Linia lui Euler - Demonstratie

Dovedind rezultatul mistic ca centrul cercului circumscris, centrul de greutate si ortocentrul

Ce vreau sa fac in acest video, pentru un triunghi
o sa ne focusam

pe acest triunghi mai mare de aici , triunghiul ABC

Ce vreau sa fac este sa dovedesc ca
centrul cercului circumscris ,

amintiti-va centrul cercului circumscris este intersectia

mediatoarelor

Centrul cercului circumscris acestui triunghi,
centrul de greutate al acestui triunghi,

centrul de greutate este intersectia medianelor sale,

si ortocentru, acesta este intersectia inaltimilor

toate stau pe aceeasi linie, sau acea OI chiar de aici
este un segment

Sau ca OG si GI sunt de fapt doua segmente

care fac aceste 2 segmente care sunt parte din
linia lui Euler

Si sa fac asta, am pus un triunghi in mijloc chiar aici,

triunghiul FED, sau de fapt ar trebui sa spun,
triunghiul DEF,

care este triunghiul median pentru ABC

Si exista deja o multime de lucruri

de care stim pentru triungiurile mediane

si am dovedit asta in video-uri trecute

Un lucru stim, este triunghiul median DEF,

DEF va fi asemenea cu un triunghi mai mare

triunghiul care este un trunghi median al,

este al, si raportul de la triunghiul mare la
triunghiul mic

este de 2 la 1

Si asta este destul de important sa aratam

Cand doua triunghiuri sunt asemenea cu raportul de
asemanare dat,

asta inseamna daca luati distanta dintre oricare doua
parti corespunzatoare

ale triunghiurilor asemenea acel raport va fi 2 la 1

Acum o alta relatie pe care am donedit-o deja

o alta relatie intre triunghiul median,

si triunghiul pentru care este triunghi median

ca am aratat ortocentru

al centrului triunghiului mai mare

Deci o cale de a ne gandi la el este punctual O,

deja am mentionat este centrul cercului circumscris
triunghiului mai mare

De asemeni este otocentrul triunghiului mai mic,

de fapt am scris aici

deci punctual O obesrvati este pe aceasta mediatoare,

stiti, ar trebui sa fac o gramada de altele cu
acest gri inghis

dar nu vreau sa fac aceasta diagrama prea dezordonata

Dar acesta este centrul cercului circumscris triunghiului
mai mare

Acum ca sa dovedesc ca OG si o sa raman pe aceeasi linie

sau pe aceelasi segment in cazul acesta

Ce am de gand sa fac, vreau sa dovedesc,

Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG,

Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG,

este asemenea cu triunghiul CIG,

e asemenea cu triunghiul CIG

Deoarece daca pot dovedi asta, atunci unghiurile
lor coresounzatoare

vor fi echivalente,

puteti spune ca acest unghi va fi egal

cu aceste unghiuri de aici

Si deci OI va fi transversala,

deoarece vom vedea aceste doua linii de aici fiind
paralele

sau daca aceste doua triunghiuri sunt asemenea,

doar amintiti-va ca cineva se uita la triunghiul nostru de aici

si acest triunghi de aici

Daca intr-adevar sunt similare atunci acest unghi

va fi egal cu acest unghi

care inseamna ca,

deci acestea vor fi intr-adevar unghiuri drepte

si deci aceasta va fi o linie reala

Deci hai sa mergem la demonstratia actuala

Deci poate, nu am nevoie sa fie subliniate aici

Deci un lucru si m-am gandit despre asta deja,

stim ca aceasta linie de aici, o putem numi XC

stim ca aceasta este perpendiculara precum AB

este o inaltime, si de asemeni stim ca FY de aici

e perpendicular pe AB, este o mediatoare

Deci amandoua formeaza aceeelasi unghi cu transversala

puteti vedea AB ca o transversala

deci ele trebuie sa fie paralele, deci stim ca FY,

FY e paralela cu XC, cu XC

segmental FY e paralel cu XC,

segmental FY e paralel cu segmentul XC

Si putem scrie ; acest tip e parallel cu acest tip de aici

Si asta e folositor deoarece stim ca unghiurile alterne interne

ale unei transversale, cand o transversala intersecteaza
doua linii paralele

sunt congruente

Deci stim, stim ca acest unghi, stim ca FC este o linie

este o mediana a triunghiului mare , triunghiul ABC

Deci aveti o linie ce intersecteaza doua linii paralele,

unghiurile alterne interne sunt congruente

Deci acel triunghi va fi congruent cu acel triunghi

Deci puteti spune unghiul OFG e congruent cu unghiul

deci este OFG, e congruent cu unghiul ICG,

cu ICG, acum celalalt lucru, celalalt lucru pe care-l stim,

aceasta este o proprietate, aceasta este o proprietate
a medianelor este ca

o mediana imparte sau as spune ca centru de greutate,

imparte mediana in doua segmente care au
un raport de 2 la 1

sau o alta cale de a o gandi este ca centrul de greutate

este doua treimi pe mediana

Deci stim si am dovedit-o intr-un video anterior

Stim ca CG, CG este egal cu 2 ori GF, 2 ori GF

si cred ca stiti unde mergem.

Avem un unghi, v-am aratat ca raportul acestei laturi

la aceasta latura este 2 la 1 si asta e proprietatea

centrului de greutate si al medianelor

Si acum daca putem arata ca raportul acestei laturi
CI la FO este 2 la 1

ca avem doua laturi corespunzatoare unde raportul este 2 la 1,

si avem unghiul intre congruente,

si avem cazul LUL ca sa aratam ca aceste triunghiuri

de fapt sunt asemenea, hai de fapt sa
ne gandim despre asta

CI e distanta dintre, CI e intre

ortocentrul C al triunghiului mai mare

Ei bine cat este FO?

Ei bine F este punctual correspondent puncului C
pe mediana triunghiului

si trebuie sa fim siguri ca specificam similaritatea cu F

F corespunde punctului C

Deci FO este distanta dintre F in triunghiul mai mic

si ortocentrul triungiului mai mic median

Deci aceasta este distanta dintre C

si ortocentrul triunghiului mai mare

Aceasta este distanta dintre laturile corespondente

ale triunghiului median

si triunghiul median mai mic si ortocentrul lui

Deci aceasta este aceeasi distanta corespunzatoare

pe triunghiul mai mare si triunghiul median,

si deja stim ca sunt similare cu raportul de 2 la 1

Si deci distantele corespunzatoare intre oricare
doua puncte

in aceelasi triunghi vor avea aceelasi raport

Deci datorita acestei similaritati, datorita similaritatii

stim ca CI, CI va fi egal cu 2 ori FO

Vreau sa subliniez aceasta; C este corespondentul
punctului F,

cand ne uitam la ambele aceste triunghiui asemenea,

I este ortocentru triunghiului mai mare,

O este ortocentrul triunghiului mai mic

Luati punctual corespondent

ortocentului triunghiului mai mare

punctul correspondent triunghiului mai mic

Triunghiurile sunt asemenea cu raportul de 2 la 1

deci raportul acestei lungimi la aceasta lungime
va fi de 2 la 1

Deci am aratat, am aratat ca raportul

acestei laturi la aceasta latura este de 2 la 1

Am aratat raportul daca aceasta latura la
aceasta latura este de asemeni de 2 la 1

Am aratat ca unghiul dintre este

unghiul dintre ele este congruent

Deci am dovedit prin cazul de asemanare LUL

deci merge un pic in jos, deci prin cazul de
asemanare LUL

nu congruenta, similaritate am aratat ca triunghiul FOG

e asemenea cu CIG

Si deci stim triunghiurile corespunzatoare sunt
congruente

stim ca unghiul CIG corespunde unghiului FOG

deci acestea vor fi congruente, si de asemenea stim
ca unghiul CGI

unghiul CGI, hai sa folosesc o noua culoare,

unghiul CGI corespunde unghiului OGF

deci vor fi congruente de asemeni

Deci puteti sa va uitati la diferie metode pentru
acest unghi

si acest unghi sunt la fel, acum puteti vedea OI

ca o linie adevarata ca o transvesala a acestor doua
paralele

Deci hai ca stiti ca o linie

sau puteti vedea ca aceste doua linii de aici,

deci uitati aceste doua unghiuri sunt echivalente

deci acestea trebuie sa fie unghiuri verticale,

deci aceasta va fi de fapt, aceasta de fapt trebuie sa fie
aceeasi linie

Unghiul care se aici se apropie , acesta,

aceasta mediana este aceelasi unghi care pleaca

Deci acestea sunt toate, acestea sunt cu siguranta
pe aceeasi linie

Deci este o demonstratie simpla, din nou,

de la o ideie foarte profunda, orocentrul,

centrul de greutate si centrul cercului circumscris unui triunghi

toate stau pe linia magica a lui Euler