0:00:00.000,0:00:00.700


0:00:00.700,0:00:03.130
Guilherme e Luís estão em classes diferentes de física

0:00:03.130,0:00:04.370
no Colégio Santa Rita.

0:00:04.370,0:00:07.750
O professor de Luís sempre dá provas com 30 perguntas

0:00:07.750,0:00:10.870
enquanto que o professor de Guilherme

0:00:10.870,0:00:14.150
dá provas mais frequentes com apenas 24 perguntas.

0:00:14.150,0:00:17.802
O professor de Luís também pede três projetos por ano.

0:00:17.802,0:00:20.260
Embora as duas classes tenham que fazer um número diferente

0:00:20.260,0:00:22.270
de provas, seus professores disseram aos alunos

0:00:22.270,0:00:25.250
que as duas classes-- vou sublinhar-- as duas classes

0:00:25.250,0:00:29.040
responderão o mesmo número total de perguntas a cada ano.

0:00:29.040,0:00:32.850
Qual é o número mínimo de perguntas

0:00:32.850,0:00:36.807
que a classe de Guilherme ou de Luís pode esperar responder em um dado ano?

0:00:36.807,0:00:38.390
Vamos pensar sobre o que está acontecendo.

0:00:38.390,0:00:40.014
Assim, se pensarmos sobre o professor de Luís que

0:00:40.014,0:00:44.590
dá 30 perguntas por teste, então após o primeiro teste,

0:00:44.590,0:00:46.850
ele terá respondido 30 perguntas.

0:00:46.850,0:00:48.750
Então, isto é o 0 logo aqui.

0:00:48.750,0:00:52.240
E, após o segundo teste, ele terá respondido 60.

0:00:52.240,0:00:56.150
E, depois do terceiro teste, ele terá respondido 90.

0:00:56.150,0:01:00.070
E, após o quarto teste, ele terá respondido 120.

0:01:00.070,0:01:03.480
E, após o quinto teste, se houver um quinto teste,

0:01:03.480,0:01:06.700
ele terá-- só se eles tiverem tido este número de teste-- ele

0:01:06.700,0:01:08.912
terá respondido a um total de 150 perguntas.

0:01:08.912,0:01:10.620
Nós poderíamos continuar olhando

0:01:10.620,0:01:12.467
para todos os múltiplos de 30.

0:01:12.467,0:01:14.800
Assim, isto é provavelmente uma pista sobre o que nós estamos pensando.

0:01:14.800,0:01:16.549
Nós estamos vendo múltiplos dos números.

0:01:16.549,0:01:19.710
Nós queremos os múltiplos mínimos ou o múltiplo mínimo.

0:01:19.710,0:01:20.950
Este é o caso do Luís.

0:01:20.950,0:01:22.710
E o que está acontecendo com Guilherme?

0:01:22.710,0:01:25.650
O professor de Guilherme, depois do primeiro teste,

0:01:25.650,0:01:29.220
eles terão respondido 24 perguntas.

0:01:29.220,0:01:32.770
A seguir, eles terão respondido 48 perguntas depois do segundo teste.

0:01:32.770,0:01:37.420
E, depois, eles terão respondido 72 depois do terceiro teste.

0:01:37.420,0:01:39.250
A seguir, terão respondido 96.

0:01:39.250,0:01:41.820
Estou apenas pegando múltiplos de 24.

0:01:41.820,0:01:45.030
Eles terão respondido 96 perguntas depois do quarto teste.

0:01:45.030,0:01:49.610
E, depois do quinto teste, eles terão respondido 120.

0:01:49.610,0:01:55.160
E, se houver um sexto teste, eles terão respondido 144.

0:01:55.160,0:01:57.430
Nós poderíamos continuar a olhar para os múltiplos.

0:01:57.430,0:01:58.300
No entanto, vamos ver o que eles querem que façamos.

0:01:58.300,0:02:00.180
Qual é o número mínimo de perguntas

0:02:00.180,0:02:03.200
que a classe de Guilherme ou de Luís pode esperar responder em um ano?

0:02:03.200,0:02:04.710
Bem, o número mínimo é o ponto

0:02:04.710,0:02:07.380
no qual eles teriam respondido o mesmo número de perguntas,

0:02:07.380,0:02:09.190
apesar do fato de os testes terem

0:02:09.190,0:02:10.617
um número diferente de questões.

0:02:10.617,0:02:12.950
E vocês veem que o ponto em que eles têm o mesmo número

0:02:12.950,0:02:14.880
é 120.

0:02:14.880,0:02:16.770
Isto acontece em 120.

0:02:16.770,0:02:19.300
Os dois poderiam ter exatamente 120 perguntas

0:02:19.300,0:02:21.840
mesmo que o professor de Luís esteja dando 30 por vez

0:02:21.840,0:02:25.240
e mesmo que o professor de Guilherme esteja dando 24 por vez.

0:02:25.240,0:02:28.469
Então, a resposta é 120.

0:02:28.469,0:02:30.510
E, observem, eles tinham um número diferente de provas.

0:02:30.510,0:02:33.650
Luís teve uma, duas, três, quatro provas

0:02:33.650,0:02:36.300
enquanto que Guilherme teve uma, duas, três, quatro,

0:02:36.300,0:02:37.570
cinco provas.

0:02:37.570,0:02:41.270
Mas, isto totaliza 120 perguntas para os dois.

0:02:41.270,0:02:44.100
Agora, pensando em termos de notação matemática

0:02:44.100,0:02:47.370
ou da notação do mínimo múltiplo comum que já vimos,

0:02:47.370,0:02:55.650
o que está sendo pedido realmente é o mínimo múltiplo comum de 30

0:02:55.650,0:02:56.980
e 24.

0:02:56.980,0:03:02.692
E o mínimo múltiplo comum é igual a 120.

0:03:02.692,0:03:04.150
Agora, há outras maneiras para

0:03:04.150,0:03:06.399
encontrar o mínimo múltiplo comum do que apenas olhar

0:03:06.399,0:03:07.870
para os múltiplos desta forma.

0:03:07.870,0:03:10.440
Vocês poderiam responder a questão através da fatoração de primos.

0:03:10.440,0:03:15.290
30 é 2 vezes 15, que é 3 vezes 5.

0:03:15.290,0:03:20.420
Então, podemos dizer que 30 é igual a 2 vezes 3 vezes 5.

0:03:20.420,0:03:28.580
E 24-- esta é uma cor diferente do azul-- 24

0:03:28.580,0:03:31.570
é igual a 2 vezes 12.

0:03:31.570,0:03:33.846
12 é igual a 2 vezes 6.

0:03:33.846,0:03:36.080
6 é igual a 2 vezes 3.

0:03:36.080,0:03:44.660
Então, 24 é igual a 2 vezes 2 vezes 2 vezes 3.

0:03:44.660,0:03:47.250
Portanto, uma outra maneira de descobrir o mínimo múltiplo comum,

0:03:47.250,0:03:49.720
mesmo se não tivéssemos feito este exercício aqui, diz, olhem,

0:03:49.720,0:03:52.820
o número deve ser divisível tanto por 30 como por 24.

0:03:52.820,0:03:54.810
Se ele for divisível por 30,

0:03:54.810,0:04:00.060
ele terá que ter 2 vezes 3 vezes 5

0:04:00.060,0:04:01.430
na sua fatoração de primos.

0:04:01.430,0:04:03.420
Isto é basicamente 30.

0:04:03.420,0:04:05.830
Assim, isto o torna divisível por 30.

0:04:05.830,0:04:10.050
E, digamos, bem, para ser divisível por 24,

0:04:10.050,0:04:13.750
sua fatoração de primos precisará de 3 dois e um 3.

0:04:13.750,0:04:15.230
Bem, já temos 1 três.

0:04:15.230,0:04:18.040
E já temos 1 dois, então só precisamos de mais 2 dois.

0:04:18.040,0:04:20.740
Assim, 2 vezes 2.

0:04:20.740,0:04:24.340
O resultado é-- vou rolar isto para cima

0:04:24.340,0:04:29.080
um pouco-- isto aqui em cima o torna divisível por 24.

0:04:29.080,0:04:32.030
E isto é basicamente a fatoração de primos

0:04:32.030,0:04:34.920
do mínimo múltiplo comum de 30 e 24.

0:04:34.920,0:04:37.300
Se vocês tirarem qualquer um destes números,

0:04:37.300,0:04:40.251
ele não será mais divisível por qualquer um destes dois

0:04:40.251,0:04:40.750
números.

0:04:40.750,0:04:43.333
Se vocês tirarem um dois, ele não será mais divisível

0:04:43.333,0:04:43.950
por 24.

0:04:43.950,0:04:45.830
Se vocês tirarem um dois ou um três.

0:04:45.830,0:04:50.520
Se vocês tirarem um três ou um cinco,

0:04:50.520,0:04:53.145
ele não será mais divisível por 30.

0:04:53.145,0:04:55.020
E, portanto, se vocês fossem multiplicar todos eles,

0:04:55.020,0:05:04.170
isto é 2 vezes 2 vezes 2 é 8 vezes 3 é 24 vezes 5 é 120.

0:05:04.170,0:05:06.740
Vamos fazer mais um destes.

0:05:06.740,0:05:09.971
Eliana acabou de comprar um pacote com 21 pastas.

0:05:09.971,0:05:11.220
Vou anotar este número.

0:05:11.220,0:05:12.660
21 pastas.

0:05:12.660,0:05:14.800
Ela também comprou um pacote com 30 lápis.

0:05:14.800,0:05:17.860


0:05:17.860,0:05:20.240
Ela quer usar todas as pastas e os lápis

0:05:20.240,0:05:23.060
para formar conjuntos idênticos de materiais de escritório

0:05:23.060,0:05:24.650
para seus colegas.

0:05:24.650,0:05:27.540
Qual é o maior número de conjuntos idênticos

0:05:27.540,0:05:29.456
que Eliana pode fazer usando todos os materiais?

0:05:29.456,0:05:31.330
O fato de estarmos falando sobre o maior número

0:05:31.330,0:05:33.246
é uma pista de que provavelmente iremos trabalhar

0:05:33.246,0:05:34.620
com os maiores divisores comuns.

0:05:34.620,0:05:36.710
E também vamos trabalhar com a divisão destes itens.

0:05:36.710,0:05:39.660
Nós queremos dividir os dois no maior

0:05:39.660,0:05:44.764
número de conjuntos idênticos.

0:05:44.764,0:05:46.930
Podemos pensar nisto de duas maneiras.

0:05:46.930,0:05:49.060
Vamos pensar sobre qual é o maior divisor comum

0:05:49.060,0:05:51.100
destes dois números.

0:05:51.100,0:05:53.450
Ou, eu também poderia dizer o maior fator comum.

0:05:53.450,0:06:00.500
O maior divisor comum de 21 e 30.

0:06:00.500,0:06:04.280
Então, qual é o maior número que é dividido pelos dois números?

0:06:04.280,0:06:05.902
Vamos trabalhar com fatores primos.

0:06:05.902,0:06:07.610
Nós poderíamos listar todos os seus fatores normais

0:06:07.610,0:06:09.570
e ver qual é o maior fator comum.

0:06:09.570,0:06:16.700
Ou nós poderíamos usar a fatoração de primos.

0:06:16.700,0:06:18.820
Vamos então usar o método de fatoração de primos.

0:06:18.820,0:06:21.760
Assim, 21 é a mesma coisa que 3 vezes 7.

0:06:21.760,0:06:23.690
Os dois são números primos.

0:06:23.690,0:06:27.140
30 é, vamos ver, é 3-- na verdade

0:06:27.140,0:06:30.210
eu poderia escrever isto desta maneira-- ele é 2 vezes 15.

0:06:30.210,0:06:32.110
Nós acabamos de fazer isto.

0:06:32.110,0:06:34.620
E 15 é 3 vezes 5.

0:06:34.620,0:06:37.680
Então, qual é o maior número de números primos que

0:06:37.680,0:06:39.780
é comum a ambas as fatorações?

0:06:39.780,0:06:42.820
Bem, temos apenas um três aqui.

0:06:42.820,0:06:44.820
E não temos um três vezes outra coisa.

0:06:44.820,0:06:47.420
Então, isto será igual a 3.

0:06:47.420,0:06:48.900
Portanto, isto nos diz basicamente que,

0:06:48.900,0:06:54.760
olhem, nós podemos dividir estes dois números por 3

0:06:54.760,0:06:56.740
e isto nos dará o maior

0:06:56.740,0:06:58.504
número de conjuntos idênticos.

0:06:58.504,0:07:00.170
Assim, só para esclarecer o que estamos fazendo.

0:07:00.170,0:07:02.260
Nós dissemos que a resposta é 3

0:07:02.260,0:07:04.360
mas, apenas para visualizar isto para esta pergunta,

0:07:04.360,0:07:07.070
vamos desenhar 21 pastas.

0:07:07.070,0:07:13.728
Portanto, 21 pastas, então 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,

0:07:13.728,0:07:19.320
11, 12, 13, 14, 15,[br]16, 17, 18, 19, 20, 21.[br]11, 12, 13, 14, 15,[br]16, 17, 18, 19, 20, 21.

0:07:19.320,0:07:22.760
A seguir, os 30 lápis, que eu vou desenhar em verde.

0:07:22.760,0:07:27.700
So 1, 2, 3, 4, 5,[br]6, 7, 8, 9, 10.[br]Assim, 1, 2, 3, 4, 5,[br]6, 7, 8, 9, 10.

0:07:27.700,0:07:29.480
Vou copiar e colar isto.

0:07:29.480,0:07:31.660
Isto está ficando monótono.

0:07:31.660,0:07:35.510
Copiar e colar.

0:07:35.510,0:07:41.630
Assim, temos 20, vamos colar, e temos agora 30.

0:07:41.630,0:07:45.030
Agora, nós descobrimos que 3 é o maior número que

0:07:45.030,0:07:46.750
é dividido igualmente por estes dois números.

0:07:46.750,0:07:50.670
Então, eu posso dividir estes dois em grupos de 3.

0:07:50.670,0:07:55.390
Para as pastas, eu poderia dividir em três grupos de 7.

0:07:55.390,0:07:58.400
E, para os lápis, eu poderia dividir

0:07:58.400,0:08:01.320
em três grupos de 10.

0:08:01.320,0:08:03.050
Portanto, se houver três pessoas

0:08:03.050,0:08:05.710
que estão nesta classe, eu

0:08:05.710,0:08:11.640
poderia dar para cada uma delas sete pastas e 10 lápis.

0:08:11.640,0:08:14.290
Mas, este é o maior número de conjuntos idênticos

0:08:14.290,0:08:15.270
que Eliana pode fazer.

0:08:15.270,0:08:16.450
Eu teria três conjuntos.

0:08:16.450,0:08:22.000
Cada um deles teria sete pastas e 10 lápis.

0:08:22.000,0:08:23.500
E, basicamente, nós estamos pensando apenas

0:08:23.500,0:08:27.960
sobre qual é o número pelo qual podemos dividir os dois conjuntos

0:08:27.960,0:08:30.050
de forma uniforme, o maior número

0:08:30.050,0:08:33.263
pelo qual podemos dividir estes conjuntos de forma uniforme.

0:08:33.263,0:08:33.763