Proof - Diagonals of a Parallelogram Bisect Each Other

Proving that a quadrilateral is a parallelogram if and only if its diagonals bisect each other

Takže máme rovnobežník práve tu.

Takže čo chceme dokázať je, že je to uhlopriečok polovičiek navzájom

Takže, prvá vec, ktorú môžeme myslieť o; Tieto nie sú len uhlopriečok,

Toto sú riadky, ktoré sa krížia rovnobežné čiary

Takže si môžete tiež prezrieť ako transversals

A ak sa zameriame na DB práve sem, vidíme, že pretína DC

a AB a to sedí

Vieme, že sú parallelograms

Vieme, že sú rovnobežné

Toto je rovnobežník

Náhradné vnútorné uhly musia byť zhodné

Takže, tento uhol musí rovnať tento uhol

Dovoľte mi, aby štítok tu.

Dovoľte mi hovoria že stredný bod E

Takže vieme, že uhol ABE musí byť zhodný s uhlom CDE

poskytujú alternatívne vnútorné uhly

prierezové krížiace paralelné línie

Náhradné vnútorné uhly

Ak sa pozrieme uhlopriečky AC alebo by to nazývame prierezových AC

môžeme urobiť rovnaký argument

Pretína tu a tu.

Tieto dva riadky sú rovnobežné

Takže náhradné vnútorné uhly musia zhodný

Uhol musí byť DEC---dovoľte mi napísať si---

uhol DEC musí byť zhodný s uhlom BAE

poskytujú presné z rovnakého dôvodu

Teraz máme niečo zaujímavé

Podíváme-li se to top trojuholník tady a tento spodnej trojuholník,

máme jednu sadu príslušných uhlov, ktoré sú zhodné

Máme strane medzi ktoré bude zhodný

Vlastne, dovoľte mi napísať, že výslovne

Vieme a sme si to dokázal sami v predchádzajúcich video

že parallelograms nie sú len opačnej strany sú rovnobežné sú

tiež zhodné

Tak poznáme z predchádzajúcich video rovná tej strane

na druhej strane

Takže dovoľte mi vrátiť sa čo som hovoril

Máme dve sady zodpovedajúce uhly sú zhodné

Máme strane medzi je zhodný

A potom máme ďalšiu sadu príslušných uhlov

ktoré sú zhodné

Takže vieme, že tento trojuholník je zhodný pre tento trojuholník

o uhol-boku-uhol

Takže vieme, že trojuholník---som chcel ísť od modrej

Orange na ten posledný

Trojuholník ABE je zhodná trojuholník modrá, oranžová

a posledný, CDE podľa uhla-boku-uhol zhoda

Teraz čo je že robiť pre nás

Čo vieme, že ak dva trojuholníky sú zhodné, všetky ich

zodpovedajúce funkcie najmä všetky príslušné

strany sú zhodné

Takže vieme, že strane ES zodpovedá EA

Alebo mohol povedať strane AE, mohli by sme povedať strane AE,

zodpovedá strane CE

Ste zodpovedajúcich strán zhodný trojuholníka

Takže ich opatrenia alebo ich dĺžky musia byť rovnaké

Takže, AE musí rovnať CE

Dovoľte mi dať dve lomky, pretože som už využíva jedna lomka tady

Dajte mi zamerať sa na to - vieme, že sa musí rovnať DE

Opäť ste zodpovedajúce stranách dva zhodné trojuholníky

tak musia mať rovnakú dĺžku

Tak, to je príslušné strany zhodné trojuholníky

Tak, byť rovná DE

A urobili sme náš dôkaz

Sme už preukázalo, že vzhľad, diagonálne DB je rozdelenie AC do dvoch

segmenty rovnakú dĺžku a naopak

AC je rozdelenie DB do dvoch častí rovnakej dĺžky

Tak, oni sú bisecting navzájom

Teraz, poďme opačne

Poďme dokázať sami seba, ak máme dve uhlopriečky

z štvoruholník, ktoré sú navzájom, že sme bisecting

zaoberajú rovnobežníka

Takže, nech sa pozriem

Tak, že budeme predpokladať, že dve uhlopriečky

sú bisecting navzájom

Takže predpokladáme, že to je rovnaká ako

A, že práve tam, je rovnaké ako

Chceme dokázať, že to je rovnobežník

A k tomu, že máme len pripomenúť

Musíme pripomenúť, že tento uhol sa deje

sa rovná tento uhol

Jedna z prvých vecí, ktoré môžeme učiť, pretože oni sú vertikálne uhly

Takže, dovoľte mi napísať si

C--označte tento bod - uhol CED bude rovnať

alebo je zhodné s uhlom, takže som začal je BEA, uhol BEA

A to, čo to je, že nám ukazuje, že tieto

Dva trojuholníky sú zhodné, pretože máme príslušných strán

o zhodných a uhol medzi nimi a na strane druhej

Takže teraz vieme, že trojuholník, budem držať tento žltý,

trojuholník AEB je zhodná trojuholník DEC od boku uhla

zhoda, podľa SAS zhodné trojuholníky

To je fér

Teraz, keď vieme, že dva trojuholníky zhodné vieme, že všetky

príslušné strany a uhly sú zhodné

Tak, napríklad, vieme, že uhol CDE bude zhodný

uhol BAE

A to je len zodpovedajúce uhly zhodné trojuholníky

A teraz máme tento druh prierezových tieto dva riadky, ktoré

mohol byť rovnobežné, ak náhradník vnútorné uhly sú zhodné

A vidíme, že sú

Títo dvaja sú druh kandidát alternatívne vnútorné uhly a

sú zhodné

Tak, AB musí byť rovnobežná s CD

Tak, AB, poďme kresliť len jednu šípku, AB musí byť rovnobežná s CD

poskytujú alternatívne vnútorné uhly zhodné paralelných čiar

Ja len píšem v nejaké krátke ruky, odpustiť mystický charakter

to aj keď som hovoril, že sa

A tak môžeme potom robiť presne rovnaký--aj keď sme len zobrazené

že tieto dve strany sú rovnobežné--môžeme to urobiť presne rovnaký

logika Ukázať, že tieto dve strany sú rovnobežné

Nebudem nevyhnutne písať to všetko

Je to presne rovnaké dôkazy ukazujú, že tieto dve

Tak po prvé, vieme, že tento uhol je zhodný pre tento uhol

práve tam

A potom budeme vedieť, vlastne mi dovoľte napísať to, vieme

Tento uhol AEC je zhodný s uhlom DEB, mal povedať

Sú vertikálne uhly

A to je dôvod, prečo aj tu.

Vertikálne uhly

A potom vidíme, že trojuholník AEC musia byť zhodné

trojuholník DEB od boku uhla

Takže, potom máme trojuholník AEC musí byť zhodná trojuholník

DEB SAScongruency

Teraz vieme, že príslušné uhly musia byť zhodné

Tak, že vieme, že uhol, tak, napríklad uhol CAE

musí byť zhodný s uhlom BDE a je to zodpovedajúce

uhly zhodné trojuholníky

Takže, CAE, dovoľte mi použiť novú farbu

CAE musí byť zhodná BDE

A teraz máme vzájomnému

Náhradné vnútorné uhly sú zhodné

Tak, dva riadky krížiace transversals

musia byť rovnobežné

Takže to musí byť rovnobežná s rovinou

Takže, potom máme AC musí byť rovnobežná s BD

poskytujú alternatívne vnútorné uhly

A sme hotoví

Sme si práve dokázané, že ak uhlopriečok polovičiek navzájom,

Ak začneme ako danej doby sme nakoniec v bode, kde môžeme povedať,

"Hej, protiľahlé strany tento štvoruholník musí byť rovnobežná

alebo je rovnobežník ABCD"