Euler's Line Proof

I denne videoen skal vi fokusere på den store trekanten her.

Det er trekanten ABC.

Vi vil i denne videoen gjøre et bevis for Eulerlinjen, og for å gjøre det starter vi med å se på punktene på Eulerlinjen.

Her er det viktig å huske, at sentrum for den omskrevne sirkel

er skjæringspunktet mellom de tre midtnormalene i trekanten.

Utover sentrum for den omskrevne sirkel, har vi også sentrum for den innskrevne sirkel,

og sentrum for den innskrevne sirkel er skjæringspunktet mellom medianene.

Til slutt har vi skjæringen mellom trekantens tre høyder.

Alle tre punktene er på den samme linjen, Ol, som vi har her i den oransje fargen.

Eller OG og GI er egentlig 2 linjestykker,

som utgjør den største linjen, som er den delen av den såkalte Eulerlinjen.

For å bevise det har vi tegnet midttrekanten her.

Det er trekanten FED, eller den skal faktisk hete trekant DEF,

og det er altså trekanten, hvis vi vinkelspissene er midtpunkter på den store trekantens sider.

Vi vet allerede fler ting

om den midterste trekanten,

og det har vi bevist i en tidligere video.

En ting, vi vet, er, at midttrekanten, DEF,

og den store trekanten ABC er formlike.

Trekanten ABC og trekanten DEF er altså formlike.

Når de to trekantene er formlike,kan vi snakke om skalafaktoren,

og i det her tilfelle er skalafaktoren 2 til 1.

Det er vektig å bevise.

Når to trekanter er formlike med en gitt skalafaktor,

betyr det, at hvis man tar lengden av enhver av de tilsvarende delene fra de to formlike trekantene,

så vil forholdet mellom de være 2 til 1.

Vi har også allerede vist en annen sammenheng mellom de to trekantene.

Den andre sammenhengen mellom midttrekanten

og den store trekanten, som midttrekanten er i, er,

at vi har bevist skjæringspunktet mellom høydene

i midttrekanten.

Vi vet allerede, at punktet O er sentrum for den omskrevne sirkel

av den store trekanten.

Punktet O er også skjæringspunktet mellom høydene i midttrekanten.

Det skrev vi faktisk her.

Punktet O er altså på den her midtnormalen.

Vi skulle gjøre en masse annet i den her mørkegrå fargen,

men det ville også være dumt å gjøre det for rotete.

Det her er sentrum i den store trekantens omskrevne sirkel.

For å bevise at OG og I er på den samme linjen

eller det samme linjestykke,

skal vi bevise,

at trekanten FOG og trekanten CIG er formlike.

Vi skal altså bevise,

at FOG og CIG er formlike trekanter.

.

Hvis vi kan bevise det, vil de tilsvarende vinklene

være like store.

Det vil si, at den her vinkelen vil være lik den,

der her borte.

OI vil også være en transversal,

fordi de to linjene her er parallelle,

eller hvis de her to trekantene er formlike.

Husk at vi ser på trekanten, som er her,

og trekanten, som er her.

Hvis de virkelig er formlike, så vil den her vinkelen

være like stor som den her vinkelen,

som betyr,

at de her to faktisk er toppvinkler.

I det her tilfelle vil det her være en riktig linje.

La oss komme videre til beviset.

Vi har ikke bruk for å ha de her to fremhevet mer.

La oss komme i gang.

Vi vet, at linjen her borte, som vi kaller XC,

er vinkelrett på linjen AB.

XC er en høyde, og vi vet også, at FY, som er her,

også er vinkelrett på AB, for FY er nemlig midtnormalen.

De danner altså begge to samme vinkel med en transversal,

som i det her tilfelle er AB.

De må altså være parallelle.

VI vet derfor, at FY og XC er parallelle.

Linjen FY og linje XC er parallelle.

.

Den her er parallell med den her,

og det er brukbart, fordi vi vet, at innvendige vekselvinkler

av en transversal er kongruente,

når en transversal skjærer to parallelle linjer.

Vi vet, at den her linjen, FC,

er median i den store trekanten ABC.

Vi har altså en linje, som skjærer to parallelle linjer,

og de innvendige vekselvinklene er like.

Den her vinkelen vil altså være like stor som den her vinkelen.

Vi kan si, at vinkel OFG og vinkel ICG er like store.

Vinkel OFG og vinkel ICG er kongruente.

Vi vet også en annen ting om det her.

Den andre tingen, vi vet er,

at sentrum i den innskrevne sirkel

deler medianene opp i to deler med forholdet 2 til 1.

Det her er sentrum i den innskrevne sirkel,

og det punktet er 2 tredjedeler nede av medianens lengde.

Vi har bevist det her i en tidligere video.

Vi vet, at linjestykket CG er lik med 2 ganger linjestykket GF,

og kanskje det er å finne ut hva vi gjør nå.

Vi har en vinkel her, og vi har vist, at forholdet mellom den her siden

og den her siden er 2 til 1, og det er altså en egenskap ved sentrum av den innskrevne sirkel

og medianen.

Nå kan vi prøve å vise, at forholdet mellom linjestykker Ci og linjestykket FI er 2 til 1.

Det vil si, at vi har to tilsvarende sider, hvor forholdet er 2 til 1,

og vi har vinklene, som er kongruente.

Vi kan så bruke regelen om side-vinkel-sidekongruens til å vise,

at de to trekantene er formlike.

Hvis vi ser på linjen CI, kan vi se, at den er lengden fra

den store trekantens vinkelspiss C og til den store trekantens skjæring mellom høydene.

Hva er FO?

F er et tilsvarende punkt med C i midttrekanten.

Vi skal sikre oss, at vi skriver formlikhet på den riktige måten.

F er tilsvarende med punktet C.

FO er altså lengden mellom F og midttrekanten

og midttrekantens skjæring mellom høydene.

Det her er lengden mellom C

og skjæringen mellom høydene i den store trekanten.

Det her er lengden mellom den tilsvarende

siden i midttrekanten

og midttrekantens skjæring mellom høydene.

Det her er altså den samme tilsvarende lengden

i den store trekanten og midttrekanten.

Vi vet allerede, at de to er formlike med forholdet 2 til 1.

De tilsvarende lengdene mellom to punkter

på de to trekantene vil altså ha samme størrelsesforhold.

På grunn av formlikheten vet vi,

at linjestykket CI er lik med 2 ganger linjestykke FO.

Det skal understrekes, at C er tilsvarende med punktet F,

når vi ser på de to formlike trekantene.

I er skjæringen mellom høydene i den store trekanten,

mens O er skjæringen mellom høydene i midttrekanten.

Vi tar et tilsvarende punkt

med skjæringen mellom høyden i den store trekanten

og et tilsvarende punkt med skjæringen mellom høyden i midttrekanten.

Trekantene er formlike med forholdet 2 til 1,

så forholdet mellom den her lengden og den her lengden skal være 2 til 1.

Nå har vi altså vist,

at forholdet mellom den her siden og den her siden er 2 til 1.

Vi har vist, at forholdet mellom den her siden og den her siden også er 2 til 1.

Vi har også vist, at vinkelen mellom de er kongruent.

Vinkelen mellom de er kongruent.

Vi har altså med side-vinkel-side formlikhet bevist,

og vi ruller litt ned på siden.

Vi har med side-vinkel-side formliket bevist, at trekanten FOG

og trekanten CIG er formlike.

Derfor vet vi, at de er tilsvarende trekantene er kongruente.

Vi vet, at vinkel CIG er tilsvarende med vinkel FOG,

og de er derfor kongruente.

Vi skriver det like godt i ny farge.

Vi vet også, at vinkel CGI er tilsvarende med vinkel OFG,

og derfor er de altså også kongruente.

Man kan se på det på forskjellige måter.

Hvis den her vinkelen og den her vinkelen er kongruente, kan man se OI som en linje,

som en transversal av de her to parallelle linjene.

Det forteller oss, at det er en linje.

Man kan også se på de to her,

og de to vinklene er like store,

så de må være toppvinkler.

Derfor må det her være en og samme linje.

Den vinkelen som nærmer seg medianen her,

er den samme vinkelen som forlater medianen.

De her er altså alle sammen på den samme linjen.

Det er et ganske enkelt bevis, som stammer fra noe av det, vi har lært tidligere.

Skjæringen mellom høydene,

skjæringen mellom medianene og skjæringen mellom midtnormalene

er alle på den samme linjen, kalt Eulerlinjen.