Vou desenhar uma função interessante
para tirar o limite.
Vou apenas desenhá-la agora, é nós faremos alguns
exemplos específicos adiante.
Então esse é meu eixo y, e meu eixo x.
Digamos que a função se pareça com --
eu vou fazer uma função bem simples
-- digamos que seja uma linha, na maior parte.
Digamos que se pareça assim, exceto por ter um
buraco em um ponto
x igual a "a", é indefinida aqui.
Deixa eu preencher este ponto de preto, pra você ver que
não está definida.
E este ponto, é onde x é igual a "a".
Este é o eixo x, e este o y=f(x).
Vamos dizer que este é o eixo y.
E digamos que isto seja f(x), ou isto é
y=f(x).
Já fizemos vários vídeos de limites.
Acho que você tem uma ideia.
Se eu perguntasse: -Qual o limite se x tende a "a"?
Digamos que este ponto aqui é L.
Sabemos de vídeos anteriores que -- antes de tudo,
eu tenho que escrever -- o limite de x tendendo
a "a" de f(x).
Intuitivamente isso significa que, à medida que aproximamos "a" de qualquer
lado, como aproximamos desse lado, de quê
f(x) se aproxima?
Então quando x está aqui, f(x) está aqui.
Quando x está aqui, f(x) está ali.
E vemos que está se aproximando desse L aqui.
E quando aproximamos "a" por esse lado -- e nós calculamos
limites só pela esquerda ou direita,
mas para ter mesmo limite, precisa se aproximar igual
dos lados positivo e negativo -- mas à medida que
você vem dali, se você pegar esse X, então este é o f(x).
f(x) é exatamente aqui.
Se x chega aqui então f(x) é esse, e conforme nos aproximamos
de "a", f(x) se aŕoxima do ponto L, ou do valor L.
Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a "a"
é igual a L.
Acho que temos essa intuição.
Mas isso não está, na verdade não é muito rigoroso
em termos de especificidade, em termo do que
seja um limite.
O que eu disse até agora é que, conforme nos aproximamos,
do quê f(x) fica próximo?
Nesse vídeo eu vou tentar explicar uma definição
de limite um pouco mais, ou na verdade
muito mais, rigor matemático do que dizer: - Conforme x
se aproxima desse valor, do quê f(x) se aproxima?
Eu vejo isso como se fosse um joguinho.
A definição é, essa afirmação aqui significa que
eu sempre posso lhe dar um intervalo em torno desse ponto -- e quando eu
falo de intervalo eu não me refiro a todo
o domínio, eu falo apenas de um intervalo como
lhe dar uma distância de "a" e não vou
além dela, eu posso garantir a você onde f(x) não estará
além de uma dada distância de L
-- e eu penso em ver isso como um jogo.
Digamos que você diga, OK Sal, eu não acredito em você.
Eu quero ver f(x) ficando a até 0,5 de L.
Então, digamos que você me dê 0,5 e diga: - A partir dessa
definição, você tem que me dar um intervalo
em torno de "a" que cubra f(x) a 0,5 de distância de L, certo?
Então os valores de f(x) vão sempre ser dentro
desse intervalo aqui.
Se eu estiver dentro desse intervalo em torno de "a",
nesse intervalo que você me deu, f(x) será ao menos
tão próxima do nosso ponto limite.
Deixe-me desenhar isso um pouco maior, porque eu acho que
eu estou borrando o diagrama.
Então digamos que isso é f(x), e isso é o "buraco".
Não precisa ter um "buraco" aqui, o limite vai ser um
valor da função, mas ele é mais
interessante se ela não for definida, mas o limite sim.
Então esse ponto aqui-- isto é, deixe-me traçar os eixos novamente.
Então esse é o eixo x, eixo y, esse é o ponto do limite
L, e esse é o ponto "a".
Logo a definição de limite, e eu volto a isso em
um segundo porque agora que está maior quero explicar de novo.
Ela diz pela definição delta-epsilon
de limite, e logo chegaremos a epsilon e delta,
que eu posso garantir-lhe f(x), você me dando qualquer
distância de L que você queira.
Vamos chamar isso de epsilon.
Vamos apresentar a definição corretamente.
Então você diz: -Eu não quero
estar a distância maior do que epsilon de L.
E epsilon pode ser qualquer número real
maior do que 0.
Então essa distância aqui é epsilon.
Essa aqui.
E para cada epsilon que me dê, qualquer numero real --
então esse vai ser L mais epsilon, e esse vai
ser L menos epsilon -- a definição epsilon-delta
disso diz que não importa qual epsilon você me dê, eu
posso sempre especificar uma distância em torno de "a".
Eu vou chama-lá de delta.
Eu posso sempre especificar uma distância em torno de "a".
Então digamos que esse é delta menor que "a", e isso
é delta maior que "a".
Essa letra é delta. Este é delta mais "a".
Se você escolher um x que esteja entre "a"+delta e
"a"-delta, se x estiver aqui dentro, eu posso garantir
a você que o f(x) correspondente estará
dentro do seu intervalo.
Se pensar bem faz sentido, certo?
É simplesmente dizer: - Eu posso deixar você tão perto quanto queira
desse ponto limite apenas por -- e quando eu digo o mais perto que
queira, você me diz o que quer com um epsilon;
é como um jogo -- e posso deixá-lo tão perto quanto
queira do ponto L dando a você um intervalo em volta do
ponto que x está se aproximando.
E contanto que você escolha um valor de x que esteja dentro desse intervalo
em torno de "a", se escolher um valor de x em torno dali, eu posso
garantir que f(x) estará dentro do intervalo que
você especificou.
Para pensar em um caso prático, digamos que você
diga: -Eu quero que f(x) esteja a 0,5 -- vamos fazer
numericamente.
Digamos que este é o numero 2 e este o 1.
Então estamos dizendo que o limite à medida que x tende a 1 de f(x) -- eu
não defini f(x), mas é uma linha com buraco --
f(x) vai ser igual a 2.
Logo você pode me dar qualquer número.
Digamos que você queira tentar alguns exemplos.
Você poderia dizer: - Eu quero que f(x) esteja -- deixe-me
usar outra cor -- eu quero que f(x) esteja a 0,5 de 2.
Eu quero que f(x) esteja entre 2,5 e 1,5.
Então eu posso dizer, OK, contanto que você escolha um x dentro -- eu
não sei, pode ser arbitrariamente perto mas se ao menos
você pegar um x que -- digamos que funcione nesta função
que está entre, não sei, 0,9 e 1,1.
Então, nesse caso o delta para nosso ponto limite é 0,1.
Contanto que você escolha um x que está a 0,1 deste ponto, ou 1,
eu posso garantir que seu f(x) vai
estar naquele intervalo.
Você deve ter entendido a idéia.
Deixe-me definir isso com o epsilon-delta de verdade,
isso é o que você vai encontrar no seu livro de matemática,
e então faremos mais exemplos.
E para ser claro, aquele foi um exemplo específico.
Você me deu um epsilon e eu devolvi um delta que funcionou.
Mas se por definição isso for verdade, ou se alguém escreve
isto, então diríamos que isso não funciona apenas para um exemplo
específico, mas sim mas qualquer número que você me dê.
Você pode me dizer que quer estar a um milionésimo de, ou
dez elevado à centésima potência negativa de 2, muito
próximo de 2, e eu sempre posso dar um intervalo em torno desse
ponto no qual, contanto que você escolha um x no intervalo, f(x) vai
sempre estar dentro do intervalo que você escolheu, digamos
dentro de um trilionésimo de unidade
do ponto limite.
Obviamente, o que eu não posso garantir é o que
acontece quando x é igual a "a".
Estou apenas dizendo que contanto que você pegue um x no meu
intervalo mas não seja "a", isso vai funcionar.
Seu f(x) vai estar no intervalo que você escolheu.
E para deixar a matemática clara -- porque eu tenho
apenas usado palavras até aqui -- isso é o que está nos
livros: que você me dê qualquer epsilon
maior que 0.
Bem, isso é uma definição, certo?
Se alguém escreve isso, quer dizer que você pode dar qualquer
epsilon maior que 0, e eles te darão um delta --
lembre que seu epsilon é quão perto você quer que f(x) esteja
do ponto limite, certo?
É um intervalo em torno de f(x) -- eles te darão um delta,
que é um intervalo em torno de "a", certo?
Deixe-me escrever isso.
O limite conforme se aproxima de "a" de f(x) é igual a L.
Então eles vão te dar um delta, no qual tão logo x não seja mais
que delta -- logo a distância entre x e "a", então se pegarmos
um x aqui -- deixe-me usar outra cor -- se pegarmos um x aqui,
a distância entre aquele valor e "a", contanto que seja
maior do que 0 para que x não seja exatamente "a",
porque a funcão pode ser indefinida nesse ponto.
Mas tão logo a distância entre x e "a" seja maior
que 0 e menor que esse intervalo de x que te deram,
vai ser menos que delta.
Então se você pegar um x, se eu fosse ampliar o
eixo x bem aqui -- isto é "a" e então essa distância aqui
seria delta, e esta distância aqui seria
delta -- contato que você pegue um valor de x por aqui -- então se
você pegar esse valor x, ou esse, ou aquele
-- contato que pegue um desses valores, eu posso garantir
a você que a distância do valor da função ao ponto
limite, a distância quando você pega um desses
valores x e avalia f(x) no ponto, que a
distância entre aquele f(x) e o ponto limite vai
ser menos que o número que me deu.
Você pode pensar que é bem complicado, e eu
fico receoso de onde isso é incluso em muitas
ementas de cálculo.
Está incluso, por exemplo, na terceira semana antes
de você aprender derivadas, e isso e muito matemático
e rigoroso para se pensar, e isso tende a
deixar muitos estudantes perdidos e eu não acho que muita gente
entenda a ideia por trás disso, mas é
matematicamente rigorosa.
E eu acho ser muito importante, assim que você estude
cálculo avançado e se torne um estudante de matemática.
Mas dito isso, isso faz muito sentido
intuitivamente, certo?
Porque antes nós falávamos sobre chegar
tão próximo quando x se aproxime, este valor f(x) vai se
aproximar desse valor.
E o jeito matemático de definir isso é, digamos,
eu quero estar muito perto.
Eu quero que a distância seja f(x)
e o intervalo seja 0,000000001, então eu sempre posso
posso te dar uma distância em torno de x na qual isto será verdade.
E eu esgotei meu tempo nesse vídeo.
No próximo vídeo vou fazer alguns exemplos nos quais eu provo os
limites, no qual eu provo algumas expressões de limite usando
esta definição.
E espero que quando usemos números, esta
definição faça um pouco mais de sentido.
Vejo você no próximo vídeo.
[legenda finalizada por: Thiago Serra]