0:00:00.720,0:00:02.550
Her har vi et parallellogram.

0:00:02.560,0:00:06.660
Vi vil bevise, at diagonalene halverer hverandre.

0:00:06.670,0:00:10.040
Det er ikke bare diagonaler.

0:00:10.050,0:00:12.460
Det er linjer, som krysser parallelle linjer.

0:00:12.470,0:00:14.560
Derfor kan vi også kalle de transversaler.

0:00:14.570,0:00:19.540
Vi kan se på DB her,

0:00:19.550,0:00:21.890
at den krysser DC og AB.

0:00:21.900,0:00:23.640
Vi vet, at det kalles parallellogrammer.

0:00:23.650,0:00:24.960
Vi vet, at de er parallelle.

0:00:24.970,0:00:25.990
Det er et parallellogram.

0:00:26.000,0:00:28.640
Tilsvarende innvendige vinkler er kongruente.

0:00:28.650,0:00:31.360
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

0:00:31.370,0:00:32.670
.

0:00:32.680,0:00:34.030
Vi kaller punktet i midten for E.

0:00:34.040,0:00:42.630
Vinkel ABE er altså kongruent med vinkel CDE,

0:00:42.640,0:00:50.130
for de er tilsvarende innvendige vinkler

0:00:50.140,0:00:52.130
dannet av en transversal, som krysser parallelle linjer.

0:00:52.140,0:00:56.680
.

0:00:56.690,0:01:00.840
Diagonalen AC, eller transversalen AC,

0:01:00.850,0:01:02.520
kan vi si det samme om.

0:01:02.730,0:01:04.470
Den krysser her og her.

0:01:04.480,0:01:06.220
De her 2 linjene er parallelle.

0:01:06.230,0:01:09.360
.

0:01:09.370,0:01:12.740
.

0:01:12.750,0:01:19.050
Vinkel DEC er altså kongruent med vinkel BAE

0:01:24.780,0:01:27.150
på nøyaktig sammen måte.

0:01:27.160,0:01:28.680
.

0:01:28.690,0:01:31.580
Hvis vi ser på den øverste trekanten og den nederste trekanten,

0:01:31.590,0:01:34.820
har vi et sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.

0:01:34.830,0:01:39.610
Siden her mellom er kongruent.

0:01:39.620,0:01:41.220
.

0:01:41.230,0:01:46.380
Vi har tidligere bevist,

0:01:46.670,0:01:50.380
at motstående sider i parallellogrammer både er

0:01:50.390,0:01:51.540
parallelle og kongruente.

0:01:51.550,0:01:54.310
Den her siden er altså

0:01:54.320,0:01:55.230
lik med den her siden.

0:01:55.240,0:01:56.840
.

0:01:56.850,0:01:59.760
Vi har 2 sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.

0:01:59.770,0:02:02.710
Vi har en side mellom, som er kongruent.

0:02:02.720,0:02:04.740
Her har vi ytterligere et sett tilsvarende vinkler,

0:02:04.750,0:02:05.770
som er kongruente.

0:02:05.780,0:02:08.150
Den her trekanten er altså kongruent med den her trekanten

0:02:08.160,0:02:10.320
på grunn av vinkel-side-vinkelkongruens.

0:02:11.810,0:02:15.960
.

0:02:15.970,0:02:17.460
.

0:02:17.470,0:02:23.120
Trekant ABE er altså kongruent med

0:02:23.130,0:02:29.970
trekant CDE med vinkel-side-vinkelkonguens.

0:02:33.720,0:02:35.940
Hva forteller det oss?

0:02:35.950,0:02:38.860
Hvis 2 trekanter er kongruente,

0:02:38.870,0:02:41.370
er alle deres tilsvarende egenskaper og især

0:02:41.380,0:02:42.620
tilsvarende sider kongruente.

0:02:42.630,0:02:47.740
Side EC svarer til side EA.

0:02:47.750,0:02:51.920
Vi kan også kalle de side AE

0:02:55.240,0:02:59.470
og side CE.

0:03:00.990,0:03:02.830
De er tilsvarende sider i kongruente trekanter.

0:03:02.840,0:03:05.360
De er altså like lange.

0:03:05.370,0:03:08.850
AE er lik med CE.

0:03:08.860,0:03:12.320
Vi setter 2 streker for å markere det.

0:03:18.210,0:03:24.320
BE må være lik med CE.

0:03:25.950,0:03:29.450
Igjen er de tilsvarende sider i 2 kongruente trekanter.

0:03:29.460,0:03:30.870
De må derfor være like lange.

0:03:30.880,0:03:38.320
.

0:03:38.330,0:03:43.000
BE er lik med DE.

0:03:43.010,0:03:44.080
Vi er nå ferdige med beviset.

0:03:44.090,0:03:48.780
Diagonalen DB deler diagonal AC opp i 2 deler,

0:03:48.790,0:03:51.230
som er like lange.

0:03:51.240,0:03:55.780
De 2 delene er like lange,

0:03:55.790,0:03:58.070
og derfor halverer de hverandre.

0:03:58.080,0:03:59.640
La oss prøve å bevise det omvendt.

0:03:59.650,0:04:03.920
Vi skal bevise, at hvis vi i en firkant her 2 diagonaler,

0:04:03.930,0:04:06.980
som halverer hverandre,

0:04:06.990,0:04:08.810
er det et parallellogram.

0:04:08.820,0:04:10.020
.

0:04:10.030,0:04:12.010
Vi går ut fra,

0:04:12.020,0:04:13.150
at de 2 diagonalene halverer hverandre.

0:04:13.160,0:04:14.980
Den her må altså være lik med den her,

0:04:14.990,0:04:17.360
og den her må være lik med den her.

0:04:17.370,0:04:22.290
.

0:04:22.300,0:04:25.160
.

0:04:25.440,0:04:30.000
Vi skal huske, at den her vinkelen

0:04:30.010,0:04:31.040
må være lik med den her vinkelen.

0:04:31.050,0:04:33.730
De er toppvinkler.

0:04:33.740,0:04:34.640
.

0:04:34.650,0:04:43.580
Vinkel CED er lik med,

0:04:43.590,0:04:52.390
det vil si kongruent med, vinkel BEA.

0:04:52.400,0:04:55.200
Det forteller oss,

0:04:55.210,0:04:57.810
at de 2 trekantene er kongruente, fordi de er tilsvarende sider.

0:04:57.820,0:05:00.310
.

0:05:00.320,0:05:03.810
Trekant AEB må altså være

0:05:03.820,0:05:20.300
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEC.

0:05:20.310,0:05:28.170
.

0:05:28.180,0:05:29.160
.

0:05:29.170,0:05:31.760
Når 2 trekanter er kongruente, vet vi,

0:05:31.770,0:05:34.220
at alle tilsvarende sider og vinkler er kongruente.

0:05:34.230,0:05:44.580
Eksempelvis vet vi,

0:05:44.590,0:05:48.360
at vinkel CDE er kongruent med vinkel BAE.

0:05:55.650,0:06:05.790
Det er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.

0:06:05.800,0:06:12.430
Det er en slags transversal til de her 2 linjene,

0:06:12.440,0:06:16.570
som er parallelle, hvis de tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.

0:06:16.580,0:06:17.990
Det kan vi se, at de er.

0:06:18.000,0:06:22.470
Det er tilsvarende innvendige vinkler,

0:06:22.480,0:06:23.910
og de er kongruente.

0:06:23.920,0:06:26.870
AB må derfor være parallell med CD.

0:06:26.880,0:06:31.780
Vi tegner en pil for å markere,

0:06:34.950,0:06:42.620
at vinkel AB er parallell med vinkel CD.

0:06:42.800,0:06:46.110
.

0:06:46.120,0:06:47.670
.

0:06:47.680,0:06:50.300
Vi kan bruke helt samme metode til å vise,

0:06:50.310,0:06:53.230
at de her 2 sidene er parallelle.

0:06:53.240,0:06:55.640
.

0:06:55.650,0:06:57.090
Vi behøver ikke nødvendigvis skrive det hele igjen.

0:06:57.100,0:06:59.970
Det er det samme, vi skal gjøre.

0:06:59.980,0:07:03.680
Den her vinkelen er kongruent med den her vinkelen.

0:07:03.690,0:07:04.630
.

0:07:04.640,0:07:06.930
Vi vet også,

0:07:06.940,0:07:18.670
at vinkel AEC er kongruent med vinkel DEB.

0:07:22.650,0:07:24.360
De er toppvinkler.

0:07:26.980,0:07:29.060
.

0:07:29.070,0:07:31.920
.

0:07:31.930,0:07:35.260
Vi ser derfor, at trekant AEC må være

0:07:35.270,0:07:38.270
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEB.

0:07:38.600,0:07:45.010
.

0:07:45.020,0:07:50.890
.

0:07:50.900,0:07:53.730
Vi vet, at tilsvarende vinkler er kongruente.

0:07:53.740,0:07:58.680
For eksempel er vinkel CAE

0:08:01.760,0:08:10.970
kongruent med vinkel BDE,

0:08:10.980,0:08:13.510
fordi de er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.

0:08:13.520,0:08:17.950
.

0:08:18.130,0:08:25.940
CEA må være kongruent med BDE.

0:08:28.050,0:08:30.100
Her har vi så en transversal.

0:08:30.110,0:08:32.100
De tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.

0:08:32.110,0:08:34.690
De 2 linjene, som transversalen krysser,

0:08:34.700,0:08:36.130
må være parallelle.

0:08:36.140,0:08:39.230
De her er altså parallelle.

0:08:39.240,0:08:44.440
AV er parallell med BD.

0:08:45.490,0:08:47.970
.

0:08:50.560,0:08:51.360
Nå er vi ferdige.

0:08:51.370,0:08:53.970
.

0:08:53.980,0:08:57.910
Når vi går ut fra, at diagonalen halverer hverandre,

0:08:57.920,0:09:00.860
ender vi med å si, at de motstående sidene i firkanten er parallelle,

0:09:00.870,0:09:04.690
og derfor er firkantene et parallellogram.