-
Her har vi et parallellogram.
-
Vi vil bevise, at diagonalene halverer hverandre.
-
Det er ikke bare diagonaler.
-
Det er linjer, som krysser parallelle linjer.
-
Derfor kan vi også kalle de transversaler.
-
Vi kan se på DB her,
-
at den krysser DC og AB.
-
Vi vet, at det kalles parallellogrammer.
-
Vi vet, at de er parallelle.
-
Det er et parallellogram.
-
Tilsvarende innvendige vinkler er kongruente.
-
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.
-
.
-
Vi kaller punktet i midten for E.
-
Vinkel ABE er altså kongruent med vinkel CDE,
-
for de er tilsvarende innvendige vinkler
-
dannet av en transversal, som krysser parallelle linjer.
-
.
-
Diagonalen AC, eller transversalen AC,
-
kan vi si det samme om.
-
Den krysser her og her.
-
De her 2 linjene er parallelle.
-
.
-
.
-
Vinkel DEC er altså kongruent med vinkel BAE
-
på nøyaktig sammen måte.
-
.
-
Hvis vi ser på den øverste trekanten og den nederste trekanten,
-
har vi et sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.
-
Siden her mellom er kongruent.
-
.
-
Vi har tidligere bevist,
-
at motstående sider i parallellogrammer både er
-
parallelle og kongruente.
-
Den her siden er altså
-
lik med den her siden.
-
.
-
Vi har 2 sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.
-
Vi har en side mellom, som er kongruent.
-
Her har vi ytterligere et sett tilsvarende vinkler,
-
som er kongruente.
-
Den her trekanten er altså kongruent med den her trekanten
-
på grunn av vinkel-side-vinkelkongruens.
-
.
-
.
-
Trekant ABE er altså kongruent med
-
trekant CDE med vinkel-side-vinkelkonguens.
-
Hva forteller det oss?
-
Hvis 2 trekanter er kongruente,
-
er alle deres tilsvarende egenskaper og især
-
tilsvarende sider kongruente.
-
Side EC svarer til side EA.
-
Vi kan også kalle de side AE
-
og side CE.
-
De er tilsvarende sider i kongruente trekanter.
-
De er altså like lange.
-
AE er lik med CE.
-
Vi setter 2 streker for å markere det.
-
BE må være lik med CE.
-
Igjen er de tilsvarende sider i 2 kongruente trekanter.
-
De må derfor være like lange.
-
.
-
BE er lik med DE.
-
Vi er nå ferdige med beviset.
-
Diagonalen DB deler diagonal AC opp i 2 deler,
-
som er like lange.
-
De 2 delene er like lange,
-
og derfor halverer de hverandre.
-
La oss prøve å bevise det omvendt.
-
Vi skal bevise, at hvis vi i en firkant her 2 diagonaler,
-
som halverer hverandre,
-
er det et parallellogram.
-
.
-
Vi går ut fra,
-
at de 2 diagonalene halverer hverandre.
-
Den her må altså være lik med den her,
-
og den her må være lik med den her.
-
.
-
.
-
Vi skal huske, at den her vinkelen
-
må være lik med den her vinkelen.
-
De er toppvinkler.
-
.
-
Vinkel CED er lik med,
-
det vil si kongruent med, vinkel BEA.
-
Det forteller oss,
-
at de 2 trekantene er kongruente, fordi de er tilsvarende sider.
-
.
-
Trekant AEB må altså være
-
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEC.
-
.
-
.
-
Når 2 trekanter er kongruente, vet vi,
-
at alle tilsvarende sider og vinkler er kongruente.
-
Eksempelvis vet vi,
-
at vinkel CDE er kongruent med vinkel BAE.
-
Det er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.
-
Det er en slags transversal til de her 2 linjene,
-
som er parallelle, hvis de tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.
-
Det kan vi se, at de er.
-
Det er tilsvarende innvendige vinkler,
-
og de er kongruente.
-
AB må derfor være parallell med CD.
-
Vi tegner en pil for å markere,
-
at vinkel AB er parallell med vinkel CD.
-
.
-
.
-
Vi kan bruke helt samme metode til å vise,
-
at de her 2 sidene er parallelle.
-
.
-
Vi behøver ikke nødvendigvis skrive det hele igjen.
-
Det er det samme, vi skal gjøre.
-
Den her vinkelen er kongruent med den her vinkelen.
-
.
-
Vi vet også,
-
at vinkel AEC er kongruent med vinkel DEB.
-
De er toppvinkler.
-
.
-
.
-
Vi ser derfor, at trekant AEC må være
-
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEB.
-
.
-
.
-
Vi vet, at tilsvarende vinkler er kongruente.
-
For eksempel er vinkel CAE
-
kongruent med vinkel BDE,
-
fordi de er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.
-
.
-
CEA må være kongruent med BDE.
-
Her har vi så en transversal.
-
De tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.
-
De 2 linjene, som transversalen krysser,
-
må være parallelle.
-
De her er altså parallelle.
-
AV er parallell med BD.
-
.
-
Nå er vi ferdige.
-
.
-
Når vi går ut fra, at diagonalen halverer hverandre,
-
ender vi med å si, at de motstående sidene i firkanten er parallelle,
-
og derfor er firkantene et parallellogram.
