isso é o que você vai encontrar[br]no seu livro de matemática,

0:08:22.580,0:08:24.110
e então faremos mais exemplos.

0:08:24.110,0:08:26.730
E para ser claro, aquele foi[br]um exemplo específico.

0:08:26.730,0:08:29.870
Você me deu um epsilon e eu[br]devolvi um delta que funcionou.

0:08:29.870,0:08:36.270
Mas se por definição isso for[br]verdade, ou se alguém escreve

0:08:36.270,0:08:40.290
isto, então diríamos que isso não[br]funciona apenas para um exemplo

0:08:40.290,0:08:42.900
específico, mas sim mas qualquer[br]número que você me dê.

0:08:42.900,0:08:48.800
Você pode me dizer que quer estar[br]a um milionésimo de, ou

0:08:48.800,0:08:52.180
dez elevado à centésima[br]potência negativa de 2, muito

0:08:52.180,0:08:55.590
próximo de 2, e eu sempre posso[br]dar um intervalo em torno desse

0:08:55.590,0:09:00.270
ponto no qual, contanto que você[br]escolha um x no intervalo, f(x) vai

0:09:00.270,0:09:03.540
sempre estar dentro do intervalo[br]que você escolheu, digamos

0:09:03.540,0:09:08.240
dentro de um trilionésimo de unidade

0:09:08.240,0:09:09.470
do ponto limite.

0:09:09.470,0:09:11.270
Obviamente, o que eu não posso garantir é o que

0:09:11.270,0:09:12.760
acontece quando x é igual a "a".

0:09:12.760,0:09:15.580
Estou apenas dizendo que contanto[br]que você pegue um x no meu

0:09:15.580,0:09:17.950
intervalo mas não seja "a",[br]isso vai funcionar.

0:09:17.950,0:09:21.720
Seu f(x) vai estar no intervalo[br]que você escolheu.

0:09:21.720,0:09:23.680
E para deixar a matemática[br]clara -- porque eu tenho

0:09:23.680,0:09:26.250
apenas usado palavras até aqui[br]-- isso é o que está nos

0:09:26.250,0:09:33.460
livros: que você me dê[br]qualquer epsilon

0:09:33.460,0:09:35.810
maior que 0.

0:09:35.810,0:09:37.390
Bem, isso é uma definição, certo?

0:09:37.390,0:09:41.730
Se alguém escreve isso, quer dizer[br]que você pode dar qualquer

0:09:41.730,0:09:52.800
epsilon maior que 0, e eles[br]te darão um delta --

0:09:52.800,0:09:56.590
lembre que seu epsilon é quão[br]perto você quer que f(x) esteja

0:09:56.590,0:09:57.760
do ponto limite, certo?

0:09:57.760,0:10:00.530
É um intervalo em torno de f(x)[br]-- eles te darão um delta,

0:10:00.530,0:10:04.860
que é um intervalo em[br]torno de "a", certo?

0:10:04.860,0:10:05.520
Deixe-me escrever isso.

0:10:05.520,0:10:11.830
O limite conforme se aproxima[br]de "a" de f(x) é igual a L.

0:10:11.830,0:10:15.210
Então eles vão te dar um delta,[br]no qual tão logo x não seja mais

0:10:15.210,0:10:23.025
que delta -- logo a distância[br]entre x e "a", então se pegarmos

0:10:23.025,0:10:27.950
um x aqui -- deixe-me usar outra[br]cor -- se pegarmos um x aqui,

0:10:27.950,0:10:31.340
a distância entre aquele valor[br]e "a", contanto que seja

0:10:31.340,0:10:34.840
maior do que 0 para que x[br]não seja exatamente "a",

0:10:34.840,0:10:37.980
porque a funcão pode ser[br]indefinida nesse ponto.

0:10:37.980,0:10:40.750
Mas tão logo a distância[br]entre x e "a" seja maior

0:10:40.750,0:10:45.400
que 0 e menor que esse[br]intervalo de x que te deram,

0:10:45.400,0:10:46.450
vai ser menos que delta.

0:10:46.450,0:10:49.930
Então se você pegar um x,[br]se eu fosse ampliar o

0:10:49.930,0:10:55.680
eixo x bem aqui -- isto é "a"[br]e então essa distância aqui

0:10:55.680,0:10:59.240
seria delta, e esta distância aqui seria

0:10:59.240,0:11:03.920
delta -- contato que você pegue um[br]valor de x por aqui -- então se

0:11:03.920,0:11:07.520
você pegar esse valor x, ou [br]esse, ou aquele

0:11:07.520,0:11:10.560
-- contato que pegue um desses valores, [br]eu posso garantir

0:11:10.560,0:11:17.010
a você que a distância do valor[br]da função ao ponto

0:11:17.010,0:11:19.670
limite, a distância quando[br]você pega um desses

0:11:19.670,0:11:23.460
valores x e avalia f(x) no ponto, que a

0:11:23.460,0:11:27.170
distância entre aquele f(x)[br]e o ponto limite vai

0:11:27.170,0:11:31.560
ser menos que o número que me deu.

0:11:31.560,0:11:36.470
Você pode pensar que é[br]bem complicado, e eu

0:11:36.470,0:11:38.690
fico receoso de onde isso[br]é incluso em muitas

0:11:38.690,0:11:39.640
ementas de cálculo.

0:11:39.640,0:11:42.345
Está incluso, por exemplo,[br]na terceira semana antes

0:11:42.345,0:11:44.670
de você aprender derivadas,[br]e isso e muito matemático

0:11:44.670,0:11:47.560
e rigoroso para se pensar,[br]e isso tende a

0:11:47.560,0:11:49.720
deixar muitos estudantes perdidos[br]e eu não acho que muita gente

0:11:49.720,0:11:53.010
entenda a ideia por trás disso, mas é

0:11:53.010,0:11:54.050
matematicamente rigorosa.

0:11:54.050,0:11:56.910
E eu acho ser muito importante,[br]assim que você estude

0:11:56.910,0:11:58.910
cálculo avançado e se torne[br]um estudante de matemática.

0:11:58.910,0:12:01.330
Mas dito isso, isso faz[br]muito sentido

0:12:01.330,0:12:02.160
intuitivamente, certo?

0:12:02.160,0:12:05.550
Porque antes nós falávamos sobre chegar

0:12:05.550,0:12:12.945
tão próximo quando x se aproxime,[br]este valor f(x) vai se

0:12:12.945,0:12:13.960
aproximar desse valor.

0:12:13.960,0:12:17.620
E o jeito matemático de[br]definir isso é, digamos,

0:12:17.620,0:12:19.970
eu quero estar muito perto.

0:12:19.970,0:12:22.180
Eu quero que a distância seja f(x)

0:12:22.180,0:12:25.640
e o intervalo seja 0,000000001,[br]então eu sempre posso

0:12:25.640,0:12:29.540
posso te dar uma distância em torno de x[br]na qual isto será verdade.

0:12:29.540,0:12:31.320
E eu esgotei meu tempo nesse vídeo.

0:12:31.320,0:12:34.260
No próximo vídeo vou fazer alguns[br]exemplos nos quais eu provo os

0:12:34.260,0:12:38.120
limites, no qual eu provo algumas[br]expressões de limite usando

0:12:38.120,0:12:39.330
esta definição.

0:12:39.330,0:12:43.370
E espero que quando usemos números, esta

0:12:43.370,0:12:44.670
definição faça um pouco mais de sentido.

0:12:44.670,0:12:45.970
Vejo você no próximo vídeo.

0:12:45.970,0:12:47.270
[legenda finalizada por: Thiago Serra]