WEBVTT

00:00:00.720 --> 00:00:02.550
Her har vi et parallellogram.

00:00:02.560 --> 00:00:06.660
Vi vil bevise, at diagonalene halverer hverandre.

00:00:06.670 --> 00:00:10.040
Det er ikke bare diagonaler.

00:00:10.050 --> 00:00:12.460
Det er linjer, som krysser parallelle linjer.

00:00:12.470 --> 00:00:14.560
Derfor kan vi også kalle de transversaler.

00:00:14.570 --> 00:00:19.540
Vi kan se på DB her,

00:00:19.550 --> 00:00:21.890
at den krysser DC og AB.

00:00:21.900 --> 00:00:23.640
Vi vet, at det kalles parallellogrammer.

00:00:23.650 --> 00:00:24.960
Vi vet, at de er parallelle.

00:00:24.970 --> 00:00:25.990
Det er et parallellogram.

00:00:26.000 --> 00:00:28.640
Tilsvarende innvendige vinkler er kongruente.

00:00:28.650 --> 00:00:31.360
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

00:00:31.370 --> 00:00:32.670
.

00:00:32.680 --> 00:00:34.030
Vi kaller punktet i midten for E.

00:00:34.040 --> 00:00:42.630
Vinkel ABE er altså kongruent med vinkel CDE,

00:00:42.640 --> 00:00:50.130
for de er tilsvarende innvendige vinkler

00:00:50.140 --> 00:00:52.130
dannet av en transversal, som krysser parallelle linjer.

00:00:52.140 --> 00:00:56.680
.

00:00:56.690 --> 00:01:00.840
Diagonalen AC, eller transversalen AC,

00:01:00.850 --> 00:01:02.520
kan vi si det samme om.

00:01:02.730 --> 00:01:04.470
Den krysser her og her.

00:01:04.480 --> 00:01:06.220
De her 2 linjene er parallelle.

00:01:06.230 --> 00:01:09.360
.

00:01:09.370 --> 00:01:12.740
.

00:01:12.750 --> 00:01:19.050
Vinkel DEC er altså kongruent med vinkel BAE

00:01:24.780 --> 00:01:27.150
på nøyaktig sammen måte.

00:01:27.160 --> 00:01:28.680
.

00:01:28.690 --> 00:01:31.580
Hvis vi ser på den øverste trekanten og den nederste trekanten,

00:01:31.590 --> 00:01:34.820
har vi et sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.

00:01:34.830 --> 00:01:39.610
Siden her mellom er kongruent.

00:01:39.620 --> 00:01:41.220
.

00:01:41.230 --> 00:01:46.380
Vi har tidligere bevist,

00:01:46.670 --> 00:01:50.380
at motstående sider i parallellogrammer både er

00:01:50.390 --> 00:01:51.540
parallelle og kongruente.

00:01:51.550 --> 00:01:54.310
Den her siden er altså

00:01:54.320 --> 00:01:55.230
lik med den her siden.

00:01:55.240 --> 00:01:56.840
.

00:01:56.850 --> 00:01:59.760
Vi har 2 sett tilsvarende vinkler, som er kongruente.

00:01:59.770 --> 00:02:02.710
Vi har en side mellom, som er kongruent.

00:02:02.720 --> 00:02:04.740
Her har vi ytterligere et sett tilsvarende vinkler,

00:02:04.750 --> 00:02:05.770
som er kongruente.

00:02:05.780 --> 00:02:08.150
Den her trekanten er altså kongruent med den her trekanten

00:02:08.160 --> 00:02:10.320
på grunn av vinkel-side-vinkelkongruens.

00:02:11.810 --> 00:02:15.960
.

00:02:15.970 --> 00:02:17.460
.

00:02:17.470 --> 00:02:23.120
Trekant ABE er altså kongruent med

00:02:23.130 --> 00:02:29.970
trekant CDE med vinkel-side-vinkelkonguens.

00:02:33.720 --> 00:02:35.940
Hva forteller det oss?

00:02:35.950 --> 00:02:38.860
Hvis 2 trekanter er kongruente,

00:02:38.870 --> 00:02:41.370
er alle deres tilsvarende egenskaper og især

00:02:41.380 --> 00:02:42.620
tilsvarende sider kongruente.

00:02:42.630 --> 00:02:47.740
Side EC svarer til side EA.

00:02:47.750 --> 00:02:51.920
Vi kan også kalle de side AE

00:02:55.240 --> 00:02:59.470
og side CE.

00:03:00.990 --> 00:03:02.830
De er tilsvarende sider i kongruente trekanter.

00:03:02.840 --> 00:03:05.360
De er altså like lange.

00:03:05.370 --> 00:03:08.850
AE er lik med CE.

00:03:08.860 --> 00:03:12.320
Vi setter 2 streker for å markere det.

00:03:18.210 --> 00:03:24.320
BE må være lik med CE.

00:03:25.950 --> 00:03:29.450
Igjen er de tilsvarende sider i 2 kongruente trekanter.

00:03:29.460 --> 00:03:30.870
De må derfor være like lange.

00:03:30.880 --> 00:03:38.320
.

00:03:38.330 --> 00:03:43.000
BE er lik med DE.

00:03:43.010 --> 00:03:44.080
Vi er nå ferdige med beviset.

00:03:44.090 --> 00:03:48.780
Diagonalen DB deler diagonal AC opp i 2 deler,

00:03:48.790 --> 00:03:51.230
som er like lange.

00:03:51.240 --> 00:03:55.780
De 2 delene er like lange,

00:03:55.790 --> 00:03:58.070
og derfor halverer de hverandre.

00:03:58.080 --> 00:03:59.640
La oss prøve å bevise det omvendt.

00:03:59.650 --> 00:04:03.920
Vi skal bevise, at hvis vi i en firkant her 2 diagonaler,

00:04:03.930 --> 00:04:06.980
som halverer hverandre,

00:04:06.990 --> 00:04:08.810
er det et parallellogram.

00:04:08.820 --> 00:04:10.020
.

00:04:10.030 --> 00:04:12.010
Vi går ut fra,

00:04:12.020 --> 00:04:13.150
at de 2 diagonalene halverer hverandre.

00:04:13.160 --> 00:04:14.980
Den her må altså være lik med den her,

00:04:14.990 --> 00:04:17.360
og den her må være lik med den her.

00:04:17.370 --> 00:04:22.290
.

00:04:22.300 --> 00:04:25.160
.

00:04:25.440 --> 00:04:30.000
Vi skal huske, at den her vinkelen

00:04:30.010 --> 00:04:31.040
må være lik med den her vinkelen.

00:04:31.050 --> 00:04:33.730
De er toppvinkler.

00:04:33.740 --> 00:04:34.640
.

00:04:34.650 --> 00:04:43.580
Vinkel CED er lik med,

00:04:43.590 --> 00:04:52.390
det vil si kongruent med, vinkel BEA.

00:04:52.400 --> 00:04:55.200
Det forteller oss,

00:04:55.210 --> 00:04:57.810
at de 2 trekantene er kongruente, fordi de er tilsvarende sider.

00:04:57.820 --> 00:05:00.310
.

00:05:00.320 --> 00:05:03.810
Trekant AEB må altså være

00:05:03.820 --> 00:05:20.300
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEC.

00:05:20.310 --> 00:05:28.170
.

00:05:28.180 --> 00:05:29.160
.

00:05:29.170 --> 00:05:31.760
Når 2 trekanter er kongruente, vet vi,

00:05:31.770 --> 00:05:34.220
at alle tilsvarende sider og vinkler er kongruente.

00:05:34.230 --> 00:05:44.580
Eksempelvis vet vi,

00:05:44.590 --> 00:05:48.360
at vinkel CDE er kongruent med vinkel BAE.

00:05:55.650 --> 00:06:05.790
Det er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.

00:06:05.800 --> 00:06:12.430
Det er en slags transversal til de her 2 linjene,

00:06:12.440 --> 00:06:16.570
som er parallelle, hvis de tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.

00:06:16.580 --> 00:06:17.990
Det kan vi se, at de er.

00:06:18.000 --> 00:06:22.470
Det er tilsvarende innvendige vinkler,

00:06:22.480 --> 00:06:23.910
og de er kongruente.

00:06:23.920 --> 00:06:26.870
AB må derfor være parallell med CD.

00:06:26.880 --> 00:06:31.780
Vi tegner en pil for å markere,

00:06:34.950 --> 00:06:42.620
at vinkel AB er parallell med vinkel CD.

00:06:42.800 --> 00:06:46.110
.

00:06:46.120 --> 00:06:47.670
.

00:06:47.680 --> 00:06:50.300
Vi kan bruke helt samme metode til å vise,

00:06:50.310 --> 00:06:53.230
at de her 2 sidene er parallelle.

00:06:53.240 --> 00:06:55.640
.

00:06:55.650 --> 00:06:57.090
Vi behøver ikke nødvendigvis skrive det hele igjen.

00:06:57.100 --> 00:06:59.970
Det er det samme, vi skal gjøre.

00:06:59.980 --> 00:07:03.680
Den her vinkelen er kongruent med den her vinkelen.

00:07:03.690 --> 00:07:04.630
.

00:07:04.640 --> 00:07:06.930
Vi vet også,

00:07:06.940 --> 00:07:18.670
at vinkel AEC er kongruent med vinkel DEB.

00:07:22.650 --> 00:07:24.360
De er toppvinkler.

00:07:26.980 --> 00:07:29.060
.

00:07:29.070 --> 00:07:31.920
.

00:07:31.930 --> 00:07:35.260
Vi ser derfor, at trekant AEC må være

00:07:35.270 --> 00:07:38.270
side-vinkel-sidekongruent med trekant DEB.

00:07:38.600 --> 00:07:45.010
.

00:07:45.020 --> 00:07:50.890
.

00:07:50.900 --> 00:07:53.730
Vi vet, at tilsvarende vinkler er kongruente.

00:07:53.740 --> 00:07:58.680
For eksempel er vinkel CAE

00:08:01.760 --> 00:08:10.970
kongruent med vinkel BDE,

00:08:10.980 --> 00:08:13.510
fordi de er tilsvarende vinkler i kongruente trekanter.

00:08:13.520 --> 00:08:17.950
.

00:08:18.130 --> 00:08:25.940
CEA må være kongruent med BDE.

00:08:28.050 --> 00:08:30.100
Her har vi så en transversal.

00:08:30.110 --> 00:08:32.100
De tilsvarende innvendige vinklene er kongruente.

00:08:32.110 --> 00:08:34.690
De 2 linjene, som transversalen krysser,

00:08:34.700 --> 00:08:36.130
må være parallelle.

00:08:36.140 --> 00:08:39.230
De her er altså parallelle.

00:08:39.240 --> 00:08:44.440
AV er parallell med BD.

00:08:45.490 --> 00:08:47.970
.

00:08:50.560 --> 00:08:51.360
Nå er vi ferdige.

00:08:51.370 --> 00:08:53.970
.

00:08:53.980 --> 00:08:57.910
Når vi går ut fra, at diagonalen halverer hverandre,

00:08:57.920 --> 00:09:00.860
ender vi med å si, at de motstående sidene i firkanten er parallelle,

00:09:00.870 --> 00:09:04.690
og derfor er firkantene et parallellogram.