Her har vi et parallellogram.
Vi vil bevise, at diagonalene halverer hverandre.
Det er ikke bare diagonaler.
Det er linjer, som krysser parallelle linjer.
Derfor kan vi også kalle de transversaler.
Vi kan se på DB her,
at den krysser DC og AB.
Vi vet, at det kalles parallellogrammer.
Vi vet, at de er parallelle.
Det er et parallellogram.
Tilsvarende innvendige vinkler er kongruente.
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.
.
Vi kaller punktet i midten for E.
Vinkel ABE er altså kongruent med vinkel CDE,
for de er tilsvarende innvendige vinkler
dannet av en transversal, som krysser parallelle linjer.
.
Diagonalen AC, eller transversalen AC,
kan vi si det samme om.
Den krysser her og her.
De her 2 linjene er parallelle.
.
Vinkel DEC er altså kongruent med vinkel BAE
på nøyaktig sammen måte.
.
Hvis vi ser på den øverste trekanten og den nederste trekanten,
har vi et sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.
Siden her mellom er kongruent.
.
Vi har tidligere bevist,
at motstående sider i parallellogrammer både er
parallelle og kongruente.
Den her siden er altså
lik med den her siden.
.
Vi har 2 sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.
Vi har en side mellom, som er kongruent.
Her har vi ytterligere et sett tilsvarende vinkler,
som er kongruente.
Den her trekanten er altså kongruent med den her trekanten
på grunn av vinkel-side-vinkelkongruens.
.
Trekant ABE er altså kongruent med
trekant CDE med vinkel-side-vinkelkonguens.
Hva forteller det oss?
Hvis 2 trekanter er kongruente,
er alle deres tilsvarende egenskaper og især
tilsvarende sider kongruente.
Side EC svarer til side EA.
Vi kan også kalle de side AE
og side CE.
De er tilsvarende sider i kongruente trekanter.
De er altså like lange.
AE er lik med CE.
Vi setter 2 streker for å markere det.
BE må være lik med CE.
Igjen er de tilsvarende sider i 2 kongruente trekanter.
De må derfor være like lange.
.
BE er lik med DE.
Vi er nå ferdige med beviset.
Diagonalen DB deler diagonal AC opp i 2 deler,
som er like lange.
De 2 delene er like lange,
og derfor halverer de hverandre.
La oss prøve å bevise det omvendt.
Vi skal bevise, at hvis vi i en firkant her 2 diagonaler,
som halverer hverandre,
er det et parallellogram.
.
Vi går ut fra,
at de 2 diagonalene halverer hverandre.
Den her må altså være lik med den her,
og den her må være lik med den her.
.
Vi skal huske, at den her vinkelen
må være lik med den her vinkelen.
De er toppvinkler.
.
Vinkel CED er lik med,
det vil si kongruent med, vinkel BEA.
Det forteller oss,
at de 2 trekantene er kongruente, fordi de er tilsvarende sider.
.
Trekant AEB må altså være
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEC.
.
Når 2 trekanter er kongruente, vet vi,
at alle tilsvarende sider og vinkler er kongruente.
Eksempelvis vet vi,
at vinkel CDE er kongruent med vinkel BAE.
Det er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.
Det er en slags transversal til de her 2 linjene,
som er parallelle, hvis de tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.
Det kan vi se, at de er.
Det er tilsvarende innvendige vinkler,
og de er kongruente.
AB må derfor være parallell med CD.
Vi tegner en pil for å markere,
at vinkel AB er parallell med vinkel CD.
.
Vi kan bruke helt samme metode til å vise,
at de her 2 sidene er parallelle.
.
Vi behøver ikke nødvendigvis skrive det hele igjen.
Det er det samme, vi skal gjøre.
Den her vinkelen er kongruent med den her vinkelen.
.
Vi vet også,
at vinkel AEC er kongruent med vinkel DEB.
De er toppvinkler.
.
Vi ser derfor, at trekant AEC må være
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEB.
.
Vi vet, at tilsvarende vinkler er kongruente.
For eksempel er vinkel CAE
kongruent med vinkel BDE,
fordi de er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.
.
CEA må være kongruent med BDE.
Her har vi så en transversal.
De tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.
De 2 linjene, som transversalen krysser,
må være parallelle.
De her er altså parallelle.
AV er parallell med BD.
.
Nå er vi ferdige.
.
Når vi går ut fra, at diagonalen halverer hverandre,
ender vi med å si, at de motstående sidene i firkanten er parallelle,
og derfor er firkantene et parallellogram.