LCM and GCF greatest common factor) word problems

Guilherme e Luís estão em classes diferentes de física

no Colégio Santa Rita.

O professor de Luís sempre dá provas com 30 perguntas

enquanto que o professor de Guilherme

dá provas mais frequentes com apenas 24 perguntas.

O professor de Luís também pede três projetos por ano.

Embora as duas classes tenham que fazer um número diferente

de provas, seus professores disseram aos alunos

que as duas classes-- vou sublinhar-- as duas classes

responderão o mesmo número total de perguntas a cada ano.

Qual é o número mínimo de perguntas

que a classe de Guilherme ou de Luís pode esperar responder em um dado ano?

Vamos pensar sobre o que está acontecendo.

Assim, se pensarmos sobre o professor de Luís que

dá 30 perguntas por teste, então após o primeiro teste,

ele terá respondido 30 perguntas.

Então, isto é o 0 logo aqui.

E, após o segundo teste, ele terá respondido 60.

E, depois do terceiro teste, ele terá respondido 90.

E, após o quarto teste, ele terá respondido 120.

E, após o quinto teste, se houver um quinto teste,

ele terá-- só se eles tiverem tido este número de teste-- ele

terá respondido a um total de 150 perguntas.

Nós poderíamos continuar olhando

para todos os múltiplos de 30.

Assim, isto é provavelmente uma pista sobre o que nós estamos pensando.

Nós estamos vendo múltiplos dos números.

Nós queremos os múltiplos mínimos ou o múltiplo mínimo.

Este é o caso do Luís.

E o que está acontecendo com Guilherme?

O professor de Guilherme, depois do primeiro teste,

eles terão respondido 24 perguntas.

A seguir, eles terão respondido 48 perguntas depois do segundo teste.

E, depois, eles terão respondido 72 depois do terceiro teste.

A seguir, terão respondido 96.

Estou apenas pegando múltiplos de 24.

Eles terão respondido 96 perguntas depois do quarto teste.

E, depois do quinto teste, eles terão respondido 120.

E, se houver um sexto teste, eles terão respondido 144.

Nós poderíamos continuar a olhar para os múltiplos.

No entanto, vamos ver o que eles querem que façamos.

Qual é o número mínimo de perguntas

que a classe de Guilherme ou de Luís pode esperar responder em um ano?

Bem, o número mínimo é o ponto

no qual eles teriam respondido o mesmo número de perguntas,

apesar do fato de os testes terem

um número diferente de questões.

E vocês veem que o ponto em que eles têm o mesmo número

é 120.

Isto acontece em 120.

Os dois poderiam ter exatamente 120 perguntas

mesmo que o professor de Luís esteja dando 30 por vez

e mesmo que o professor de Guilherme esteja dando 24 por vez.

Então, a resposta é 120.

E, observem, eles tinham um número diferente de provas.

Luís teve uma, duas, três, quatro provas

enquanto que Guilherme teve uma, duas, três, quatro,

cinco provas.

Mas, isto totaliza 120 perguntas para os dois.

Agora, pensando em termos de notação matemática

ou da notação do mínimo múltiplo comum que já vimos,

o que está sendo pedido realmente é o mínimo múltiplo comum de 30

e 24.

E o mínimo múltiplo comum é igual a 120.

Agora, há outras maneiras para

encontrar o mínimo múltiplo comum do que apenas olhar

para os múltiplos desta forma.

Vocês poderiam responder a questão através da fatoração de primos.

30 é 2 vezes 15, que é 3 vezes 5.

Então, podemos dizer que 30 é igual a 2 vezes 3 vezes 5.

E 24-- esta é uma cor diferente do azul-- 24

é igual a 2 vezes 12.

12 é igual a 2 vezes 6.

6 é igual a 2 vezes 3.

Então, 24 é igual a 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3.

Portanto, uma outra maneira de descobrir o mínimo múltiplo comum,

mesmo se não tivéssemos feito este exercício aqui, diz, olhem,

o número deve ser divisível tanto por 30 como por 24.

Se ele for divisível por 30,

ele terá que ter 2 vezes 3 vezes 5

na sua fatoração de primos.

Isto é basicamente 30.

Assim, isto o torna divisível por 30.

E, digamos, bem, para ser divisível por 24,

sua fatoração de primos precisará de 3 dois e um 3.

Bem, já temos 1 três.

E já temos 1 dois, então só precisamos de mais 2 dois.

Assim, 2 vezes 2.

O resultado é-- vou rolar isto para cima

um pouco-- isto aqui em cima o torna divisível por 24.

E isto é basicamente a fatoração de primos

do mínimo múltiplo comum de 30 e 24.

Se vocês tirarem qualquer um destes números,

ele não será mais divisível por qualquer um destes dois

números.

Se vocês tirarem um dois, ele não será mais divisível

por 24.

Se vocês tirarem um dois ou um três.

Se vocês tirarem um três ou um cinco,

ele não será mais divisível por 30.

E, portanto, se vocês fossem multiplicar todos eles,

isto é 2 vezes 2 vezes 2 é 8 vezes 3 é 24 vezes 5 é 120.

Vamos fazer mais um destes.

Eliana acabou de comprar um pacote com 21 pastas.

Vou anotar este número.

21 pastas.

Ela também comprou um pacote com 30 lápis.

Ela quer usar todas as pastas e os lápis

para formar conjuntos idênticos de materiais de escritório

para seus colegas.

Qual é o maior número de conjuntos idênticos

que Eliana pode fazer usando todos os materiais?

O fato de estarmos falando sobre o maior número

é uma pista de que provavelmente iremos trabalhar

com os maiores divisores comuns.

E também vamos trabalhar com a divisão destes itens.

Nós queremos dividir os dois no maior

número de conjuntos idênticos.

Podemos pensar nisto de duas maneiras.

Vamos pensar sobre qual é o maior divisor comum

destes dois números.

Ou, eu também poderia dizer o maior fator comum.

O maior divisor comum de 21 e 30.

Então, qual é o maior número que é dividido pelos dois números?

Vamos trabalhar com fatores primos.

Nós poderíamos listar todos os seus fatores normais

e ver qual é o maior fator comum.

Ou nós poderíamos usar a fatoração de primos.

Vamos então usar o método de fatoração de primos.

Assim, 21 é a mesma coisa que 3 vezes 7.

Os dois são números primos.

30 é, vamos ver, é 3-- na verdade

eu poderia escrever isto desta maneira-- ele é 2 vezes 15.

Nós acabamos de fazer isto.

E 15 é 3 vezes 5.

Então, qual é o maior número de números primos que

é comum a ambas as fatorações?

Bem, temos apenas um três aqui.

E não temos um três vezes outra coisa.

Então, isto será igual a 3.

Portanto, isto nos diz basicamente que,

olhem, nós podemos dividir estes dois números por 3

e isto nos dará o maior

número de conjuntos idênticos.

Assim, só para esclarecer o que estamos fazendo.

Nós dissemos que a resposta é 3

mas, apenas para visualizar isto para esta pergunta,

vamos desenhar 21 pastas.

Portanto, 21 pastas, então 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.
11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.

A seguir, os 30 lápis, que eu vou desenhar em verde.

So 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10.
Assim, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10.

Vou copiar e colar isto.

Isto está ficando monótono.

Copiar e colar.

Assim, temos 20, vamos colar, e temos agora 30.

Agora, nós descobrimos que 3 é o maior número que

é dividido igualmente por estes dois números.

Então, eu posso dividir estes dois em grupos de 3.

Para as pastas, eu poderia dividir em três grupos de 7.

E, para os lápis, eu poderia dividir

em três grupos de 10.

Portanto, se houver três pessoas

que estão nesta classe, eu

poderia dar para cada uma delas sete pastas e 10 lápis.

Mas, este é o maior número de conjuntos idênticos

que Eliana pode fazer.

Eu teria três conjuntos.

Cada um deles teria sete pastas e 10 lápis.

E, basicamente, nós estamos pensando apenas

sobre qual é o número pelo qual podemos dividir os dois conjuntos

de forma uniforme, o maior número

pelo qual podemos dividir estes conjuntos de forma uniforme.