1
00:00:00,720 --> 00:00:02,550
Her har vi et parallellogram.

2
00:00:02,560 --> 00:00:06,660
Vi vil bevise, at diagonalene halverer hverandre.

3
00:00:06,670 --> 00:00:10,040
Det er ikke bare diagonaler.

4
00:00:10,050 --> 00:00:12,460
Det er linjer, som krysser parallelle linjer.

5
00:00:12,470 --> 00:00:14,560
Derfor kan vi også kalle de transversaler.

6
00:00:14,570 --> 00:00:19,540
Vi kan se på DB her,

7
00:00:19,550 --> 00:00:21,890
at den krysser DC og AB.

8
00:00:21,900 --> 00:00:23,640
Vi vet, at det kalles parallellogrammer.

9
00:00:23,650 --> 00:00:24,960
Vi vet, at de er parallelle.

10
00:00:24,970 --> 00:00:25,990
Det er et parallellogram.

11
00:00:26,000 --> 00:00:28,640
Tilsvarende innvendige vinkler er kongruente.

12
00:00:28,650 --> 00:00:31,360
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

13
00:00:31,370 --> 00:00:32,670
.

14
00:00:32,680 --> 00:00:34,030
Vi kaller punktet i midten for E.

15
00:00:34,040 --> 00:00:42,630
Vinkel ABE er altså kongruent med vinkel CDE,

16
00:00:42,640 --> 00:00:50,130
for de er tilsvarende innvendige vinkler

17
00:00:50,140 --> 00:00:52,130
dannet av en transversal, som krysser parallelle linjer.

18
00:00:52,140 --> 00:00:56,680
.

19
00:00:56,690 --> 00:01:00,840
Diagonalen AC, eller transversalen AC,

20
00:01:00,850 --> 00:01:02,520
kan vi si det samme om.

21
00:01:02,730 --> 00:01:04,470
Den krysser her og her.

22
00:01:04,480 --> 00:01:06,220
De her 2 linjene er parallelle.

23
00:01:06,230 --> 00:01:09,360
.

24
00:01:09,370 --> 00:01:12,740
.

25
00:01:12,750 --> 00:01:19,050
Vinkel DEC er altså kongruent med vinkel BAE

26
00:01:24,780 --> 00:01:27,150
på nøyaktig sammen måte.

27
00:01:27,160 --> 00:01:28,680
.

28
00:01:28,690 --> 00:01:31,580
Hvis vi ser på den øverste trekanten og den nederste trekanten,

29
00:01:31,590 --> 00:01:34,820
har vi et sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.

30
00:01:34,830 --> 00:01:39,610
Siden her mellom er kongruent.

31
00:01:39,620 --> 00:01:41,220
.

32
00:01:41,230 --> 00:01:46,380
Vi har tidligere bevist,

33
00:01:46,670 --> 00:01:50,380
at motstående sider i parallellogrammer både er

34
00:01:50,390 --> 00:01:51,540
parallelle og kongruente.

35
00:01:51,550 --> 00:01:54,310
Den her siden er altså

36
00:01:54,320 --> 00:01:55,230
lik med den her siden.

37
00:01:55,240 --> 00:01:56,840
.

38
00:01:56,850 --> 00:01:59,760
Vi har 2 sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.

39
00:01:59,770 --> 00:02:02,710
Vi har en side mellom, som er kongruent.

40
00:02:02,720 --> 00:02:04,740
Her har vi ytterligere et sett tilsvarende vinkler,

41
00:02:04,750 --> 00:02:05,770
som er kongruente.

42
00:02:05,780 --> 00:02:08,150
Den her trekanten er altså kongruent med den her trekanten

43
00:02:08,160 --> 00:02:10,320
på grunn av vinkel-side-vinkelkongruens.

44
00:02:11,810 --> 00:02:15,960
.

45
00:02:15,970 --> 00:02:17,460
.

46
00:02:17,470 --> 00:02:23,120
Trekant ABE er altså kongruent med

47
00:02:23,130 --> 00:02:29,970
trekant CDE med vinkel-side-vinkelkonguens.

48
00:02:33,720 --> 00:02:35,940
Hva forteller det oss?

49
00:02:35,950 --> 00:02:38,860
Hvis 2 trekanter er kongruente,

50
00:02:38,870 --> 00:02:41,370
er alle deres tilsvarende egenskaper og især

51
00:02:41,380 --> 00:02:42,620
tilsvarende sider kongruente.

52
00:02:42,630 --> 00:02:47,740
Side EC svarer til side EA.

53
00:02:47,750 --> 00:02:51,920
Vi kan også kalle de side AE

54
00:02:55,240 --> 00:02:59,470
og side CE.

55
00:03:00,990 --> 00:03:02,830
De er tilsvarende sider i kongruente trekanter.

56
00:03:02,840 --> 00:03:05,360
De er altså like lange.

57
00:03:05,370 --> 00:03:08,850
AE er lik med CE.

58
00:03:08,860 --> 00:03:12,320
Vi setter 2 streker for å markere det.

59
00:03:18,210 --> 00:03:24,320
BE må være lik med CE.

60
00:03:25,950 --> 00:03:29,450
Igjen er de tilsvarende sider i 2 kongruente trekanter.

61
00:03:29,460 --> 00:03:30,870
De må derfor være like lange.

62
00:03:30,880 --> 00:03:38,320
.

63
00:03:38,330 --> 00:03:43,000
BE er lik med DE.

64
00:03:43,010 --> 00:03:44,080
Vi er nå ferdige med beviset.

65
00:03:44,090 --> 00:03:48,780
Diagonalen DB deler diagonal AC opp i 2 deler,

66
00:03:48,790 --> 00:03:51,230
som er like lange.

67
00:03:51,240 --> 00:03:55,780
De 2 delene er like lange,

68
00:03:55,790 --> 00:03:58,070
og derfor halverer de hverandre.

69
00:03:58,080 --> 00:03:59,640
La oss prøve å bevise det omvendt.

70
00:03:59,650 --> 00:04:03,920
Vi skal bevise, at hvis vi i en firkant her 2 diagonaler,

71
00:04:03,930 --> 00:04:06,980
som halverer hverandre,

72
00:04:06,990 --> 00:04:08,810
er det et parallellogram.

73
00:04:08,820 --> 00:04:10,020
.

74
00:04:10,030 --> 00:04:12,010
Vi går ut fra,

75
00:04:12,020 --> 00:04:13,150
at de 2 diagonalene halverer hverandre.

76
00:04:13,160 --> 00:04:14,980
Den her må altså være lik med den her,

77
00:04:14,990 --> 00:04:17,360
og den her må være lik med den her.

78
00:04:17,370 --> 00:04:22,290
.

79
00:04:22,300 --> 00:04:25,160
.

80
00:04:25,440 --> 00:04:30,000
Vi skal huske, at den her vinkelen

81
00:04:30,010 --> 00:04:31,040
må være lik med den her vinkelen.

82
00:04:31,050 --> 00:04:33,730
De er toppvinkler.

83
00:04:33,740 --> 00:04:34,640
.

84
00:04:34,650 --> 00:04:43,580
Vinkel CED er lik med,

85
00:04:43,590 --> 00:04:52,390
det vil si kongruent med, vinkel BEA.

86
00:04:52,400 --> 00:04:55,200
Det forteller oss,

87
00:04:55,210 --> 00:04:57,810
at de 2 trekantene er kongruente, fordi de er tilsvarende sider.

88
00:04:57,820 --> 00:05:00,310
.

89
00:05:00,320 --> 00:05:03,810
Trekant AEB må altså være

90
00:05:03,820 --> 00:05:20,300
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEC.

91
00:05:20,310 --> 00:05:28,170
.

92
00:05:28,180 --> 00:05:29,160
.

93
00:05:29,170 --> 00:05:31,760
Når 2 trekanter er kongruente, vet vi,

94
00:05:31,770 --> 00:05:34,220
at alle tilsvarende sider og vinkler er kongruente.

95
00:05:34,230 --> 00:05:44,580
Eksempelvis vet vi,

96
00:05:44,590 --> 00:05:48,360
at vinkel CDE er kongruent med vinkel BAE.

97
00:05:55,650 --> 00:06:05,790
Det er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.

98
00:06:05,800 --> 00:06:12,430
Det er en slags transversal til de her 2 linjene,

99
00:06:12,440 --> 00:06:16,570
som er parallelle, hvis de tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.

100
00:06:16,580 --> 00:06:17,990
Det kan vi se, at de er.

101
00:06:18,000 --> 00:06:22,470
Det er tilsvarende innvendige vinkler,

102
00:06:22,480 --> 00:06:23,910
og de er kongruente.

103
00:06:23,920 --> 00:06:26,870
AB må derfor være parallell med CD.

104
00:06:26,880 --> 00:06:31,780
Vi tegner en pil for å markere,

105
00:06:34,950 --> 00:06:42,620
at vinkel AB er parallell med vinkel CD.

106
00:06:42,800 --> 00:06:46,110
.

107
00:06:46,120 --> 00:06:47,670
.

108
00:06:47,680 --> 00:06:50,300
Vi kan bruke helt samme metode til å vise,

109
00:06:50,310 --> 00:06:53,230
at de her 2 sidene er parallelle.

110
00:06:53,240 --> 00:06:55,640
.

111
00:06:55,650 --> 00:06:57,090
Vi behøver ikke nødvendigvis skrive det hele igjen.

112
00:06:57,100 --> 00:06:59,970
Det er det samme, vi skal gjøre.

113
00:06:59,980 --> 00:07:03,680
Den her vinkelen er kongruent med den her vinkelen.

114
00:07:03,690 --> 00:07:04,630
.

115
00:07:04,640 --> 00:07:06,930
Vi vet også,

116
00:07:06,940 --> 00:07:18,670
at vinkel AEC er kongruent med vinkel DEB.

117
00:07:22,650 --> 00:07:24,360
De er toppvinkler.

118
00:07:26,980 --> 00:07:29,060
.

119
00:07:29,070 --> 00:07:31,920
.

120
00:07:31,930 --> 00:07:35,260
Vi ser derfor, at trekant AEC må være

121
00:07:35,270 --> 00:07:38,270
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEB.

122
00:07:38,600 --> 00:07:45,010
.

123
00:07:45,020 --> 00:07:50,890
.

124
00:07:50,900 --> 00:07:53,730
Vi vet, at tilsvarende vinkler er kongruente.

125
00:07:53,740 --> 00:07:58,680
For eksempel er vinkel CAE

126
00:08:01,760 --> 00:08:10,970
kongruent med vinkel BDE,

127
00:08:10,980 --> 00:08:13,510
fordi de er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.

128
00:08:13,520 --> 00:08:17,950
.

129
00:08:18,130 --> 00:08:25,940
CEA må være kongruent med BDE.

130
00:08:28,050 --> 00:08:30,100
Her har vi så en transversal.

131
00:08:30,110 --> 00:08:32,100
De tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.

132
00:08:32,110 --> 00:08:34,690
De 2 linjene, som transversalen krysser,

133
00:08:34,700 --> 00:08:36,130
må være parallelle.

134
00:08:36,140 --> 00:08:39,230
De her er altså parallelle.

135
00:08:39,240 --> 00:08:44,440
AV er parallell med BD.

136
00:08:45,490 --> 00:08:47,970
.

137
00:08:50,560 --> 00:08:51,360
Nå er vi ferdige.

138
00:08:51,370 --> 00:08:53,970
.

139
00:08:53,980 --> 00:08:57,910
Når vi går ut fra, at diagonalen halverer hverandre,

140
00:08:57,920 --> 00:09:00,860
ender vi med å si, at de motstående sidene i firkanten er parallelle,

141
00:09:00,870 --> 00:09:04,690
og derfor er firkantene et parallellogram.