[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:04.20,Default,,0000,0000,0000,,I denne videoen skal vi fokusere på den store trekanten her.
Dialogue: 0,0:00:04.21,0:00:07.68,Default,,0000,0000,0000,,Det er trekanten ABC.
Dialogue: 0,0:00:07.69,0:00:11.69,Default,,0000,0000,0000,,Vi vil i denne videoen gjøre et bevis for Eulerlinjen, og for å gjøre det starter vi med å se på punktene på Eulerlinjen.
Dialogue: 0,0:00:11.70,0:00:15.02,Default,,0000,0000,0000,,Her er det viktig å huske, at sentrum for den omskrevne sirkel
Dialogue: 0,0:00:15.03,0:00:16.82,Default,,0000,0000,0000,,er skjæringspunktet mellom de tre midtnormalene i trekanten.
Dialogue: 0,0:00:16.83,0:00:21.92,Default,,0000,0000,0000,,Utover sentrum for den omskrevne sirkel, har vi også sentrum for den innskrevne sirkel,
Dialogue: 0,0:00:21.93,0:00:24.04,Default,,0000,0000,0000,,og sentrum for den innskrevne sirkel er skjæringspunktet mellom medianene.
Dialogue: 0,0:00:24.05,0:00:28.72,Default,,0000,0000,0000,,Til slutt har vi skjæringen mellom trekantens tre høyder.
Dialogue: 0,0:00:28.73,0:00:35.46,Default,,0000,0000,0000,,Alle tre punktene er på den samme linjen, Ol, som vi har her i den oransje fargen.
Dialogue: 0,0:00:35.47,0:00:39.20,Default,,0000,0000,0000,,Eller OG og GI er egentlig 2 linjestykker,
Dialogue: 0,0:00:39.21,0:00:44.81,Default,,0000,0000,0000,,som utgjør den største linjen, som er den delen av den såkalte Eulerlinjen.
Dialogue: 0,0:00:44.82,0:00:48.90,Default,,0000,0000,0000,,For å bevise det har vi tegnet midttrekanten her.
Dialogue: 0,0:00:48.91,0:00:53.13,Default,,0000,0000,0000,,Det er trekanten FED, eller den skal faktisk hete trekant DEF,
Dialogue: 0,0:00:53.14,0:00:56.76,Default,,0000,0000,0000,,og det er altså trekanten, hvis vi vinkelspissene er midtpunkter på den store trekantens sider.
Dialogue: 0,0:00:56.77,0:00:58.67,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet allerede fler ting
Dialogue: 0,0:00:58.68,0:01:00.67,Default,,0000,0000,0000,,om den midterste trekanten,
Dialogue: 0,0:01:00.68,0:01:02.64,Default,,0000,0000,0000,,og det har vi bevist i en tidligere video.
Dialogue: 0,0:01:02.65,0:01:07.01,Default,,0000,0000,0000,,En ting, vi vet, er, at midttrekanten, DEF,
Dialogue: 0,0:01:07.04,0:01:11.30,Default,,0000,0000,0000,,og den store trekanten ABC er formlike.
Dialogue: 0,0:01:11.31,0:01:13.41,Default,,0000,0000,0000,,Trekanten ABC og trekanten DEF er altså formlike.
Dialogue: 0,0:01:13.42,0:01:18.00,Default,,0000,0000,0000,,Når de to trekantene er formlike,kan vi snakke om skalafaktoren,
Dialogue: 0,0:01:18.01,0:01:19.76,Default,,0000,0000,0000,,og i det her tilfelle er skalafaktoren 2 til 1.
Dialogue: 0,0:01:19.77,0:01:21.78,Default,,0000,0000,0000,,Det er vektig å bevise.
Dialogue: 0,0:01:21.79,0:01:24.63,Default,,0000,0000,0000,,Når to trekanter er formlike med en gitt skalafaktor,
Dialogue: 0,0:01:24.64,0:01:28.36,Default,,0000,0000,0000,,betyr det, at hvis man tar lengden av enhver av de tilsvarende delene fra de to formlike trekantene,
Dialogue: 0,0:01:28.37,0:01:32.69,Default,,0000,0000,0000,,så vil forholdet mellom de være 2 til 1.
Dialogue: 0,0:01:32.70,0:01:35.92,Default,,0000,0000,0000,,Vi har også allerede vist en annen sammenheng mellom de to trekantene.
Dialogue: 0,0:01:35.93,0:01:38.35,Default,,0000,0000,0000,,Den andre sammenhengen mellom midttrekanten
Dialogue: 0,0:01:38.36,0:01:40.44,Default,,0000,0000,0000,,og den store trekanten, som midttrekanten er i, er,
Dialogue: 0,0:01:40.45,0:01:43.59,Default,,0000,0000,0000,,at vi har bevist skjæringspunktet mellom høydene
Dialogue: 0,0:01:43.60,0:01:52.13,Default,,0000,0000,0000,,i midttrekanten.
Dialogue: 0,0:01:52.14,0:01:55.11,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet allerede, at punktet O er sentrum for den omskrevne sirkel
Dialogue: 0,0:01:55.12,0:01:58.81,Default,,0000,0000,0000,,av den store trekanten.
Dialogue: 0,0:01:58.82,0:02:05.56,Default,,0000,0000,0000,,Punktet O er også skjæringspunktet mellom høydene i midttrekanten.
Dialogue: 0,0:02:05.57,0:02:06.88,Default,,0000,0000,0000,,Det skrev vi faktisk her.
Dialogue: 0,0:02:06.89,0:02:12.11,Default,,0000,0000,0000,,Punktet O er altså på den her midtnormalen.
Dialogue: 0,0:02:12.12,0:02:14.88,Default,,0000,0000,0000,,Vi skulle gjøre en masse annet i den her mørkegrå fargen,
Dialogue: 0,0:02:14.89,0:02:18.64,Default,,0000,0000,0000,,men det ville også være dumt å gjøre det for rotete.
Dialogue: 0,0:02:18.65,0:02:21.22,Default,,0000,0000,0000,,Det her er sentrum i den store trekantens omskrevne sirkel.
Dialogue: 0,0:02:57.12,0:03:04.56,Default,,0000,0000,0000,,For å bevise at OG og I er på den samme linjen
Dialogue: 0,0:03:04.57,0:03:07.03,Default,,0000,0000,0000,,eller det samme linjestykke,
Dialogue: 0,0:03:07.04,0:03:10.86,Default,,0000,0000,0000,,skal vi bevise,
Dialogue: 0,0:03:10.87,0:03:16.10,Default,,0000,0000,0000,,at trekanten FOG og trekanten CIG er formlike.
Dialogue: 0,0:03:16.11,0:03:19.36,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal altså bevise,
Dialogue: 0,0:03:19.37,0:03:25.42,Default,,0000,0000,0000,,at FOG og CIG er formlike trekanter.
Dialogue: 0,0:03:25.43,0:03:29.18,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:03:29.19,0:03:32.09,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi kan bevise det, vil de tilsvarende vinklene
Dialogue: 0,0:03:32.10,0:03:33.29,Default,,0000,0000,0000,,være like store.
Dialogue: 0,0:03:33.30,0:03:35.69,Default,,0000,0000,0000,,Det vil si, at den her vinkelen vil være lik den,
Dialogue: 0,0:03:35.70,0:03:36.94,Default,,0000,0000,0000,,der her borte.
Dialogue: 0,0:03:36.95,0:03:39.76,Default,,0000,0000,0000,,OI vil også være en transversal,
Dialogue: 0,0:03:39.77,0:03:42.27,Default,,0000,0000,0000,,fordi de to linjene her er parallelle,
Dialogue: 0,0:03:42.28,0:03:45.39,Default,,0000,0000,0000,,eller hvis de her to trekantene er formlike.
Dialogue: 0,0:03:45.40,0:03:47.83,Default,,0000,0000,0000,,Husk at vi ser på trekanten, som er her,
Dialogue: 0,0:03:47.84,0:03:49.33,Default,,0000,0000,0000,,og trekanten, som er her.
Dialogue: 0,0:03:49.34,0:03:51.40,Default,,0000,0000,0000,,Hvis de virkelig er formlike, så vil den her vinkelen
Dialogue: 0,0:03:51.41,0:03:52.78,Default,,0000,0000,0000,,være like stor som den her vinkelen,
Dialogue: 0,0:03:52.79,0:03:53.74,Default,,0000,0000,0000,,som betyr,
Dialogue: 0,0:03:53.75,0:03:56.18,Default,,0000,0000,0000,,at de her to faktisk er toppvinkler.
Dialogue: 0,0:03:56.19,0:03:58.97,Default,,0000,0000,0000,,I det her tilfelle vil det her være en riktig linje.
Dialogue: 0,0:03:58.98,0:04:01.27,Default,,0000,0000,0000,,La oss komme videre til beviset.
Dialogue: 0,0:04:01.28,0:04:05.55,Default,,0000,0000,0000,,Vi har ikke bruk for å ha de her to fremhevet mer.
Dialogue: 0,0:04:05.56,0:04:07.62,Default,,0000,0000,0000,,La oss komme i gang.
Dialogue: 0,0:04:07.63,0:04:12.39,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet, at linjen her borte, som vi kaller XC,
Dialogue: 0,0:04:12.40,0:04:15.58,Default,,0000,0000,0000,,er vinkelrett på linjen AB.
Dialogue: 0,0:04:15.59,0:04:20.29,Default,,0000,0000,0000,,XC er en høyde, og vi vet også, at FY, som er her,
Dialogue: 0,0:04:20.30,0:04:25.32,Default,,0000,0000,0000,,også er vinkelrett på AB, for FY er nemlig midtnormalen.
Dialogue: 0,0:04:25.33,0:04:28.39,Default,,0000,0000,0000,,De danner altså begge to samme vinkel med en transversal,
Dialogue: 0,0:04:28.40,0:04:29.95,Default,,0000,0000,0000,,som i det her tilfelle er AB.
Dialogue: 0,0:04:29.96,0:04:33.24,Default,,0000,0000,0000,,De må altså være parallelle.
Dialogue: 0,0:04:33.25,0:04:39.11,Default,,0000,0000,0000,,VI vet derfor, at FY og XC er parallelle.
Dialogue: 0,0:04:39.12,0:04:39.35,Default,,0000,0000,0000,,Linjen FY og linje XC er parallelle.
Dialogue: 0,0:04:39.36,0:04:41.98,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:04:41.99,0:04:46.74,Default,,0000,0000,0000,,Den her er parallell med den her,
Dialogue: 0,0:04:46.75,0:04:51.49,Default,,0000,0000,0000,,og det er brukbart, fordi vi vet, at innvendige vekselvinkler
Dialogue: 0,0:04:51.50,0:04:54.70,Default,,0000,0000,0000,,av en transversal er kongruente,
Dialogue: 0,0:04:54.71,0:04:56.07,Default,,0000,0000,0000,,når en transversal skjærer to parallelle linjer.
Dialogue: 0,0:04:56.08,0:05:02.67,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet, at den her linjen, FC,
Dialogue: 0,0:05:02.68,0:05:06.74,Default,,0000,0000,0000,,er median i den store trekanten ABC.
Dialogue: 0,0:05:06.90,0:05:09.90,Default,,0000,0000,0000,,Vi har altså en linje, som skjærer to parallelle linjer,
Dialogue: 0,0:05:09.91,0:05:12.86,Default,,0000,0000,0000,,og de innvendige vekselvinklene er like.
Dialogue: 0,0:05:12.87,0:05:15.89,Default,,0000,0000,0000,,Den her vinkelen vil altså være like stor som den her vinkelen.
Dialogue: 0,0:05:15.90,0:05:24.16,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan si, at vinkel OFG og vinkel ICG er like store.
Dialogue: 0,0:05:24.17,0:05:27.72,Default,,0000,0000,0000,,Vinkel OFG og vinkel ICG er kongruente.
Dialogue: 0,0:05:27.73,0:05:34.14,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet også en annen ting om det her.
Dialogue: 0,0:05:34.15,0:05:38.28,Default,,0000,0000,0000,,Den andre tingen, vi vet er,
Dialogue: 0,0:05:38.29,0:05:41.91,Default,,0000,0000,0000,,at sentrum i den innskrevne sirkel
Dialogue: 0,0:05:41.92,0:05:45.69,Default,,0000,0000,0000,,deler medianene opp i to deler med forholdet 2 til 1.
Dialogue: 0,0:05:45.70,0:05:47.36,Default,,0000,0000,0000,,Det her er sentrum i den innskrevne sirkel,
Dialogue: 0,0:05:47.37,0:05:50.83,Default,,0000,0000,0000,,og det punktet er 2 tredjedeler nede av medianens lengde.
Dialogue: 0,0:05:50.84,0:05:53.59,Default,,0000,0000,0000,,Vi har bevist det her i en tidligere video.
Dialogue: 0,0:05:53.60,0:06:02.33,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet, at linjestykket CG er lik med 2 ganger linjestykket GF,
Dialogue: 0,0:06:02.34,0:06:03.61,Default,,0000,0000,0000,,og kanskje det er å finne ut hva vi gjør nå.
Dialogue: 0,0:06:03.62,0:06:06.71,Default,,0000,0000,0000,,Vi har en vinkel her, og vi har vist, at forholdet mellom den her siden
Dialogue: 0,0:06:06.72,0:06:09.48,Default,,0000,0000,0000,,og den her siden er 2 til 1, og det er altså en egenskap ved sentrum av den innskrevne sirkel
Dialogue: 0,0:06:09.49,0:06:10.83,Default,,0000,0000,0000,,og medianen.
Dialogue: 0,0:06:10.84,0:06:16.85,Default,,0000,0000,0000,,Nå kan vi prøve å vise, at forholdet mellom linjestykker Ci og linjestykket FI er 2 til 1.
Dialogue: 0,0:06:16.86,0:06:20.24,Default,,0000,0000,0000,,Det vil si, at vi har to tilsvarende sider, hvor forholdet er 2 til 1,
Dialogue: 0,0:06:20.25,0:06:22.10,Default,,0000,0000,0000,,og vi har vinklene, som er kongruente.
Dialogue: 0,0:06:22.11,0:06:25.92,Default,,0000,0000,0000,,Vi kan så bruke regelen om side-vinkel-sidekongruens til å vise,
Dialogue: 0,0:06:25.93,0:06:28.57,Default,,0000,0000,0000,,at de to trekantene er formlike.
Dialogue: 0,0:06:28.58,0:06:34.18,Default,,0000,0000,0000,,Hvis vi ser på linjen CI, kan vi se, at den er lengden fra
Dialogue: 0,0:06:34.19,0:06:40.21,Default,,0000,0000,0000,,den store trekantens vinkelspiss C og til den store trekantens skjæring mellom høydene.
Dialogue: 0,0:06:40.22,0:06:41.83,Default,,0000,0000,0000,,Hva er FO?
Dialogue: 0,0:06:41.84,0:06:47.22,Default,,0000,0000,0000,,F er et tilsvarende punkt med C i midttrekanten.
Dialogue: 0,0:06:47.23,0:06:51.63,Default,,0000,0000,0000,,Vi skal sikre oss, at vi skriver formlikhet på den riktige måten.
Dialogue: 0,0:06:51.64,0:06:54.04,Default,,0000,0000,0000,,F er tilsvarende med punktet C.
Dialogue: 0,0:06:54.05,0:06:59.37,Default,,0000,0000,0000,,FO er altså lengden mellom F og midttrekanten
Dialogue: 0,0:06:59.38,0:07:03.13,Default,,0000,0000,0000,,og midttrekantens skjæring mellom høydene.
Dialogue: 0,0:07:03.14,0:07:04.81,Default,,0000,0000,0000,,Det her er lengden mellom C
Dialogue: 0,0:07:04.82,0:07:06.74,Default,,0000,0000,0000,,og skjæringen mellom høydene i den store trekanten.
Dialogue: 0,0:07:06.75,0:07:09.56,Default,,0000,0000,0000,,Det her er lengden mellom den tilsvarende
Dialogue: 0,0:07:09.57,0:07:10.99,Default,,0000,0000,0000,,siden i midttrekanten
Dialogue: 0,0:07:11.00,0:07:13.07,Default,,0000,0000,0000,,og midttrekantens skjæring mellom høydene.
Dialogue: 0,0:07:13.08,0:07:16.19,Default,,0000,0000,0000,,Det her er altså den samme tilsvarende lengden
Dialogue: 0,0:07:16.20,0:07:18.74,Default,,0000,0000,0000,,i den store trekanten og midttrekanten.
Dialogue: 0,0:07:18.75,0:07:21.82,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet allerede, at de to er formlike med forholdet 2 til 1.
Dialogue: 0,0:07:21.83,0:07:25.82,Default,,0000,0000,0000,,De tilsvarende lengdene mellom to punkter
Dialogue: 0,0:07:25.83,0:07:28.56,Default,,0000,0000,0000,,på de to trekantene vil altså ha samme størrelsesforhold.
Dialogue: 0,0:07:28.57,0:07:32.75,Default,,0000,0000,0000,,På grunn av formlikheten vet vi,
Dialogue: 0,0:07:32.76,0:07:39.50,Default,,0000,0000,0000,,at linjestykket CI er lik med 2 ganger linjestykke FO.
Dialogue: 0,0:07:39.51,0:07:43.44,Default,,0000,0000,0000,,Det skal understrekes, at C er tilsvarende med punktet F,
Dialogue: 0,0:07:43.45,0:07:46.08,Default,,0000,0000,0000,,når vi ser på de to formlike trekantene.
Dialogue: 0,0:07:46.09,0:07:48.60,Default,,0000,0000,0000,,I er skjæringen mellom høydene i den store trekanten,
Dialogue: 0,0:07:48.61,0:07:50.56,Default,,0000,0000,0000,,mens O er skjæringen mellom høydene i midttrekanten.
Dialogue: 0,0:07:50.57,0:07:52.47,Default,,0000,0000,0000,,Vi tar et tilsvarende punkt
Dialogue: 0,0:07:52.48,0:07:54.27,Default,,0000,0000,0000,,med skjæringen mellom høyden i den store trekanten
Dialogue: 0,0:07:54.28,0:07:58.32,Default,,0000,0000,0000,,og et tilsvarende punkt med skjæringen mellom høyden i midttrekanten.
Dialogue: 0,0:07:58.33,0:08:00.71,Default,,0000,0000,0000,,Trekantene er formlike med forholdet 2 til 1,
Dialogue: 0,0:08:00.72,0:08:04.93,Default,,0000,0000,0000,,så forholdet mellom den her lengden og den her lengden skal være 2 til 1.
Dialogue: 0,0:08:04.94,0:08:07.91,Default,,0000,0000,0000,,Nå har vi altså vist,
Dialogue: 0,0:08:07.92,0:08:12.38,Default,,0000,0000,0000,,at forholdet mellom den her siden og den her siden er 2 til 1.
Dialogue: 0,0:08:12.45,0:08:17.73,Default,,0000,0000,0000,,Vi har vist, at forholdet mellom den her siden og den her siden også er 2 til 1.
Dialogue: 0,0:08:17.74,0:08:20.37,Default,,0000,0000,0000,,Vi har også vist, at vinkelen mellom de er kongruent.
Dialogue: 0,0:08:20.38,0:08:24.08,Default,,0000,0000,0000,,Vinkelen mellom de er kongruent.
Dialogue: 0,0:08:24.09,0:08:26.95,Default,,0000,0000,0000,,Vi har altså med side-vinkel-side formlikhet bevist,
Dialogue: 0,0:08:26.96,0:08:33.54,Default,,0000,0000,0000,,og vi ruller litt ned på siden.
Dialogue: 0,0:08:33.55,0:08:40.11,Default,,0000,0000,0000,,Vi har med side-vinkel-side formliket bevist, at trekanten FOG
Dialogue: 0,0:08:40.12,0:08:43.36,Default,,0000,0000,0000,,og trekanten CIG er formlike.
Dialogue: 0,0:08:43.37,0:08:46.35,Default,,0000,0000,0000,,Derfor vet vi, at de er tilsvarende trekantene er kongruente.
Dialogue: 0,0:08:46.36,0:08:51.91,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet, at vinkel CIG er tilsvarende med vinkel FOG,
Dialogue: 0,0:08:51.92,0:08:57.45,Default,,0000,0000,0000,,og de er derfor kongruente.
Dialogue: 0,0:08:57.46,0:09:00.66,Default,,0000,0000,0000,,Vi skriver det like godt i ny farge.
Dialogue: 0,0:09:00.67,0:09:04.46,Default,,0000,0000,0000,,Vi vet også, at vinkel CGI er tilsvarende med vinkel OFG,
Dialogue: 0,0:09:04.47,0:09:07.27,Default,,0000,0000,0000,,og derfor er de altså også kongruente.
Dialogue: 0,0:09:07.28,0:09:09.36,Default,,0000,0000,0000,,Man kan se på det på forskjellige måter.
Dialogue: 0,0:09:09.37,0:09:12.14,Default,,0000,0000,0000,,Hvis den her vinkelen og den her vinkelen er kongruente, kan man se OI som en linje,
Dialogue: 0,0:09:12.15,0:09:15.67,Default,,0000,0000,0000,,som en transversal av de her to parallelle linjene.
Dialogue: 0,0:09:15.68,0:09:17.39,Default,,0000,0000,0000,,Det forteller oss, at det er en linje.
Dialogue: 0,0:09:17.40,0:09:18.92,Default,,0000,0000,0000,,Man kan også se på de to her,
Dialogue: 0,0:09:18.93,0:09:21.24,Default,,0000,0000,0000,,og de to vinklene er like store,
Dialogue: 0,0:09:21.25,0:09:23.07,Default,,0000,0000,0000,,så de må være toppvinkler.
Dialogue: 0,0:09:23.08,0:09:26.80,Default,,0000,0000,0000,,Derfor må det her være en og samme linje.
Dialogue: 0,0:09:26.81,0:09:29.29,Default,,0000,0000,0000,,Den vinkelen som nærmer seg medianen her,
Dialogue: 0,0:09:29.30,0:09:32.29,Default,,0000,0000,0000,,er den samme vinkelen som forlater medianen.
Dialogue: 0,0:09:32.30,0:09:35.84,Default,,0000,0000,0000,,De her er altså alle sammen på den samme linjen.
Dialogue: 0,0:09:35.85,0:09:38.31,Default,,0000,0000,0000,,Det er et ganske enkelt bevis, som stammer fra noe av det, vi har lært tidligere.
Dialogue: 0,0:09:38.32,0:09:42.26,Default,,0000,0000,0000,,Skjæringen mellom høydene,
Dialogue: 0,0:09:42.27,0:09:45.93,Default,,0000,0000,0000,,skjæringen mellom medianene og skjæringen mellom midtnormalene
Dialogue: 0,0:09:45.94,0:09:49.32,Default,,0000,0000,0000,,er alle på den samme linjen, kalt Eulerlinjen.