1 00:00:00,000 --> 00:00:04,200 Ce vreau sa fac in acest video, pentru un triunghi o sa ne focusam 2 00:00:04,210 --> 00:00:07,680 pe acest triunghi mai mare de aici , triunghiul ABC 3 00:00:07,690 --> 00:00:11,690 Ce vreau sa fac este sa dovedesc ca centrul cercului circumscris , 4 00:00:11,700 --> 00:00:15,020 amintiti-va centrul cercului circumscris este intersectia 5 00:00:15,030 --> 00:00:16,820 mediatoarelor 6 00:00:16,830 --> 00:00:21,920 Centrul cercului circumscris acestui triunghi, centrul de greutate al acestui triunghi, 7 00:00:21,930 --> 00:00:24,040 centrul de greutate este intersectia medianelor sale, 8 00:00:24,050 --> 00:00:28,720 si ortocentru, acesta este intersectia inaltimilor 9 00:00:28,730 --> 00:00:35,460 toate stau pe aceeasi linie, sau acea OI chiar de aici este un segment 10 00:00:35,470 --> 00:00:39,200 Sau ca OG si GI sunt de fapt doua segmente 11 00:00:39,210 --> 00:00:44,810 care fac aceste 2 segmente care sunt parte din linia lui Euler 12 00:00:44,820 --> 00:00:48,900 Si sa fac asta, am pus un triunghi in mijloc chiar aici, 13 00:00:48,910 --> 00:00:53,130 triunghiul FED, sau de fapt ar trebui sa spun, triunghiul DEF, 14 00:00:53,140 --> 00:00:56,760 care este triunghiul median pentru ABC 15 00:00:56,770 --> 00:00:58,670 Si exista deja o multime de lucruri 16 00:00:58,680 --> 00:01:00,670 de care stim pentru triungiurile mediane 17 00:01:00,680 --> 00:01:02,640 si am dovedit asta in video-uri trecute 18 00:01:02,650 --> 00:01:07,010 Un lucru stim, este triunghiul median DEF, 19 00:01:07,040 --> 00:01:11,300 DEF va fi asemenea cu un triunghi mai mare 20 00:01:11,310 --> 00:01:13,410 triunghiul care este un trunghi median al, 21 00:01:13,420 --> 00:01:18,000 este al, si raportul de la triunghiul mare la triunghiul mic 22 00:01:18,010 --> 00:01:19,760 este de 2 la 1 23 00:01:19,770 --> 00:01:21,780 Si asta este destul de important sa aratam 24 00:01:21,790 --> 00:01:24,630 Cand doua triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemanare dat, 25 00:01:24,640 --> 00:01:28,360 asta inseamna daca luati distanta dintre oricare doua parti corespunzatoare 26 00:01:28,370 --> 00:01:32,690 ale triunghiurilor asemenea acel raport va fi 2 la 1 27 00:01:32,700 --> 00:01:35,920 Acum o alta relatie pe care am donedit-o deja 28 00:01:35,930 --> 00:01:38,350 o alta relatie intre triunghiul median, 29 00:01:38,360 --> 00:01:40,440 si triunghiul pentru care este triunghi median 30 00:01:40,450 --> 00:01:43,590 ca am aratat ortocentru 31 00:01:43,600 --> 00:01:52,130 al centrului triunghiului mai mare 32 00:01:52,140 --> 00:01:55,110 Deci o cale de a ne gandi la el este punctual O, 33 00:01:55,120 --> 00:01:58,810 deja am mentionat este centrul cercului circumscris triunghiului mai mare 34 00:01:58,820 --> 00:02:05,560 De asemeni este otocentrul triunghiului mai mic, 35 00:02:05,570 --> 00:02:06,880 de fapt am scris aici 36 00:02:06,890 --> 00:02:12,110 deci punctual O obesrvati este pe aceasta mediatoare, 37 00:02:12,120 --> 00:02:14,880 stiti, ar trebui sa fac o gramada de altele cu acest gri inghis 38 00:02:14,890 --> 00:02:18,640 dar nu vreau sa fac aceasta diagrama prea dezordonata 39 00:02:18,650 --> 00:02:21,220 Dar acesta este centrul cercului circumscris triunghiului mai mare 40 00:02:57,120 --> 00:03:04,560 Acum ca sa dovedesc ca OG si o sa raman pe aceeasi linie 41 00:03:04,570 --> 00:03:07,030 sau pe aceelasi segment in cazul acesta 42 00:03:07,040 --> 00:03:10,860 Ce am de gand sa fac, vreau sa dovedesc, 43 00:03:10,870 --> 00:03:16,100 Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG, 44 00:03:16,110 --> 00:03:19,360 Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG, 45 00:03:19,370 --> 00:03:25,420 este asemenea cu triunghiul CIG, 46 00:03:25,430 --> 00:03:29,180 e asemenea cu triunghiul CIG 47 00:03:29,190 --> 00:03:32,090 Deoarece daca pot dovedi asta, atunci unghiurile lor coresounzatoare 48 00:03:32,100 --> 00:03:33,290 vor fi echivalente, 49 00:03:33,300 --> 00:03:35,690 puteti spune ca acest unghi va fi egal 50 00:03:35,700 --> 00:03:36,940 cu aceste unghiuri de aici 51 00:03:36,950 --> 00:03:39,760 Si deci OI va fi transversala, 52 00:03:39,770 --> 00:03:42,270 deoarece vom vedea aceste doua linii de aici fiind paralele 53 00:03:42,280 --> 00:03:45,390 sau daca aceste doua triunghiuri sunt asemenea, 54 00:03:45,400 --> 00:03:47,830 doar amintiti-va ca cineva se uita la triunghiul nostru de aici 55 00:03:47,840 --> 00:03:49,330 si acest triunghi de aici 56 00:03:49,340 --> 00:03:51,400 Daca intr-adevar sunt similare atunci acest unghi 57 00:03:51,410 --> 00:03:52,780 va fi egal cu acest unghi 58 00:03:52,790 --> 00:03:53,740 care inseamna ca, 59 00:03:53,750 --> 00:03:56,180 deci acestea vor fi intr-adevar unghiuri drepte 60 00:03:56,190 --> 00:03:58,970 si deci aceasta va fi o linie reala 61 00:03:58,980 --> 00:04:01,270 Deci hai sa mergem la demonstratia actuala 62 00:04:01,280 --> 00:04:05,550 Deci poate, nu am nevoie sa fie subliniate aici 63 00:04:05,560 --> 00:04:07,620 Deci un lucru si m-am gandit despre asta deja, 64 00:04:07,630 --> 00:04:12,390 stim ca aceasta linie de aici, o putem numi XC 65 00:04:12,400 --> 00:04:15,580 stim ca aceasta este perpendiculara precum AB 66 00:04:15,590 --> 00:04:20,290 este o inaltime, si de asemeni stim ca FY de aici 67 00:04:20,300 --> 00:04:25,320 e perpendicular pe AB, este o mediatoare 68 00:04:25,330 --> 00:04:28,390 Deci amandoua formeaza aceeelasi unghi cu transversala 69 00:04:28,400 --> 00:04:29,950 puteti vedea AB ca o transversala 70 00:04:29,960 --> 00:04:33,240 deci ele trebuie sa fie paralele, deci stim ca FY, 71 00:04:33,250 --> 00:04:39,110 FY e paralela cu XC, cu XC 72 00:04:39,120 --> 00:04:39,350 segmental FY e paralel cu XC, 73 00:04:39,360 --> 00:04:41,980 segmental FY e paralel cu segmentul XC 74 00:04:41,990 --> 00:04:46,740 Si putem scrie ; acest tip e parallel cu acest tip de aici 75 00:04:46,750 --> 00:04:51,490 Si asta e folositor deoarece stim ca unghiurile alterne interne 76 00:04:51,500 --> 00:04:54,700 ale unei transversale, cand o transversala intersecteaza doua linii paralele 77 00:04:54,710 --> 00:04:56,070 sunt congruente 78 00:04:56,080 --> 00:05:02,670 Deci stim, stim ca acest unghi, stim ca FC este o linie 79 00:05:02,680 --> 00:05:06,740 este o mediana a triunghiului mare , triunghiul ABC 80 00:05:06,900 --> 00:05:09,900 Deci aveti o linie ce intersecteaza doua linii paralele, 81 00:05:09,910 --> 00:05:12,860 unghiurile alterne interne sunt congruente 82 00:05:12,870 --> 00:05:15,890 Deci acel triunghi va fi congruent cu acel triunghi 83 00:05:15,900 --> 00:05:24,160 Deci puteti spune unghiul OFG e congruent cu unghiul 84 00:05:24,170 --> 00:05:27,720 deci este OFG, e congruent cu unghiul ICG, 85 00:05:27,730 --> 00:05:34,140 cu ICG, acum celalalt lucru, celalalt lucru pe care-l stim, 86 00:05:34,150 --> 00:05:38,280 aceasta este o proprietate, aceasta este o proprietate a medianelor este ca 87 00:05:38,290 --> 00:05:41,910 o mediana imparte sau as spune ca centru de greutate, 88 00:05:41,920 --> 00:05:45,690 imparte mediana in doua segmente care au un raport de 2 la 1 89 00:05:45,700 --> 00:05:47,360 sau o alta cale de a o gandi este ca centrul de greutate 90 00:05:47,370 --> 00:05:50,830 este doua treimi pe mediana 91 00:05:50,840 --> 00:05:53,590 Deci stim si am dovedit-o intr-un video anterior 92 00:05:53,600 --> 00:06:02,330 Stim ca CG, CG este egal cu 2 ori GF, 2 ori GF 93 00:06:02,340 --> 00:06:03,610 si cred ca stiti unde mergem. 94 00:06:03,620 --> 00:06:06,710 Avem un unghi, v-am aratat ca raportul acestei laturi 95 00:06:06,720 --> 00:06:09,480 la aceasta latura este 2 la 1 si asta e proprietatea 96 00:06:09,490 --> 00:06:10,830 centrului de greutate si al medianelor 97 00:06:10,840 --> 00:06:16,850 Si acum daca putem arata ca raportul acestei laturi CI la FO este 2 la 1 98 00:06:16,860 --> 00:06:20,240 ca avem doua laturi corespunzatoare unde raportul este 2 la 1, 99 00:06:20,250 --> 00:06:22,100 si avem unghiul intre congruente, 100 00:06:22,110 --> 00:06:25,920 si avem cazul LUL ca sa aratam ca aceste triunghiuri 101 00:06:25,930 --> 00:06:28,570 de fapt sunt asemenea, hai de fapt sa ne gandim despre asta 102 00:06:28,580 --> 00:06:34,180 CI e distanta dintre, CI e intre 103 00:06:34,190 --> 00:06:40,210 ortocentrul C al triunghiului mai mare 104 00:06:40,220 --> 00:06:41,830 Ei bine cat este FO? 105 00:06:41,840 --> 00:06:47,220 Ei bine F este punctual correspondent puncului C pe mediana triunghiului 106 00:06:47,230 --> 00:06:51,630 si trebuie sa fim siguri ca specificam similaritatea cu F 107 00:06:51,640 --> 00:06:54,040 F corespunde punctului C 108 00:06:54,050 --> 00:06:59,370 Deci FO este distanta dintre F in triunghiul mai mic 109 00:06:59,380 --> 00:07:03,130 si ortocentrul triungiului mai mic median 110 00:07:03,140 --> 00:07:04,810 Deci aceasta este distanta dintre C 111 00:07:04,820 --> 00:07:06,740 si ortocentrul triunghiului mai mare 112 00:07:06,750 --> 00:07:09,560 Aceasta este distanta dintre laturile corespondente 113 00:07:09,570 --> 00:07:10,990 ale triunghiului median 114 00:07:11,000 --> 00:07:13,070 si triunghiul median mai mic si ortocentrul lui 115 00:07:13,080 --> 00:07:16,190 Deci aceasta este aceeasi distanta corespunzatoare 116 00:07:16,200 --> 00:07:18,740 pe triunghiul mai mare si triunghiul median, 117 00:07:18,750 --> 00:07:21,820 si deja stim ca sunt similare cu raportul de 2 la 1 118 00:07:21,830 --> 00:07:25,820 Si deci distantele corespunzatoare intre oricare doua puncte 119 00:07:25,830 --> 00:07:28,560 in aceelasi triunghi vor avea aceelasi raport 120 00:07:28,570 --> 00:07:32,750 Deci datorita acestei similaritati, datorita similaritatii 121 00:07:32,760 --> 00:07:39,500 stim ca CI, CI va fi egal cu 2 ori FO 122 00:07:39,510 --> 00:07:43,440 Vreau sa subliniez aceasta; C este corespondentul punctului F, 123 00:07:43,450 --> 00:07:46,080 cand ne uitam la ambele aceste triunghiui asemenea, 124 00:07:46,090 --> 00:07:48,600 I este ortocentru triunghiului mai mare, 125 00:07:48,610 --> 00:07:50,560 O este ortocentrul triunghiului mai mic 126 00:07:50,570 --> 00:07:52,470 Luati punctual corespondent 127 00:07:52,480 --> 00:07:54,270 ortocentului triunghiului mai mare 128 00:07:54,280 --> 00:07:58,320 punctul correspondent triunghiului mai mic 129 00:07:58,330 --> 00:08:00,710 Triunghiurile sunt asemenea cu raportul de 2 la 1 130 00:08:00,720 --> 00:08:04,930 deci raportul acestei lungimi la aceasta lungime va fi de 2 la 1 131 00:08:04,940 --> 00:08:07,910 Deci am aratat, am aratat ca raportul 132 00:08:07,920 --> 00:08:12,380 acestei laturi la aceasta latura este de 2 la 1 133 00:08:12,450 --> 00:08:17,730 Am aratat raportul daca aceasta latura la aceasta latura este de asemeni de 2 la 1 134 00:08:17,740 --> 00:08:20,370 Am aratat ca unghiul dintre este 135 00:08:20,380 --> 00:08:24,080 unghiul dintre ele este congruent 136 00:08:24,090 --> 00:08:26,950 Deci am dovedit prin cazul de asemanare LUL 137 00:08:26,960 --> 00:08:33,540 deci merge un pic in jos, deci prin cazul de asemanare LUL 138 00:08:33,550 --> 00:08:40,110 nu congruenta, similaritate am aratat ca triunghiul FOG 139 00:08:40,120 --> 00:08:43,360 e asemenea cu CIG 140 00:08:43,370 --> 00:08:46,350 Si deci stim triunghiurile corespunzatoare sunt congruente 141 00:08:46,360 --> 00:08:51,910 stim ca unghiul CIG corespunde unghiului FOG 142 00:08:51,920 --> 00:08:57,450 deci acestea vor fi congruente, si de asemenea stim ca unghiul CGI 143 00:08:57,460 --> 00:09:00,660 unghiul CGI, hai sa folosesc o noua culoare, 144 00:09:00,670 --> 00:09:04,460 unghiul CGI corespunde unghiului OGF 145 00:09:04,470 --> 00:09:07,270 deci vor fi congruente de asemeni 146 00:09:07,280 --> 00:09:09,360 Deci puteti sa va uitati la diferie metode pentru acest unghi 147 00:09:09,370 --> 00:09:12,140 si acest unghi sunt la fel, acum puteti vedea OI 148 00:09:12,150 --> 00:09:15,670 ca o linie adevarata ca o transvesala a acestor doua paralele 149 00:09:15,680 --> 00:09:17,390 Deci hai ca stiti ca o linie 150 00:09:17,400 --> 00:09:18,920 sau puteti vedea ca aceste doua linii de aici, 151 00:09:18,930 --> 00:09:21,240 deci uitati aceste doua unghiuri sunt echivalente 152 00:09:21,250 --> 00:09:23,070 deci acestea trebuie sa fie unghiuri verticale, 153 00:09:23,080 --> 00:09:26,800 deci aceasta va fi de fapt, aceasta de fapt trebuie sa fie aceeasi linie 154 00:09:26,810 --> 00:09:29,290 Unghiul care se aici se apropie , acesta, 155 00:09:29,300 --> 00:09:32,290 aceasta mediana este aceelasi unghi care pleaca 156 00:09:32,300 --> 00:09:35,840 Deci acestea sunt toate, acestea sunt cu siguranta pe aceeasi linie 157 00:09:35,850 --> 00:09:38,310 Deci este o demonstratie simpla, din nou, 158 00:09:38,320 --> 00:09:42,260 de la o ideie foarte profunda, orocentrul, 159 00:09:42,270 --> 00:09:45,930 centrul de greutate si centrul cercului circumscris unui triunghi 160 00:09:45,940 --> 00:09:49,320 toate stau pe linia magica a lui Euler