0:00:00.000,0:00:04.200
Ce vreau sa fac in acest video, pentru un triunghi [br]o sa ne focusam

0:00:04.210,0:00:07.680
pe acest triunghi mai mare de aici , triunghiul ABC

0:00:07.690,0:00:11.690
Ce vreau sa fac este sa dovedesc ca [br]centrul cercului circumscris ,

0:00:11.700,0:00:15.020
amintiti-va centrul cercului circumscris este intersectia

0:00:15.030,0:00:16.820
mediatoarelor

0:00:16.830,0:00:21.920
Centrul cercului circumscris acestui triunghi, [br]centrul de greutate al acestui triunghi,

0:00:21.930,0:00:24.040
centrul de greutate este intersectia medianelor sale,

0:00:24.050,0:00:28.720
si ortocentru, acesta este intersectia inaltimilor

0:00:28.730,0:00:35.460
toate stau pe aceeasi linie, sau acea OI chiar de aici[br]este un segment

0:00:35.470,0:00:39.200
Sau ca OG si GI sunt de fapt doua segmente

0:00:39.210,0:00:44.810
care fac aceste 2 segmente care sunt parte din [br]linia lui Euler

0:00:44.820,0:00:48.900
Si sa fac asta, am pus un triunghi in mijloc chiar aici,

0:00:48.910,0:00:53.130
triunghiul FED, sau de fapt ar trebui sa spun,[br]triunghiul DEF,

0:00:53.140,0:00:56.760
care este triunghiul median pentru ABC

0:00:56.770,0:00:58.670
Si exista deja o multime de lucruri

0:00:58.680,0:01:00.670
de care stim pentru triungiurile mediane

0:01:00.680,0:01:02.640
si am dovedit asta in video-uri trecute

0:01:02.650,0:01:07.010
Un lucru stim, este triunghiul median DEF,

0:01:07.040,0:01:11.300
DEF va fi asemenea cu un triunghi mai mare

0:01:11.310,0:01:13.410
triunghiul care este un trunghi median al,

0:01:13.420,0:01:18.000
este al, si raportul de la triunghiul mare la[br]triunghiul mic

0:01:18.010,0:01:19.760
este de 2 la 1

0:01:19.770,0:01:21.780
Si asta este destul de important sa aratam

0:01:21.790,0:01:24.630
Cand doua triunghiuri sunt asemenea cu raportul de [br]asemanare dat,

0:01:24.640,0:01:28.360
asta inseamna daca luati distanta dintre oricare doua[br]parti corespunzatoare

0:01:28.370,0:01:32.690
ale triunghiurilor asemenea acel raport va fi 2 la 1

0:01:32.700,0:01:35.920
Acum o alta relatie pe care am donedit-o deja

0:01:35.930,0:01:38.350
o alta relatie intre triunghiul median,

0:01:38.360,0:01:40.440
si triunghiul pentru care este triunghi median

0:01:40.450,0:01:43.590
ca am aratat ortocentru

0:01:43.600,0:01:52.130
al centrului triunghiului mai mare

0:01:52.140,0:01:55.110
Deci o cale de a ne gandi la el este punctual O,

0:01:55.120,0:01:58.810
deja am mentionat este centrul cercului circumscris[br]triunghiului mai mare

0:01:58.820,0:02:05.560
De asemeni este otocentrul triunghiului mai mic,

0:02:05.570,0:02:06.880
de fapt am scris aici

0:02:06.890,0:02:12.110
deci punctual O obesrvati este pe aceasta mediatoare,

0:02:12.120,0:02:14.880
stiti, ar trebui sa fac o gramada de altele cu[br]acest gri inghis

0:02:14.890,0:02:18.640
dar nu vreau sa fac aceasta diagrama prea dezordonata

0:02:18.650,0:02:21.220
Dar acesta este centrul cercului circumscris triunghiului[br]mai mare

0:02:57.120,0:03:04.560
Acum ca sa dovedesc ca OG si o sa raman pe aceeasi linie

0:03:04.570,0:03:07.030
sau pe aceelasi segment in cazul acesta

0:03:07.040,0:03:10.860
Ce am de gand sa fac, vreau sa dovedesc,

0:03:10.870,0:03:16.100
Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG,

0:03:16.110,0:03:19.360
Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG,

0:03:19.370,0:03:25.420
este asemenea cu triunghiul CIG,

0:03:25.430,0:03:29.180
e asemenea cu triunghiul CIG

0:03:29.190,0:03:32.090
Deoarece daca pot dovedi asta, atunci unghiurile [br]lor coresounzatoare

0:03:32.100,0:03:33.290
vor fi echivalente,

0:03:33.300,0:03:35.690
puteti spune ca acest unghi va fi egal

0:03:35.700,0:03:36.940
cu aceste unghiuri de aici

0:03:36.950,0:03:39.760
Si deci OI va fi transversala,

0:03:39.770,0:03:42.270
deoarece vom vedea aceste doua linii de aici fiind[br]paralele

0:03:42.280,0:03:45.390
sau daca aceste doua triunghiuri sunt asemenea,

0:03:45.400,0:03:47.830
doar amintiti-va ca cineva se uita la triunghiul nostru de aici

0:03:47.840,0:03:49.330
si acest triunghi de aici

0:03:49.340,0:03:51.400
Daca intr-adevar sunt similare atunci acest unghi

0:03:51.410,0:03:52.780
va fi egal cu acest unghi

0:03:52.790,0:03:53.740
care inseamna ca,

0:03:53.750,0:03:56.180
deci acestea vor fi intr-adevar unghiuri drepte

0:03:56.190,0:03:58.970
si deci aceasta va fi o linie reala

0:03:58.980,0:04:01.270
Deci hai sa mergem la demonstratia actuala

0:04:01.280,0:04:05.550
Deci poate, nu am nevoie sa fie subliniate aici

0:04:05.560,0:04:07.620
Deci un lucru si m-am gandit despre asta deja,

0:04:07.630,0:04:12.390
stim ca aceasta linie de aici, o putem numi XC

0:04:12.400,0:04:15.580
stim ca aceasta este perpendiculara precum AB

0:04:15.590,0:04:20.290
este o inaltime, si de asemeni stim ca FY de aici

0:04:20.300,0:04:25.320
e perpendicular pe AB, este o mediatoare

0:04:25.330,0:04:28.390
Deci amandoua formeaza aceeelasi unghi cu transversala

0:04:28.400,0:04:29.950
puteti vedea AB ca o transversala

0:04:29.960,0:04:33.240
deci ele trebuie sa fie paralele, deci stim ca FY,

0:04:33.250,0:04:39.110
FY e paralela cu XC, cu XC

0:04:39.120,0:04:39.350
segmental FY e paralel cu XC,

0:04:39.360,0:04:41.980
segmental FY e paralel cu segmentul XC

0:04:41.990,0:04:46.740
Si putem scrie ; acest tip e parallel cu acest tip de aici

0:04:46.750,0:04:51.490
Si asta e folositor deoarece stim ca unghiurile alterne interne

0:04:51.500,0:04:54.700
ale unei transversale, cand o transversala intersecteaza [br]doua linii paralele

0:04:54.710,0:04:56.070
sunt congruente

0:04:56.080,0:05:02.670
Deci stim, stim ca acest unghi, stim ca FC este o linie

0:05:02.680,0:05:06.740
este o mediana a triunghiului mare , triunghiul ABC

0:05:06.900,0:05:09.900
Deci aveti o linie ce intersecteaza doua linii paralele,

0:05:09.910,0:05:12.860
unghiurile alterne interne sunt congruente

0:05:12.870,0:05:15.890
Deci acel triunghi va fi congruent cu acel triunghi

0:05:15.900,0:05:24.160
Deci puteti spune unghiul OFG e congruent cu unghiul

0:05:24.170,0:05:27.720
deci este OFG, e congruent cu unghiul ICG,

0:05:27.730,0:05:34.140
cu ICG, acum celalalt lucru, celalalt lucru pe care-l stim,

0:05:34.150,0:05:38.280
aceasta este o proprietate, aceasta este o proprietate [br]a medianelor este ca

0:05:38.290,0:05:41.910
o mediana imparte sau as spune ca centru de greutate,

0:05:41.920,0:05:45.690
imparte mediana in doua segmente care au [br]un raport de 2 la 1

0:05:45.700,0:05:47.360
sau o alta cale de a o gandi este ca centrul de greutate

0:05:47.370,0:05:50.830
este doua treimi pe mediana

0:05:50.840,0:05:53.590
Deci stim si am dovedit-o intr-un video anterior

0:05:53.600,0:06:02.330
Stim ca CG, CG este egal cu 2 ori GF, 2 ori GF

0:06:02.340,0:06:03.610
si cred ca stiti unde mergem.

0:06:03.620,0:06:06.710
Avem un unghi, v-am aratat ca raportul acestei laturi

0:06:06.720,0:06:09.480
la aceasta latura este 2 la 1 si asta e proprietatea

0:06:09.490,0:06:10.830
centrului de greutate si al medianelor

0:06:10.840,0:06:16.850
Si acum daca putem arata ca raportul acestei laturi[br]CI la FO este 2 la 1

0:06:16.860,0:06:20.240
ca avem doua laturi corespunzatoare unde raportul este 2 la 1,

0:06:20.250,0:06:22.100
si avem unghiul intre congruente,

0:06:22.110,0:06:25.920
si avem cazul LUL ca sa aratam ca aceste triunghiuri

0:06:25.930,0:06:28.570
de fapt sunt asemenea, hai de fapt sa [br]ne gandim despre asta

0:06:28.580,0:06:34.180
CI e distanta dintre, CI e intre

0:06:34.190,0:06:40.210
ortocentrul C al triunghiului mai mare

0:06:40.220,0:06:41.830
Ei bine cat este FO?

0:06:41.840,0:06:47.220
Ei bine F este punctual correspondent puncului C[br]pe mediana triunghiului

0:06:47.230,0:06:51.630
si trebuie sa fim siguri ca specificam similaritatea cu F

0:06:51.640,0:06:54.040
F corespunde punctului C

0:06:54.050,0:06:59.370
Deci FO este distanta dintre F in triunghiul mai mic

0:06:59.380,0:07:03.130
si ortocentrul triungiului mai mic median

0:07:03.140,0:07:04.810
Deci aceasta este distanta dintre C

0:07:04.820,0:07:06.740
si ortocentrul triunghiului mai mare

0:07:06.750,0:07:09.560
Aceasta este distanta dintre laturile corespondente

0:07:09.570,0:07:10.990
ale triunghiului median

0:07:11.000,0:07:13.070
si triunghiul median mai mic si ortocentrul lui

0:07:13.080,0:07:16.190
Deci aceasta este aceeasi distanta corespunzatoare

0:07:16.200,0:07:18.740
pe triunghiul mai mare si triunghiul median,

0:07:18.750,0:07:21.820
si deja stim ca sunt similare cu raportul de 2 la 1

0:07:21.830,0:07:25.820
Si deci distantele corespunzatoare intre oricare[br]doua puncte

0:07:25.830,0:07:28.560
in aceelasi triunghi vor avea aceelasi raport

0:07:28.570,0:07:32.750
Deci datorita acestei similaritati, datorita similaritatii

0:07:32.760,0:07:39.500
stim ca CI, CI va fi egal cu 2 ori FO

0:07:39.510,0:07:43.440
Vreau sa subliniez aceasta; C este corespondentul [br]punctului F,

0:07:43.450,0:07:46.080
cand ne uitam la ambele aceste triunghiui asemenea,

0:07:46.090,0:07:48.600
I este ortocentru triunghiului mai mare,

0:07:48.610,0:07:50.560
O este ortocentrul triunghiului mai mic

0:07:50.570,0:07:52.470
Luati punctual corespondent

0:07:52.480,0:07:54.270
ortocentului triunghiului mai mare

0:07:54.280,0:07:58.320
punctul correspondent triunghiului mai mic

0:07:58.330,0:08:00.710
Triunghiurile sunt asemenea cu raportul de 2 la 1

0:08:00.720,0:08:04.930
deci raportul acestei lungimi la aceasta lungime[br]va fi de 2 la 1

0:08:04.940,0:08:07.910
Deci am aratat, am aratat ca raportul

0:08:07.920,0:08:12.380
acestei laturi la aceasta latura este de 2 la 1

0:08:12.450,0:08:17.730
Am aratat raportul daca aceasta latura la [br]aceasta latura este de asemeni de 2 la 1

0:08:17.740,0:08:20.370
Am aratat ca unghiul dintre este

0:08:20.380,0:08:24.080
unghiul dintre ele este congruent

0:08:24.090,0:08:26.950
Deci am dovedit prin cazul de asemanare LUL

0:08:26.960,0:08:33.540
deci merge un pic in jos, deci prin cazul de[br]asemanare LUL

0:08:33.550,0:08:40.110
nu congruenta, similaritate am aratat ca triunghiul FOG

0:08:40.120,0:08:43.360
e asemenea cu CIG

0:08:43.370,0:08:46.350
Si deci stim triunghiurile corespunzatoare sunt[br]congruente

0:08:46.360,0:08:51.910
stim ca unghiul CIG corespunde unghiului FOG

0:08:51.920,0:08:57.450
deci acestea vor fi congruente, si de asemenea stim[br]ca unghiul CGI

0:08:57.460,0:09:00.660
unghiul CGI, hai sa folosesc o noua culoare,

0:09:00.670,0:09:04.460
unghiul CGI corespunde unghiului OGF

0:09:04.470,0:09:07.270
deci vor fi congruente de asemeni

0:09:07.280,0:09:09.360
Deci puteti sa va uitati la diferie metode pentru[br]acest unghi

0:09:09.370,0:09:12.140
si acest unghi sunt la fel, acum puteti vedea OI

0:09:12.150,0:09:15.670
ca o linie adevarata ca o transvesala a acestor doua [br]paralele

0:09:15.680,0:09:17.390
Deci hai ca stiti ca o linie

0:09:17.400,0:09:18.920
sau puteti vedea ca aceste doua linii de aici,

0:09:18.930,0:09:21.240
deci uitati aceste doua unghiuri sunt echivalente

0:09:21.250,0:09:23.070
deci acestea trebuie sa fie unghiuri verticale,

0:09:23.080,0:09:26.800
deci aceasta va fi de fapt, aceasta de fapt trebuie sa fie[br]aceeasi linie

0:09:26.810,0:09:29.290
Unghiul care se aici se apropie , acesta,

0:09:29.300,0:09:32.290
aceasta mediana este aceelasi unghi care pleaca

0:09:32.300,0:09:35.840
Deci acestea sunt toate, acestea sunt cu siguranta [br]pe aceeasi linie

0:09:35.850,0:09:38.310
Deci este o demonstratie simpla, din nou,

0:09:38.320,0:09:42.260
de la o ideie foarte profunda, orocentrul,

0:09:42.270,0:09:45.930
centrul de greutate si centrul cercului circumscris unui triunghi

0:09:45.940,0:09:49.320
toate stau pe linia magica a lui Euler