Ce vreau sa fac in acest video, pentru un triunghi o sa ne focusam
pe acest triunghi mai mare de aici , triunghiul ABC
Ce vreau sa fac este sa dovedesc ca centrul cercului circumscris ,
amintiti-va centrul cercului circumscris este intersectia
mediatoarelor
Centrul cercului circumscris acestui triunghi, centrul de greutate al acestui triunghi,
centrul de greutate este intersectia medianelor sale,
si ortocentru, acesta este intersectia inaltimilor
toate stau pe aceeasi linie, sau acea OI chiar de aici este un segment
Sau ca OG si GI sunt de fapt doua segmente
care fac aceste 2 segmente care sunt parte din linia lui Euler
Si sa fac asta, am pus un triunghi in mijloc chiar aici,
triunghiul FED, sau de fapt ar trebui sa spun, triunghiul DEF,
care este triunghiul median pentru ABC
Si exista deja o multime de lucruri
de care stim pentru triungiurile mediane
si am dovedit asta in video-uri trecute
Un lucru stim, este triunghiul median DEF,
DEF va fi asemenea cu un triunghi mai mare
triunghiul care este un trunghi median al,
este al, si raportul de la triunghiul mare la triunghiul mic
este de 2 la 1
Si asta este destul de important sa aratam
Cand doua triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemanare dat,
asta inseamna daca luati distanta dintre oricare doua parti corespunzatoare
ale triunghiurilor asemenea acel raport va fi 2 la 1
Acum o alta relatie pe care am donedit-o deja
o alta relatie intre triunghiul median,
si triunghiul pentru care este triunghi median
ca am aratat ortocentru
al centrului triunghiului mai mare
Deci o cale de a ne gandi la el este punctual O,
deja am mentionat este centrul cercului circumscris triunghiului mai mare
De asemeni este otocentrul triunghiului mai mic,
de fapt am scris aici
deci punctual O obesrvati este pe aceasta mediatoare,
stiti, ar trebui sa fac o gramada de altele cu acest gri inghis
dar nu vreau sa fac aceasta diagrama prea dezordonata
Dar acesta este centrul cercului circumscris triunghiului mai mare
Acum ca sa dovedesc ca OG si o sa raman pe aceeasi linie
sau pe aceelasi segment in cazul acesta
Ce am de gand sa fac, vreau sa dovedesc,
Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG,
este asemenea cu triunghiul CIG,
e asemenea cu triunghiul CIG
Deoarece daca pot dovedi asta, atunci unghiurile lor coresounzatoare
vor fi echivalente,
puteti spune ca acest unghi va fi egal
cu aceste unghiuri de aici
Si deci OI va fi transversala,
deoarece vom vedea aceste doua linii de aici fiind paralele
sau daca aceste doua triunghiuri sunt asemenea,
doar amintiti-va ca cineva se uita la triunghiul nostru de aici
si acest triunghi de aici
Daca intr-adevar sunt similare atunci acest unghi
va fi egal cu acest unghi
care inseamna ca,
deci acestea vor fi intr-adevar unghiuri drepte
si deci aceasta va fi o linie reala
Deci hai sa mergem la demonstratia actuala
Deci poate, nu am nevoie sa fie subliniate aici
Deci un lucru si m-am gandit despre asta deja,
stim ca aceasta linie de aici, o putem numi XC
stim ca aceasta este perpendiculara precum AB
este o inaltime, si de asemeni stim ca FY de aici
e perpendicular pe AB, este o mediatoare
Deci amandoua formeaza aceeelasi unghi cu transversala
puteti vedea AB ca o transversala
deci ele trebuie sa fie paralele, deci stim ca FY,
FY e paralela cu XC, cu XC
segmental FY e paralel cu XC,
segmental FY e paralel cu segmentul XC
Si putem scrie ; acest tip e parallel cu acest tip de aici
Si asta e folositor deoarece stim ca unghiurile alterne interne
ale unei transversale, cand o transversala intersecteaza doua linii paralele
sunt congruente
Deci stim, stim ca acest unghi, stim ca FC este o linie
este o mediana a triunghiului mare , triunghiul ABC
Deci aveti o linie ce intersecteaza doua linii paralele,
unghiurile alterne interne sunt congruente
Deci acel triunghi va fi congruent cu acel triunghi
Deci puteti spune unghiul OFG e congruent cu unghiul
deci este OFG, e congruent cu unghiul ICG,
cu ICG, acum celalalt lucru, celalalt lucru pe care-l stim,
aceasta este o proprietate, aceasta este o proprietate a medianelor este ca
o mediana imparte sau as spune ca centru de greutate,
imparte mediana in doua segmente care au un raport de 2 la 1
sau o alta cale de a o gandi este ca centrul de greutate
este doua treimi pe mediana
Deci stim si am dovedit-o intr-un video anterior
Stim ca CG, CG este egal cu 2 ori GF, 2 ori GF
si cred ca stiti unde mergem.
Avem un unghi, v-am aratat ca raportul acestei laturi
la aceasta latura este 2 la 1 si asta e proprietatea
centrului de greutate si al medianelor
Si acum daca putem arata ca raportul acestei laturi CI la FO este 2 la 1
ca avem doua laturi corespunzatoare unde raportul este 2 la 1,
si avem unghiul intre congruente,
si avem cazul LUL ca sa aratam ca aceste triunghiuri
de fapt sunt asemenea, hai de fapt sa ne gandim despre asta
CI e distanta dintre, CI e intre
ortocentrul C al triunghiului mai mare
Ei bine cat este FO?
Ei bine F este punctual correspondent puncului C pe mediana triunghiului
si trebuie sa fim siguri ca specificam similaritatea cu F
F corespunde punctului C
Deci FO este distanta dintre F in triunghiul mai mic
si ortocentrul triungiului mai mic median
Deci aceasta este distanta dintre C
si ortocentrul triunghiului mai mare
Aceasta este distanta dintre laturile corespondente
ale triunghiului median
si triunghiul median mai mic si ortocentrul lui
Deci aceasta este aceeasi distanta corespunzatoare
pe triunghiul mai mare si triunghiul median,
si deja stim ca sunt similare cu raportul de 2 la 1
Si deci distantele corespunzatoare intre oricare doua puncte
in aceelasi triunghi vor avea aceelasi raport
Deci datorita acestei similaritati, datorita similaritatii
stim ca CI, CI va fi egal cu 2 ori FO
Vreau sa subliniez aceasta; C este corespondentul punctului F,
cand ne uitam la ambele aceste triunghiui asemenea,
I este ortocentru triunghiului mai mare,
O este ortocentrul triunghiului mai mic
Luati punctual corespondent
ortocentului triunghiului mai mare
punctul correspondent triunghiului mai mic
Triunghiurile sunt asemenea cu raportul de 2 la 1
deci raportul acestei lungimi la aceasta lungime va fi de 2 la 1
Deci am aratat, am aratat ca raportul
acestei laturi la aceasta latura este de 2 la 1
Am aratat raportul daca aceasta latura la aceasta latura este de asemeni de 2 la 1
Am aratat ca unghiul dintre este
unghiul dintre ele este congruent
Deci am dovedit prin cazul de asemanare LUL
deci merge un pic in jos, deci prin cazul de asemanare LUL
nu congruenta, similaritate am aratat ca triunghiul FOG
e asemenea cu CIG
Si deci stim triunghiurile corespunzatoare sunt congruente
stim ca unghiul CIG corespunde unghiului FOG
deci acestea vor fi congruente, si de asemenea stim ca unghiul CGI
unghiul CGI, hai sa folosesc o noua culoare,
unghiul CGI corespunde unghiului OGF
deci vor fi congruente de asemeni
Deci puteti sa va uitati la diferie metode pentru acest unghi
si acest unghi sunt la fel, acum puteti vedea OI
ca o linie adevarata ca o transvesala a acestor doua paralele
Deci hai ca stiti ca o linie
sau puteti vedea ca aceste doua linii de aici,
deci uitati aceste doua unghiuri sunt echivalente
deci acestea trebuie sa fie unghiuri verticale,
deci aceasta va fi de fapt, aceasta de fapt trebuie sa fie aceeasi linie
Unghiul care se aici se apropie , acesta,
aceasta mediana este aceelasi unghi care pleaca
Deci acestea sunt toate, acestea sunt cu siguranta pe aceeasi linie
Deci este o demonstratie simpla, din nou,
de la o ideie foarte profunda, orocentrul,
centrul de greutate si centrul cercului circumscris unui triunghi
toate stau pe linia magica a lui Euler