WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.200
Ce vreau sa fac in acest video, pentru un triunghi 
o sa ne focusam

00:00:04.210 --> 00:00:07.680
pe acest triunghi mai mare de aici , triunghiul ABC

00:00:07.690 --> 00:00:11.690
Ce vreau sa fac este sa dovedesc ca 
centrul cercului circumscris ,

00:00:11.700 --> 00:00:15.020
amintiti-va centrul cercului circumscris este intersectia

00:00:15.030 --> 00:00:16.820
mediatoarelor

00:00:16.830 --> 00:00:21.920
Centrul cercului circumscris acestui triunghi, 
centrul de greutate al acestui triunghi,

00:00:21.930 --> 00:00:24.040
centrul de greutate este intersectia medianelor sale,

00:00:24.050 --> 00:00:28.720
si ortocentru, acesta este intersectia inaltimilor

00:00:28.730 --> 00:00:35.460
toate stau pe aceeasi linie, sau acea OI chiar de aici
este un segment

00:00:35.470 --> 00:00:39.200
Sau ca OG si GI sunt de fapt doua segmente

00:00:39.210 --> 00:00:44.810
care fac aceste 2 segmente care sunt parte din 
linia lui Euler

00:00:44.820 --> 00:00:48.900
Si sa fac asta, am pus un triunghi in mijloc chiar aici,

00:00:48.910 --> 00:00:53.130
triunghiul FED, sau de fapt ar trebui sa spun,
triunghiul DEF,

00:00:53.140 --> 00:00:56.760
care este triunghiul median pentru ABC

00:00:56.770 --> 00:00:58.670
Si exista deja o multime de lucruri

00:00:58.680 --> 00:01:00.670
de care stim pentru triungiurile mediane

00:01:00.680 --> 00:01:02.640
si am dovedit asta in video-uri trecute

00:01:02.650 --> 00:01:07.010
Un lucru stim, este triunghiul median DEF,

00:01:07.040 --> 00:01:11.300
DEF va fi asemenea cu un triunghi mai mare

00:01:11.310 --> 00:01:13.410
triunghiul care este un trunghi median al,

00:01:13.420 --> 00:01:18.000
este al, si raportul de la triunghiul mare la
triunghiul mic

00:01:18.010 --> 00:01:19.760
este de 2 la 1

00:01:19.770 --> 00:01:21.780
Si asta este destul de important sa aratam

00:01:21.790 --> 00:01:24.630
Cand doua triunghiuri sunt asemenea cu raportul de 
asemanare dat,

00:01:24.640 --> 00:01:28.360
asta inseamna daca luati distanta dintre oricare doua
parti corespunzatoare

00:01:28.370 --> 00:01:32.690
ale triunghiurilor asemenea acel raport va fi 2 la 1

00:01:32.700 --> 00:01:35.920
Acum o alta relatie pe care am donedit-o deja

00:01:35.930 --> 00:01:38.350
o alta relatie intre triunghiul median,

00:01:38.360 --> 00:01:40.440
si triunghiul pentru care este triunghi median

00:01:40.450 --> 00:01:43.590
ca am aratat ortocentru

00:01:43.600 --> 00:01:52.130
al centrului triunghiului mai mare

00:01:52.140 --> 00:01:55.110
Deci o cale de a ne gandi la el este punctual O,

00:01:55.120 --> 00:01:58.810
deja am mentionat este centrul cercului circumscris
triunghiului mai mare

00:01:58.820 --> 00:02:05.560
De asemeni este otocentrul triunghiului mai mic,

00:02:05.570 --> 00:02:06.880
de fapt am scris aici

00:02:06.890 --> 00:02:12.110
deci punctual O obesrvati este pe aceasta mediatoare,

00:02:12.120 --> 00:02:14.880
stiti, ar trebui sa fac o gramada de altele cu
acest gri inghis

00:02:14.890 --> 00:02:18.640
dar nu vreau sa fac aceasta diagrama prea dezordonata

00:02:18.650 --> 00:02:21.220
Dar acesta este centrul cercului circumscris triunghiului
mai mare

00:02:57.120 --> 00:03:04.560
Acum ca sa dovedesc ca OG si o sa raman pe aceeasi linie

00:03:04.570 --> 00:03:07.030
sau pe aceelasi segment in cazul acesta

00:03:07.040 --> 00:03:10.860
Ce am de gand sa fac, vreau sa dovedesc,

00:03:10.870 --> 00:03:16.100
Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG,

00:03:16.110 --> 00:03:19.360
Vreau sa dovedesc ca triunghiul FOG,

00:03:19.370 --> 00:03:25.420
este asemenea cu triunghiul CIG,

00:03:25.430 --> 00:03:29.180
e asemenea cu triunghiul CIG

00:03:29.190 --> 00:03:32.090
Deoarece daca pot dovedi asta, atunci unghiurile 
lor coresounzatoare

00:03:32.100 --> 00:03:33.290
vor fi echivalente,

00:03:33.300 --> 00:03:35.690
puteti spune ca acest unghi va fi egal

00:03:35.700 --> 00:03:36.940
cu aceste unghiuri de aici

00:03:36.950 --> 00:03:39.760
Si deci OI va fi transversala,

00:03:39.770 --> 00:03:42.270
deoarece vom vedea aceste doua linii de aici fiind
paralele

00:03:42.280 --> 00:03:45.390
sau daca aceste doua triunghiuri sunt asemenea,

00:03:45.400 --> 00:03:47.830
doar amintiti-va ca cineva se uita la triunghiul nostru de aici

00:03:47.840 --> 00:03:49.330
si acest triunghi de aici

00:03:49.340 --> 00:03:51.400
Daca intr-adevar sunt similare atunci acest unghi

00:03:51.410 --> 00:03:52.780
va fi egal cu acest unghi

00:03:52.790 --> 00:03:53.740
care inseamna ca,

00:03:53.750 --> 00:03:56.180
deci acestea vor fi intr-adevar unghiuri drepte

00:03:56.190 --> 00:03:58.970
si deci aceasta va fi o linie reala

00:03:58.980 --> 00:04:01.270
Deci hai sa mergem la demonstratia actuala

00:04:01.280 --> 00:04:05.550
Deci poate, nu am nevoie sa fie subliniate aici

00:04:05.560 --> 00:04:07.620
Deci un lucru si m-am gandit despre asta deja,

00:04:07.630 --> 00:04:12.390
stim ca aceasta linie de aici, o putem numi XC

00:04:12.400 --> 00:04:15.580
stim ca aceasta este perpendiculara precum AB

00:04:15.590 --> 00:04:20.290
este o inaltime, si de asemeni stim ca FY de aici

00:04:20.300 --> 00:04:25.320
e perpendicular pe AB, este o mediatoare

00:04:25.330 --> 00:04:28.390
Deci amandoua formeaza aceeelasi unghi cu transversala

00:04:28.400 --> 00:04:29.950
puteti vedea AB ca o transversala

00:04:29.960 --> 00:04:33.240
deci ele trebuie sa fie paralele, deci stim ca FY,

00:04:33.250 --> 00:04:39.110
FY e paralela cu XC, cu XC

00:04:39.120 --> 00:04:39.350
segmental FY e paralel cu XC,

00:04:39.360 --> 00:04:41.980
segmental FY e paralel cu segmentul XC

00:04:41.990 --> 00:04:46.740
Si putem scrie ; acest tip e parallel cu acest tip de aici

00:04:46.750 --> 00:04:51.490
Si asta e folositor deoarece stim ca unghiurile alterne interne

00:04:51.500 --> 00:04:54.700
ale unei transversale, cand o transversala intersecteaza 
doua linii paralele

00:04:54.710 --> 00:04:56.070
sunt congruente

00:04:56.080 --> 00:05:02.670
Deci stim, stim ca acest unghi, stim ca FC este o linie

00:05:02.680 --> 00:05:06.740
este o mediana a triunghiului mare , triunghiul ABC

00:05:06.900 --> 00:05:09.900
Deci aveti o linie ce intersecteaza doua linii paralele,

00:05:09.910 --> 00:05:12.860
unghiurile alterne interne sunt congruente

00:05:12.870 --> 00:05:15.890
Deci acel triunghi va fi congruent cu acel triunghi

00:05:15.900 --> 00:05:24.160
Deci puteti spune unghiul OFG e congruent cu unghiul

00:05:24.170 --> 00:05:27.720
deci este OFG, e congruent cu unghiul ICG,

00:05:27.730 --> 00:05:34.140
cu ICG, acum celalalt lucru, celalalt lucru pe care-l stim,

00:05:34.150 --> 00:05:38.280
aceasta este o proprietate, aceasta este o proprietate 
a medianelor este ca

00:05:38.290 --> 00:05:41.910
o mediana imparte sau as spune ca centru de greutate,

00:05:41.920 --> 00:05:45.690
imparte mediana in doua segmente care au 
un raport de 2 la 1

00:05:45.700 --> 00:05:47.360
sau o alta cale de a o gandi este ca centrul de greutate

00:05:47.370 --> 00:05:50.830
este doua treimi pe mediana

00:05:50.840 --> 00:05:53.590
Deci stim si am dovedit-o intr-un video anterior

00:05:53.600 --> 00:06:02.330
Stim ca CG, CG este egal cu 2 ori GF, 2 ori GF

00:06:02.340 --> 00:06:03.610
si cred ca stiti unde mergem.

00:06:03.620 --> 00:06:06.710
Avem un unghi, v-am aratat ca raportul acestei laturi

00:06:06.720 --> 00:06:09.480
la aceasta latura este 2 la 1 si asta e proprietatea

00:06:09.490 --> 00:06:10.830
centrului de greutate si al medianelor

00:06:10.840 --> 00:06:16.850
Si acum daca putem arata ca raportul acestei laturi
CI la FO este 2 la 1

00:06:16.860 --> 00:06:20.240
ca avem doua laturi corespunzatoare unde raportul este 2 la 1,

00:06:20.250 --> 00:06:22.100
si avem unghiul intre congruente,

00:06:22.110 --> 00:06:25.920
si avem cazul LUL ca sa aratam ca aceste triunghiuri

00:06:25.930 --> 00:06:28.570
de fapt sunt asemenea, hai de fapt sa 
ne gandim despre asta

00:06:28.580 --> 00:06:34.180
CI e distanta dintre, CI e intre

00:06:34.190 --> 00:06:40.210
ortocentrul C al triunghiului mai mare

00:06:40.220 --> 00:06:41.830
Ei bine cat este FO?

00:06:41.840 --> 00:06:47.220
Ei bine F este punctual correspondent puncului C
pe mediana triunghiului

00:06:47.230 --> 00:06:51.630
si trebuie sa fim siguri ca specificam similaritatea cu F

00:06:51.640 --> 00:06:54.040
F corespunde punctului C

00:06:54.050 --> 00:06:59.370
Deci FO este distanta dintre F in triunghiul mai mic

00:06:59.380 --> 00:07:03.130
si ortocentrul triungiului mai mic median

00:07:03.140 --> 00:07:04.810
Deci aceasta este distanta dintre C

00:07:04.820 --> 00:07:06.740
si ortocentrul triunghiului mai mare

00:07:06.750 --> 00:07:09.560
Aceasta este distanta dintre laturile corespondente

00:07:09.570 --> 00:07:10.990
ale triunghiului median

00:07:11.000 --> 00:07:13.070
si triunghiul median mai mic si ortocentrul lui

00:07:13.080 --> 00:07:16.190
Deci aceasta este aceeasi distanta corespunzatoare

00:07:16.200 --> 00:07:18.740
pe triunghiul mai mare si triunghiul median,

00:07:18.750 --> 00:07:21.820
si deja stim ca sunt similare cu raportul de 2 la 1

00:07:21.830 --> 00:07:25.820
Si deci distantele corespunzatoare intre oricare
doua puncte

00:07:25.830 --> 00:07:28.560
in aceelasi triunghi vor avea aceelasi raport

00:07:28.570 --> 00:07:32.750
Deci datorita acestei similaritati, datorita similaritatii

00:07:32.760 --> 00:07:39.500
stim ca CI, CI va fi egal cu 2 ori FO

00:07:39.510 --> 00:07:43.440
Vreau sa subliniez aceasta; C este corespondentul 
punctului F,

00:07:43.450 --> 00:07:46.080
cand ne uitam la ambele aceste triunghiui asemenea,

00:07:46.090 --> 00:07:48.600
I este ortocentru triunghiului mai mare,

00:07:48.610 --> 00:07:50.560
O este ortocentrul triunghiului mai mic

00:07:50.570 --> 00:07:52.470
Luati punctual corespondent

00:07:52.480 --> 00:07:54.270
ortocentului triunghiului mai mare

00:07:54.280 --> 00:07:58.320
punctul correspondent triunghiului mai mic

00:07:58.330 --> 00:08:00.710
Triunghiurile sunt asemenea cu raportul de 2 la 1

00:08:00.720 --> 00:08:04.930
deci raportul acestei lungimi la aceasta lungime
va fi de 2 la 1

00:08:04.940 --> 00:08:07.910
Deci am aratat, am aratat ca raportul

00:08:07.920 --> 00:08:12.380
acestei laturi la aceasta latura este de 2 la 1

00:08:12.450 --> 00:08:17.730
Am aratat raportul daca aceasta latura la 
aceasta latura este de asemeni de 2 la 1

00:08:17.740 --> 00:08:20.370
Am aratat ca unghiul dintre este

00:08:20.380 --> 00:08:24.080
unghiul dintre ele este congruent

00:08:24.090 --> 00:08:26.950
Deci am dovedit prin cazul de asemanare LUL

00:08:26.960 --> 00:08:33.540
deci merge un pic in jos, deci prin cazul de
asemanare LUL

00:08:33.550 --> 00:08:40.110
nu congruenta, similaritate am aratat ca triunghiul FOG

00:08:40.120 --> 00:08:43.360
e asemenea cu CIG

00:08:43.370 --> 00:08:46.350
Si deci stim triunghiurile corespunzatoare sunt
congruente

00:08:46.360 --> 00:08:51.910
stim ca unghiul CIG corespunde unghiului FOG

00:08:51.920 --> 00:08:57.450
deci acestea vor fi congruente, si de asemenea stim
ca unghiul CGI

00:08:57.460 --> 00:09:00.660
unghiul CGI, hai sa folosesc o noua culoare,

00:09:00.670 --> 00:09:04.460
unghiul CGI corespunde unghiului OGF

00:09:04.470 --> 00:09:07.270
deci vor fi congruente de asemeni

00:09:07.280 --> 00:09:09.360
Deci puteti sa va uitati la diferie metode pentru
acest unghi

00:09:09.370 --> 00:09:12.140
si acest unghi sunt la fel, acum puteti vedea OI

00:09:12.150 --> 00:09:15.670
ca o linie adevarata ca o transvesala a acestor doua 
paralele

00:09:15.680 --> 00:09:17.390
Deci hai ca stiti ca o linie

00:09:17.400 --> 00:09:18.920
sau puteti vedea ca aceste doua linii de aici,

00:09:18.930 --> 00:09:21.240
deci uitati aceste doua unghiuri sunt echivalente

00:09:21.250 --> 00:09:23.070
deci acestea trebuie sa fie unghiuri verticale,

00:09:23.080 --> 00:09:26.800
deci aceasta va fi de fapt, aceasta de fapt trebuie sa fie
aceeasi linie

00:09:26.810 --> 00:09:29.290
Unghiul care se aici se apropie , acesta,

00:09:29.300 --> 00:09:32.290
aceasta mediana este aceelasi unghi care pleaca

00:09:32.300 --> 00:09:35.840
Deci acestea sunt toate, acestea sunt cu siguranta 
pe aceeasi linie

00:09:35.850 --> 00:09:38.310
Deci este o demonstratie simpla, din nou,

00:09:38.320 --> 00:09:42.260
de la o ideie foarte profunda, orocentrul,

00:09:42.270 --> 00:09:45.930
centrul de greutate si centrul cercului circumscris unui triunghi

00:09:45.940 --> 00:09:49.320
toate stau pe linia magica a lui Euler