1
00:00:00,000 --> 00:00:00,700


2
00:00:00,700 --> 00:00:03,130
Guilherme e Luís estão em classes diferentes de física

3
00:00:03,130 --> 00:00:04,370
no Colégio Santa Rita.

4
00:00:04,370 --> 00:00:07,750
O professor de Luís sempre dá provas com 30 perguntas

5
00:00:07,750 --> 00:00:10,870
enquanto que o professor de Guilherme

6
00:00:10,870 --> 00:00:14,150
dá provas mais frequentes com apenas 24 perguntas.

7
00:00:14,150 --> 00:00:17,802
O professor de Luís também pede três projetos por ano.

8
00:00:17,802 --> 00:00:20,260
Embora as duas classes tenham que fazer um número diferente

9
00:00:20,260 --> 00:00:22,270
de provas, seus professores disseram aos alunos

10
00:00:22,270 --> 00:00:25,250
que as duas classes-- vou sublinhar-- as duas classes

11
00:00:25,250 --> 00:00:29,040
responderão o mesmo número total de perguntas a cada ano.

12
00:00:29,040 --> 00:00:32,850
Qual é o número mínimo de perguntas

13
00:00:32,850 --> 00:00:36,807
que a classe de Guilherme ou de Luís pode esperar responder em um dado ano?

14
00:00:36,807 --> 00:00:38,390
Vamos pensar sobre o que está acontecendo.

15
00:00:38,390 --> 00:00:40,014
Assim, se pensarmos sobre o professor de Luís que

16
00:00:40,014 --> 00:00:44,590
dá 30 perguntas por teste, então após o primeiro teste,

17
00:00:44,590 --> 00:00:46,850
ele terá respondido 30 perguntas.

18
00:00:46,850 --> 00:00:48,750
Então, isto é o 0 logo aqui.

19
00:00:48,750 --> 00:00:52,240
E, após o segundo teste, ele terá respondido 60.

20
00:00:52,240 --> 00:00:56,150
E, depois do terceiro teste, ele terá respondido 90.

21
00:00:56,150 --> 00:01:00,070
E, após o quarto teste, ele terá respondido 120.

22
00:01:00,070 --> 00:01:03,480
E, após o quinto teste, se houver um quinto teste,

23
00:01:03,480 --> 00:01:06,700
ele terá-- só se eles tiverem tido este número de teste-- ele

24
00:01:06,700 --> 00:01:08,912
terá respondido a um total de 150 perguntas.

25
00:01:08,912 --> 00:01:10,620
Nós poderíamos continuar olhando

26
00:01:10,620 --> 00:01:12,467
para todos os múltiplos de 30.

27
00:01:12,467 --> 00:01:14,800
Assim, isto é provavelmente uma pista sobre o que nós estamos pensando.

28
00:01:14,800 --> 00:01:16,549
Nós estamos vendo múltiplos dos números.

29
00:01:16,549 --> 00:01:19,710
Nós queremos os múltiplos mínimos ou o múltiplo mínimo.

30
00:01:19,710 --> 00:01:20,950
Este é o caso do Luís.

31
00:01:20,950 --> 00:01:22,710
E o que está acontecendo com Guilherme?

32
00:01:22,710 --> 00:01:25,650
O professor de Guilherme, depois do primeiro teste,

33
00:01:25,650 --> 00:01:29,220
eles terão respondido 24 perguntas.

34
00:01:29,220 --> 00:01:32,770
A seguir, eles terão respondido 48 perguntas depois do segundo teste.

35
00:01:32,770 --> 00:01:37,420
E, depois, eles terão respondido 72 depois do terceiro teste.

36
00:01:37,420 --> 00:01:39,250
A seguir, terão respondido 96.

37
00:01:39,250 --> 00:01:41,820
Estou apenas pegando múltiplos de 24.

38
00:01:41,820 --> 00:01:45,030
Eles terão respondido 96 perguntas depois do quarto teste.

39
00:01:45,030 --> 00:01:49,610
E, depois do quinto teste, eles terão respondido 120.

40
00:01:49,610 --> 00:01:55,160
E, se houver um sexto teste, eles terão respondido 144.

41
00:01:55,160 --> 00:01:57,430
Nós poderíamos continuar a olhar para os múltiplos.

42
00:01:57,430 --> 00:01:58,300
No entanto, vamos ver o que eles querem que façamos.

43
00:01:58,300 --> 00:02:00,180
Qual é o número mínimo de perguntas

44
00:02:00,180 --> 00:02:03,200
que a classe de Guilherme ou de Luís pode esperar responder em um ano?

45
00:02:03,200 --> 00:02:04,710
Bem, o número mínimo é o ponto

46
00:02:04,710 --> 00:02:07,380
no qual eles teriam respondido o mesmo número de perguntas,

47
00:02:07,380 --> 00:02:09,190
apesar do fato de os testes terem

48
00:02:09,190 --> 00:02:10,617
um número diferente de questões.

49
00:02:10,617 --> 00:02:12,950
E vocês veem que o ponto em que eles têm o mesmo número

50
00:02:12,950 --> 00:02:14,880
é 120.

51
00:02:14,880 --> 00:02:16,770
Isto acontece em 120.

52
00:02:16,770 --> 00:02:19,300
Os dois poderiam ter exatamente 120 perguntas

53
00:02:19,300 --> 00:02:21,840
mesmo que o professor de Luís esteja dando 30 por vez

54
00:02:21,840 --> 00:02:25,240
e mesmo que o professor de Guilherme esteja dando 24 por vez.

55
00:02:25,240 --> 00:02:28,469
Então, a resposta é 120.

56
00:02:28,469 --> 00:02:30,510
E, observem, eles tinham um número diferente de provas.

57
00:02:30,510 --> 00:02:33,650
Luís teve uma, duas, três, quatro provas

58
00:02:33,650 --> 00:02:36,300
enquanto que Guilherme teve uma, duas, três, quatro,

59
00:02:36,300 --> 00:02:37,570
cinco provas.

60
00:02:37,570 --> 00:02:41,270
Mas, isto totaliza 120 perguntas para os dois.

61
00:02:41,270 --> 00:02:44,100
Agora, pensando em termos de notação matemática

62
00:02:44,100 --> 00:02:47,370
ou da notação do mínimo múltiplo comum que já vimos,

63
00:02:47,370 --> 00:02:55,650
o que está sendo pedido realmente é o mínimo múltiplo comum de 30

64
00:02:55,650 --> 00:02:56,980
e 24.

65
00:02:56,980 --> 00:03:02,692
E o mínimo múltiplo comum é igual a 120.

66
00:03:02,692 --> 00:03:04,150
Agora, há outras maneiras para

67
00:03:04,150 --> 00:03:06,399
encontrar o mínimo múltiplo comum do que apenas olhar

68
00:03:06,399 --> 00:03:07,870
para os múltiplos desta forma.

69
00:03:07,870 --> 00:03:10,440
Vocês poderiam responder a questão através da fatoração de primos.

70
00:03:10,440 --> 00:03:15,290
30 é 2 vezes 15, que é 3 vezes 5.

71
00:03:15,290 --> 00:03:20,420
Então, podemos dizer que 30 é igual a 2 vezes 3 vezes 5.

72
00:03:20,420 --> 00:03:28,580
E 24-- esta é uma cor diferente do azul-- 24

73
00:03:28,580 --> 00:03:31,570
é igual a 2 vezes 12.

74
00:03:31,570 --> 00:03:33,846
12 é igual a 2 vezes 6.

75
00:03:33,846 --> 00:03:36,080
6 é igual a 2 vezes 3.

76
00:03:36,080 --> 00:03:44,660
Então, 24 é igual a 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3.

77
00:03:44,660 --> 00:03:47,250
Portanto, uma outra maneira de descobrir o mínimo múltiplo comum,

78
00:03:47,250 --> 00:03:49,720
mesmo se não tivéssemos feito este exercício aqui, diz, olhem,

79
00:03:49,720 --> 00:03:52,820
o número deve ser divisível tanto por 30 como por 24.

80
00:03:52,820 --> 00:03:54,810
Se ele for divisível por 30,

81
00:03:54,810 --> 00:04:00,060
ele terá que ter 2 vezes 3 vezes 5

82
00:04:00,060 --> 00:04:01,430
na sua fatoração de primos.

83
00:04:01,430 --> 00:04:03,420
Isto é basicamente 30.

84
00:04:03,420 --> 00:04:05,830
Assim, isto o torna divisível por 30.

85
00:04:05,830 --> 00:04:10,050
E, digamos, bem, para ser divisível por 24,

86
00:04:10,050 --> 00:04:13,750
sua fatoração de primos precisará de 3 dois e um 3.

87
00:04:13,750 --> 00:04:15,230
Bem, já temos 1 três.

88
00:04:15,230 --> 00:04:18,040
E já temos 1 dois, então só precisamos de mais 2 dois.

89
00:04:18,040 --> 00:04:20,740
Assim, 2 vezes 2.

90
00:04:20,740 --> 00:04:24,340
O resultado é-- vou rolar isto para cima

91
00:04:24,340 --> 00:04:29,080
um pouco-- isto aqui em cima o torna divisível por 24.

92
00:04:29,080 --> 00:04:32,030
E isto é basicamente a fatoração de primos

93
00:04:32,030 --> 00:04:34,920
do mínimo múltiplo comum de 30 e 24.

94
00:04:34,920 --> 00:04:37,300
Se vocês tirarem qualquer um destes números,

95
00:04:37,300 --> 00:04:40,251
ele não será mais divisível por qualquer um destes dois

96
00:04:40,251 --> 00:04:40,750
números.

97
00:04:40,750 --> 00:04:43,333
Se vocês tirarem um dois, ele não será mais divisível

98
00:04:43,333 --> 00:04:43,950
por 24.

99
00:04:43,950 --> 00:04:45,830
Se vocês tirarem um dois ou um três.

100
00:04:45,830 --> 00:04:50,520
Se vocês tirarem um três ou um cinco,

101
00:04:50,520 --> 00:04:53,145
ele não será mais divisível por 30.

102
00:04:53,145 --> 00:04:55,020
E, portanto, se vocês fossem multiplicar todos eles,

103
00:04:55,020 --> 00:05:04,170
isto é 2 vezes 2 vezes 2 é 8 vezes 3 é 24 vezes 5 é 120.

104
00:05:04,170 --> 00:05:06,740
Vamos fazer mais um destes.

105
00:05:06,740 --> 00:05:09,971
Eliana acabou de comprar um pacote com 21 pastas.

106
00:05:09,971 --> 00:05:11,220
Vou anotar este número.

107
00:05:11,220 --> 00:05:12,660
21 pastas.

108
00:05:12,660 --> 00:05:14,800
Ela também comprou um pacote com 30 lápis.

109
00:05:14,800 --> 00:05:17,860


110
00:05:17,860 --> 00:05:20,240
Ela quer usar todas as pastas e os lápis

111
00:05:20,240 --> 00:05:23,060
para formar conjuntos idênticos de materiais de escritório

112
00:05:23,060 --> 00:05:24,650
para seus colegas.

113
00:05:24,650 --> 00:05:27,540
Qual é o maior número de conjuntos idênticos

114
00:05:27,540 --> 00:05:29,456
que Eliana pode fazer usando todos os materiais?

115
00:05:29,456 --> 00:05:31,330
O fato de estarmos falando sobre o maior número

116
00:05:31,330 --> 00:05:33,246
é uma pista de que provavelmente iremos trabalhar

117
00:05:33,246 --> 00:05:34,620
com os maiores divisores comuns.

118
00:05:34,620 --> 00:05:36,710
E também vamos trabalhar com a divisão destes itens.

119
00:05:36,710 --> 00:05:39,660
Nós queremos dividir os dois no maior

120
00:05:39,660 --> 00:05:44,764
número de conjuntos idênticos.

121
00:05:44,764 --> 00:05:46,930
Podemos pensar nisto de duas maneiras.

122
00:05:46,930 --> 00:05:49,060
Vamos pensar sobre qual é o maior divisor comum

123
00:05:49,060 --> 00:05:51,100
destes dois números.

124
00:05:51,100 --> 00:05:53,450
Ou, eu também poderia dizer o maior fator comum.

125
00:05:53,450 --> 00:06:00,500
O maior divisor comum de 21 e 30.

126
00:06:00,500 --> 00:06:04,280
Então, qual é o maior número que é dividido pelos dois números?

127
00:06:04,280 --> 00:06:05,902
Vamos trabalhar com fatores primos.

128
00:06:05,902 --> 00:06:07,610
Nós poderíamos listar todos os seus fatores normais

129
00:06:07,610 --> 00:06:09,570
e ver qual é o maior fator comum.

130
00:06:09,570 --> 00:06:16,700
Ou nós poderíamos usar a fatoração de primos.

131
00:06:16,700 --> 00:06:18,820
Vamos então usar o método de fatoração de primos.

132
00:06:18,820 --> 00:06:21,760
Assim, 21 é a mesma coisa que 3 vezes 7.

133
00:06:21,760 --> 00:06:23,690
Os dois são números primos.

134
00:06:23,690 --> 00:06:27,140
30 é, vamos ver, é 3-- na verdade

135
00:06:27,140 --> 00:06:30,210
eu poderia escrever isto desta maneira-- ele é 2 vezes 15.

136
00:06:30,210 --> 00:06:32,110
Nós acabamos de fazer isto.

137
00:06:32,110 --> 00:06:34,620
E 15 é 3 vezes 5.

138
00:06:34,620 --> 00:06:37,680
Então, qual é o maior número de números primos que

139
00:06:37,680 --> 00:06:39,780
é comum a ambas as fatorações?

140
00:06:39,780 --> 00:06:42,820
Bem, temos apenas um três aqui.

141
00:06:42,820 --> 00:06:44,820
E não temos um três vezes outra coisa.

142
00:06:44,820 --> 00:06:47,420
Então, isto será igual a 3.

143
00:06:47,420 --> 00:06:48,900
Portanto, isto nos diz basicamente que,

144
00:06:48,900 --> 00:06:54,760
olhem, nós podemos dividir estes dois números por 3

145
00:06:54,760 --> 00:06:56,740
e isto nos dará o maior

146
00:06:56,740 --> 00:06:58,504
número de conjuntos idênticos.

147
00:06:58,504 --> 00:07:00,170
Assim, só para esclarecer o que estamos fazendo.

148
00:07:00,170 --> 00:07:02,260
Nós dissemos que a resposta é 3

149
00:07:02,260 --> 00:07:04,360
mas, apenas para visualizar isto para esta pergunta,

150
00:07:04,360 --> 00:07:07,070
vamos desenhar 21 pastas.

151
00:07:07,070 --> 00:07:13,728
Portanto, 21 pastas, então 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

152
00:07:13,728 --> 00:07:19,320
11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.
11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21.

153
00:07:19,320 --> 00:07:22,760
A seguir, os 30 lápis, que eu vou desenhar em verde.

154
00:07:22,760 --> 00:07:27,700
So 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10.
Assim, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10.

155
00:07:27,700 --> 00:07:29,480
Vou copiar e colar isto.

156
00:07:29,480 --> 00:07:31,660
Isto está ficando monótono.

157
00:07:31,660 --> 00:07:35,510
Copiar e colar.

158
00:07:35,510 --> 00:07:41,630
Assim, temos 20, vamos colar, e temos agora 30.

159
00:07:41,630 --> 00:07:45,030
Agora, nós descobrimos que 3 é o maior número que

160
00:07:45,030 --> 00:07:46,750
é dividido igualmente por estes dois números.

161
00:07:46,750 --> 00:07:50,670
Então, eu posso dividir estes dois em grupos de 3.

162
00:07:50,670 --> 00:07:55,390
Para as pastas, eu poderia dividir em três grupos de 7.

163
00:07:55,390 --> 00:07:58,400
E, para os lápis, eu poderia dividir

164
00:07:58,400 --> 00:08:01,320
em três grupos de 10.

165
00:08:01,320 --> 00:08:03,050
Portanto, se houver três pessoas

166
00:08:03,050 --> 00:08:05,710
que estão nesta classe, eu

167
00:08:05,710 --> 00:08:11,640
poderia dar para cada uma delas sete pastas e 10 lápis.

168
00:08:11,640 --> 00:08:14,290
Mas, este é o maior número de conjuntos idênticos

169
00:08:14,290 --> 00:08:15,270
que Eliana pode fazer.

170
00:08:15,270 --> 00:08:16,450
Eu teria três conjuntos.

171
00:08:16,450 --> 00:08:22,000
Cada um deles teria sete pastas e 10 lápis.

172
00:08:22,000 --> 00:08:23,500
E, basicamente, nós estamos pensando apenas

173
00:08:23,500 --> 00:08:27,960
sobre qual é o número pelo qual podemos dividir os dois conjuntos

174
00:08:27,960 --> 00:08:30,050
de forma uniforme, o maior número

175
00:08:30,050 --> 00:08:33,263
pelo qual podemos dividir estes conjuntos de forma uniforme.

176
00:08:33,263 --> 00:08:33,763