WEBVTT

00:00:00.900 --> 00:00:02.810
Vou desenhar uma função interessante

00:00:02.810 --> 00:00:04.490
para tirar o limite.

00:00:04.490 --> 00:00:06.880
Vou apenas desenhá-la agora, 
é nós faremos alguns

00:00:06.880 --> 00:00:08.390
exemplos específicos adiante.

00:00:08.390 --> 00:00:11.870
Então esse é meu eixo y, e meu eixo x.

00:00:11.870 --> 00:00:14.180
Digamos que a função se pareça com --

00:00:14.180 --> 00:00:15.950
eu vou fazer uma função bem simples

00:00:15.950 --> 00:00:19.760
-- digamos que seja uma linha, 
na maior parte.

00:00:19.760 --> 00:00:23.100
Digamos que se pareça assim, 
exceto por ter um

00:00:23.100 --> 00:00:27.080
buraco em um ponto

00:00:27.080 --> 00:00:28.690
x igual a "a", 
é indefinida aqui.

00:00:28.690 --> 00:00:32.030
Deixa eu preencher este ponto de preto, 
pra você ver que

00:00:32.030 --> 00:00:33.110
não está definida.

00:00:33.110 --> 00:00:38.780
E este ponto, é onde x é igual a "a".

00:00:38.780 --> 00:00:45.180
Este é o eixo x, e este o y=f(x).

00:00:45.180 --> 00:00:47.120
Vamos dizer que este é o eixo y.

00:00:47.120 --> 00:00:51.030
E digamos que isto seja f(x), ou isto é

00:00:51.030 --> 00:00:53.880
y=f(x).

00:00:53.880 --> 00:00:55.740
Já fizemos vários vídeos de limites.

00:00:55.740 --> 00:00:57.160
Acho que você tem uma ideia.

00:00:57.160 --> 00:00:59.850
Se eu perguntasse: -Qual o limite
se x tende a "a"?

00:00:59.850 --> 00:01:04.020
Digamos que este ponto aqui é L.

00:01:04.020 --> 00:01:06.480
Sabemos de vídeos anteriores que -- 
antes de tudo,

00:01:06.480 --> 00:01:10.940
eu tenho que escrever -- 
o limite de x tendendo

00:01:10.940 --> 00:01:13.690
a "a" de f(x).

00:01:13.690 --> 00:01:17.560
Intuitivamente isso significa que, 
à medida que aproximamos "a" de qualquer

00:01:17.560 --> 00:01:20.980
lado, como aproximamos desse lado, de quê

00:01:20.980 --> 00:01:22.290
f(x) se aproxima?

00:01:22.290 --> 00:01:27.030
Então quando x está aqui, f(x) está aqui.

00:01:27.030 --> 00:01:29.490
Quando x está aqui, f(x) está ali.

00:01:29.490 --> 00:01:33.080
E vemos que está se aproximando
desse L aqui.

00:01:33.080 --> 00:01:40.320
E quando aproximamos "a" por esse lado --
e nós calculamos

00:01:40.320 --> 00:01:42.200
limites só pela esquerda ou direita,

00:01:42.200 --> 00:01:44.750
mas para ter mesmo limite, 
precisa se aproximar igual

00:01:44.750 --> 00:01:48.670
dos lados positivo e negativo -- 
mas à medida que

00:01:48.670 --> 00:01:52.380
você vem dali, se você pegar esse X, 
então este é o f(x).

00:01:52.380 --> 00:01:54.440
f(x) é exatamente aqui.

00:01:54.440 --> 00:01:57.460
Se x chega aqui então f(x) é esse, e 
conforme nos aproximamos

00:01:57.460 --> 00:02:03.860
de "a", f(x) se aŕoxima do ponto L, 
ou do valor L.

00:02:03.860 --> 00:02:06.600
Então dizemos que o limite de f(x)
quando x tende a "a"

00:02:06.600 --> 00:02:07.960
é igual a L.

00:02:07.960 --> 00:02:09.640
Acho que temos essa intuição.

00:02:09.640 --> 00:02:13.360
Mas isso não está, na verdade 
não é muito rigoroso

00:02:13.360 --> 00:02:15.480
em termos de especificidade, 
em termo do que

00:02:15.480 --> 00:02:16.290
seja um limite.

00:02:16.290 --> 00:02:19.340
O que eu disse até agora é que, 
conforme nos aproximamos,

00:02:19.340 --> 00:02:21.440
do quê f(x) fica próximo?

00:02:21.440 --> 00:02:27.360
Nesse vídeo eu vou tentar
explicar uma definição

00:02:27.360 --> 00:02:29.360
de limite um pouco mais,
ou na verdade

00:02:29.360 --> 00:02:32.180
muito mais, rigor matemático 
do que dizer: - Conforme x

00:02:32.180 --> 00:02:36.990
se aproxima desse valor,
do quê f(x) se aproxima?

00:02:36.990 --> 00:02:39.290
Eu vejo isso como se fosse um joguinho.

00:02:39.290 --> 00:02:48.640
A definição é, essa afirmação aqui
significa que

00:02:48.640 --> 00:02:55.150
eu sempre posso lhe dar um intervalo
em torno desse ponto -- e quando eu

00:02:55.150 --> 00:02:57.190
falo de intervalo eu não me refiro a todo

00:02:57.190 --> 00:03:00.960
o domínio, eu falo apenas
de um intervalo como

00:03:00.960 --> 00:03:05.980
lhe dar uma distância de "a" e não vou

00:03:05.980 --> 00:03:12.360
além dela, eu posso garantir a você
onde f(x) não estará

00:03:12.360 --> 00:03:16.160
além de uma dada distância de L

00:03:16.160 --> 00:03:18.490
-- e eu penso em ver isso como um jogo.

00:03:18.490 --> 00:03:21.840
Digamos que você diga, OK Sal,
eu não acredito em você.

00:03:21.840 --> 00:03:29.900
Eu quero ver f(x) ficando a até 0,5 de L.

00:03:29.900 --> 00:03:37.460
Então, digamos que você me dê 0,5 e diga: 
- A partir dessa

00:03:37.460 --> 00:03:39.760
definição, você tem que 
me dar um intervalo

00:03:39.760 --> 00:03:46.330
em torno de "a" que cubra f(x) 
a 0,5 de distância de L, certo?

00:03:46.330 --> 00:03:49.980
Então os valores de f(x) vão
sempre ser dentro

00:03:49.980 --> 00:03:51.160
desse intervalo aqui.

00:03:51.160 --> 00:03:54.300
Se eu estiver dentro desse
intervalo em torno de "a",

00:03:54.300 --> 00:03:57.890
nesse intervalo que você me deu, 
f(x) será ao menos

00:03:57.890 --> 00:04:02.820
tão próxima do nosso ponto limite.

00:04:02.820 --> 00:04:07.830
Deixe-me desenhar isso um pouco maior, 
porque eu acho que

00:04:07.830 --> 00:04:10.870
eu estou borrando o diagrama.

00:04:10.870 --> 00:04:16.770
Então digamos que isso é f(x), 
e isso é o "buraco".

00:04:16.770 --> 00:04:19.340
Não precisa ter um "buraco" aqui, 
o limite vai ser um

00:04:19.340 --> 00:04:21.020
valor da função, mas ele é mais

00:04:21.020 --> 00:04:23.596
interessante se ela não for definida,
mas o limite sim.

00:04:23.596 --> 00:04:28.770
Então esse ponto aqui-- isto é, 
deixe-me traçar os eixos novamente.

00:04:31.530 --> 00:04:44.010
Então esse é o eixo x, eixo y,
esse é o ponto do limite

00:04:44.010 --> 00:04:47.310
L, e esse é o ponto "a".

00:04:47.310 --> 00:04:49.630
Logo a definição de limite, 
e eu volto a isso em

00:04:49.630 --> 00:04:52.690
um segundo porque agora que está maior
quero explicar de novo.

00:04:52.690 --> 00:04:58.090
Ela diz pela definição delta-epsilon

00:04:58.090 --> 00:05:01.260
de limite, e logo chegaremos
a epsilon e delta,

00:05:01.260 --> 00:05:05.790
que eu posso garantir-lhe f(x), 
você me dando qualquer

00:05:05.790 --> 00:05:08.860
distância de L que você queira.

00:05:08.860 --> 00:05:10.450
Vamos chamar isso de epsilon.

00:05:10.450 --> 00:05:12.590
Vamos apresentar a definição corretamente.

00:05:12.590 --> 00:05:14.896
Então você diz: -Eu não quero

00:05:14.896 --> 00:05:17.202
estar a distância
maior do que epsilon de L.

00:05:17.202 --> 00:05:19.510
E epsilon pode ser qualquer número real

00:05:19.510 --> 00:05:20.960
maior do que 0.

00:05:20.960 --> 00:05:24.320
Então essa distância aqui é epsilon.

00:05:24.320 --> 00:05:27.810
Essa aqui.

00:05:27.810 --> 00:05:30.480
E para cada epsilon que me dê, 
qualquer numero real --

00:05:30.480 --> 00:05:36.810
então esse vai ser L mais epsilon, 
e esse vai

00:05:36.810 --> 00:05:43.030
ser L menos epsilon -- 
a definição epsilon-delta

00:05:43.030 --> 00:05:48.030
disso diz que não importa
qual epsilon você me dê, eu

00:05:48.030 --> 00:05:51.650
posso sempre especificar uma
distância em torno de "a".

00:05:51.650 --> 00:05:54.000
Eu vou chama-lá de delta.

00:05:54.000 --> 00:05:57.710
Eu posso sempre especificar uma
distância em torno de "a".

00:05:57.710 --> 00:06:02.320
Então digamos que esse é 
delta menor que "a", e isso

00:06:02.320 --> 00:06:04.440
é delta maior que "a".

00:06:04.440 --> 00:06:09.975
Essa letra é delta. Este é
delta mais "a".

00:06:09.975 --> 00:06:15.680
Se você escolher um x que esteja
entre "a"+delta e

00:06:15.680 --> 00:06:19.440
"a"-delta, se x estiver aqui dentro,
eu posso garantir

00:06:19.440 --> 00:06:23.160
a você que o f(x) correspondente estará

00:06:23.160 --> 00:06:24.350
dentro do seu intervalo.

00:06:24.350 --> 00:06:26.060
Se pensar bem faz sentido, certo?

00:06:26.060 --> 00:06:29.630
É simplesmente dizer: - Eu posso deixar
você tão perto quanto queira

00:06:29.630 --> 00:06:32.980
desse ponto limite apenas por -- e 
quando eu digo o mais perto que

00:06:32.980 --> 00:06:36.430
queira, você me diz o que quer
com um epsilon;

00:06:36.430 --> 00:06:38.940
é como um jogo -- e posso deixá-lo
tão perto quanto

00:06:38.940 --> 00:06:43.000
queira do ponto L dando a você
um intervalo em volta do

00:06:43.000 --> 00:06:44.680
ponto que x está se aproximando.

00:06:44.680 --> 00:06:49.420
E contanto que você escolha um valor de x
que esteja dentro desse intervalo

00:06:49.420 --> 00:06:52.570
em torno de "a", se escolher um valor de x
em torno dali, eu posso

00:06:52.570 --> 00:06:55.440
garantir que f(x) estará
dentro do intervalo que

00:06:55.440 --> 00:06:57.290
você especificou.

00:06:57.290 --> 00:07:01.270
Para pensar em um caso prático,
digamos que você

00:07:01.270 --> 00:07:04.490
diga: -Eu quero que f(x)
esteja a 0,5 -- vamos fazer

00:07:04.490 --> 00:07:05.380
numericamente.

00:07:05.380 --> 00:07:11.750
Digamos que este é o numero 2 e este o 1.

00:07:11.750 --> 00:07:16.575
Então estamos dizendo que o limite
à medida que x tende a 1 de f(x) -- eu

00:07:16.575 --> 00:07:18.880
não defini f(x), mas é uma
linha com buraco --

00:07:18.880 --> 00:07:21.480
f(x) vai ser igual a 2.

00:07:21.480 --> 00:07:23.820
Logo você pode me dar qualquer número.

00:07:23.820 --> 00:07:27.380
Digamos que você queira
tentar alguns exemplos.

00:07:27.380 --> 00:07:30.220
Você poderia dizer: - Eu quero que 
f(x) esteja -- deixe-me

00:07:30.220 --> 00:07:35.680
usar outra cor -- eu quero que 
f(x) esteja a 0,5 de 2.

00:07:35.680 --> 00:07:39.970
Eu quero que f(x) esteja entre 2,5 e 1,5.

00:07:39.970 --> 00:07:45.650
Então eu posso dizer, OK, contanto que
você escolha um x dentro -- eu

00:07:45.650 --> 00:07:48.190
não sei, pode ser arbitrariamente perto
mas se ao menos

00:07:48.190 --> 00:07:50.920
você pegar um x que -- digamos
que funcione nesta função

00:07:50.920 --> 00:07:57.790
que está entre, não sei, 0,9 e 1,1.

00:07:57.790 --> 00:08:02.980
Então, nesse caso o delta para
nosso ponto limite é 0,1.

00:08:02.980 --> 00:08:09.320
Contanto que você escolha um x
que está a 0,1 deste ponto, ou 1,

00:08:09.320 --> 00:08:13.640
eu posso garantir que seu f(x) vai

00:08:13.640 --> 00:08:15.740
estar naquele intervalo.

00:08:15.740 --> 00:08:17.220
Você deve ter entendido a idéia.

00:08:17.220 --> 00:08:19.750
Deixe-me definir isso com o
epsilon-delta de verdade,

00:08:19.750 --> 00:08:22.580
isso é o que você vai encontrar
no seu livro de matemática,

00:08:22.580 --> 00:08:24.110
e então faremos mais exemplos.

00:08:24.110 --> 00:08:26.730
E para ser claro, aquele foi
um exemplo específico.

00:08:26.730 --> 00:08:29.870
Você me deu um epsilon e eu
devolvi um delta que funcionou.

00:08:29.870 --> 00:08:36.270
Mas se por definição isso for
verdade, ou se alguém escreve

00:08:36.270 --> 00:08:40.290
isto, então diríamos que isso não
funciona apenas para um exemplo

00:08:40.290 --> 00:08:42.900
específico, mas sim mas qualquer
número que você me dê.

00:08:42.900 --> 00:08:48.800
Você pode me dizer que quer estar
a um milionésimo de, ou

00:08:48.800 --> 00:08:52.180
dez elevado à centésima
potência negativa de 2, muito

00:08:52.180 --> 00:08:55.590
próximo de 2, e eu sempre posso
dar um intervalo em torno desse

00:08:55.590 --> 00:09:00.270
ponto no qual, contanto que você
escolha um x no intervalo, f(x) vai

00:09:00.270 --> 00:09:03.540
sempre estar dentro do intervalo
que você escolheu, digamos

00:09:03.540 --> 00:09:08.240
dentro de um trilionésimo de unidade

00:09:08.240 --> 00:09:09.470
do ponto limite.

00:09:09.470 --> 00:09:11.270
Obviamente, o que eu não posso garantir é o que

00:09:11.270 --> 00:09:12.760
acontece quando x é igual a "a".

00:09:12.760 --> 00:09:15.580
Estou apenas dizendo que contanto
que você pegue um x no meu

00:09:15.580 --> 00:09:17.950
intervalo mas não seja "a",
isso vai funcionar.

00:09:17.950 --> 00:09:21.720
Seu f(x) vai estar no intervalo
que você escolheu.

00:09:21.720 --> 00:09:23.680
E para deixar a matemática
clara -- porque eu tenho

00:09:23.680 --> 00:09:26.250
apenas usado palavras até aqui
-- isso é o que está nos

00:09:26.250 --> 00:09:33.460
livros: que você me dê
qualquer epsilon

00:09:33.460 --> 00:09:35.810
maior que 0.

00:09:35.810 --> 00:09:37.390
Bem, isso é uma definição, certo?

00:09:37.390 --> 00:09:41.730
Se alguém escreve isso, quer dizer
que você pode dar qualquer

00:09:41.730 --> 00:09:52.800
epsilon maior que 0, e eles
te darão um delta --

00:09:52.800 --> 00:09:56.590
lembre que seu epsilon é quão
perto você quer que f(x) esteja

00:09:56.590 --> 00:09:57.760
do ponto limite, certo?

00:09:57.760 --> 00:10:00.530
É um intervalo em torno de f(x)
-- eles te darão um delta,

00:10:00.530 --> 00:10:04.860
que é um intervalo em
torno de "a", certo?

00:10:04.860 --> 00:10:05.520
Deixe-me escrever isso.

00:10:05.520 --> 00:10:11.830
O limite conforme se aproxima
de "a" de f(x) é igual a L.

00:10:11.830 --> 00:10:15.210
Então eles vão te dar um delta,
no qual tão logo x não seja mais

00:10:15.210 --> 00:10:23.025
que delta -- logo a distância
entre x e "a", então se pegarmos

00:10:23.025 --> 00:10:27.950
um x aqui -- deixe-me usar outra
cor -- se pegarmos um x aqui,

00:10:27.950 --> 00:10:31.340
a distância entre aquele valor
e "a", contanto que seja

00:10:31.340 --> 00:10:34.840
maior do que 0 para que x
não seja exatamente "a",

00:10:34.840 --> 00:10:37.980
porque a funcão pode ser
indefinida nesse ponto.

00:10:37.980 --> 00:10:40.750
Mas tão logo a distância
entre x e "a" seja maior

00:10:40.750 --> 00:10:45.400
que 0 e menor que esse
intervalo de x que te deram,

00:10:45.400 --> 00:10:46.450
vai ser menos que delta.

00:10:46.450 --> 00:10:49.930
Então se você pegar um x,
se eu fosse ampliar o

00:10:49.930 --> 00:10:55.680
eixo x bem aqui -- isto é "a"
e então essa distância aqui

00:10:55.680 --> 00:10:59.240
seria delta, e esta distância aqui seria

00:10:59.240 --> 00:11:03.920
delta -- contato que você pegue um
valor de x por aqui -- então se

00:11:03.920 --> 00:11:07.520
você pegar esse valor x, ou 
esse, ou aquele

00:11:07.520 --> 00:11:10.560
-- contato que pegue um desses valores, 
eu posso garantir

00:11:10.560 --> 00:11:17.010
a você que a distância do valor
da função ao ponto

00:11:17.010 --> 00:11:19.670
limite, a distância quando
você pega um desses

00:11:19.670 --> 00:11:23.460
valores x e avalia f(x) no ponto, que a

00:11:23.460 --> 00:11:27.170
distância entre aquele f(x)
e o ponto limite vai

00:11:27.170 --> 00:11:31.560
ser menos que o número que me deu.

00:11:31.560 --> 00:11:36.470
Você pode pensar que é
bem complicado, e eu

00:11:36.470 --> 00:11:38.690
fico receoso de onde isso
é incluso em muitas

00:11:38.690 --> 00:11:39.640
ementas de cálculo.

00:11:39.640 --> 00:11:42.345
Está incluso, por exemplo,
na terceira semana antes

00:11:42.345 --> 00:11:44.670
de você aprender derivadas,
e isso e muito matemático

00:11:44.670 --> 00:11:47.560
e rigoroso para se pensar,
e isso tende a

00:11:47.560 --> 00:11:49.720
deixar muitos estudantes perdidos
e eu não acho que muita gente

00:11:49.720 --> 00:11:53.010
entenda a ideia por trás disso, mas é

00:11:53.010 --> 00:11:54.050
matematicamente rigorosa.

00:11:54.050 --> 00:11:56.910
E eu acho ser muito importante,
assim que você estude

00:11:56.910 --> 00:11:58.910
cálculo avançado e se torne
um estudante de matemática.

00:11:58.910 --> 00:12:01.330
Mas dito isso, isso faz
muito sentido

00:12:01.330 --> 00:12:02.160
intuitivamente, certo?

00:12:02.160 --> 00:12:05.550
Porque antes nós falávamos sobre chegar

00:12:05.550 --> 00:12:12.945
tão próximo quando x se aproxime,
este valor f(x) vai se

00:12:12.945 --> 00:12:13.960
aproximar desse valor.

00:12:13.960 --> 00:12:17.620
E o jeito matemático de
definir isso é, digamos,

00:12:17.620 --> 00:12:19.970
eu quero estar muito perto.

00:12:19.970 --> 00:12:22.180
Eu quero que a distância seja f(x)

00:12:22.180 --> 00:12:25.640
e o intervalo seja 0,000000001,
então eu sempre posso

00:12:25.640 --> 00:12:29.540
posso te dar uma distância em torno de x
na qual isto será verdade.

00:12:29.540 --> 00:12:31.320
E eu esgotei meu tempo nesse vídeo.

00:12:31.320 --> 00:12:34.260
No próximo vídeo vou fazer alguns
exemplos nos quais eu provo os

00:12:34.260 --> 00:12:38.120
limites, no qual eu provo algumas
expressões de limite usando

00:12:38.120 --> 00:12:39.330
esta definição.

00:12:39.330 --> 00:12:43.370
E espero que quando usemos números, esta

00:12:43.370 --> 00:12:44.670
definição faça um pouco mais de sentido.

00:12:44.670 --> 00:12:45.970
Vejo você no próximo vídeo.

00:12:45.970 --> 00:12:47.270
[legenda finalizada por: Thiago Serra]