1 00:00:00,000 --> 00:00:04,200 I denne videoen skal vi fokusere på den store trekanten her. 2 00:00:04,210 --> 00:00:07,680 Det er trekanten ABC. 3 00:00:07,690 --> 00:00:11,690 Vi vil i denne videoen gjøre et bevis for Eulerlinjen, og for å gjøre det starter vi med å se på punktene på Eulerlinjen. 4 00:00:11,700 --> 00:00:15,020 Her er det viktig å huske, at sentrum for den omskrevne sirkel 5 00:00:15,030 --> 00:00:16,820 er skjæringspunktet mellom de tre midtnormalene i trekanten. 6 00:00:16,830 --> 00:00:21,920 Utover sentrum for den omskrevne sirkel, har vi også sentrum for den innskrevne sirkel, 7 00:00:21,930 --> 00:00:24,040 og sentrum for den innskrevne sirkel er skjæringspunktet mellom medianene. 8 00:00:24,050 --> 00:00:28,720 Til slutt har vi skjæringen mellom trekantens tre høyder. 9 00:00:28,730 --> 00:00:35,460 Alle tre punktene er på den samme linjen, Ol, som vi har her i den oransje fargen. 10 00:00:35,470 --> 00:00:39,200 Eller OG og GI er egentlig 2 linjestykker, 11 00:00:39,210 --> 00:00:44,810 som utgjør den største linjen, som er den delen av den såkalte Eulerlinjen. 12 00:00:44,820 --> 00:00:48,900 For å bevise det har vi tegnet midttrekanten her. 13 00:00:48,910 --> 00:00:53,130 Det er trekanten FED, eller den skal faktisk hete trekant DEF, 14 00:00:53,140 --> 00:00:56,760 og det er altså trekanten, hvis vi vinkelspissene er midtpunkter på den store trekantens sider. 15 00:00:56,770 --> 00:00:58,670 Vi vet allerede fler ting 16 00:00:58,680 --> 00:01:00,670 om den midterste trekanten, 17 00:01:00,680 --> 00:01:02,640 og det har vi bevist i en tidligere video. 18 00:01:02,650 --> 00:01:07,010 En ting, vi vet, er, at midttrekanten, DEF, 19 00:01:07,040 --> 00:01:11,300 og den store trekanten ABC er formlike. 20 00:01:11,310 --> 00:01:13,410 Trekanten ABC og trekanten DEF er altså formlike. 21 00:01:13,420 --> 00:01:18,000 Når de to trekantene er formlike,kan vi snakke om skalafaktoren, 22 00:01:18,010 --> 00:01:19,760 og i det her tilfelle er skalafaktoren 2 til 1. 23 00:01:19,770 --> 00:01:21,780 Det er vektig å bevise. 24 00:01:21,790 --> 00:01:24,630 Når to trekanter er formlike med en gitt skalafaktor, 25 00:01:24,640 --> 00:01:28,360 betyr det, at hvis man tar lengden av enhver av de tilsvarende delene fra de to formlike trekantene, 26 00:01:28,370 --> 00:01:32,690 så vil forholdet mellom de være 2 til 1. 27 00:01:32,700 --> 00:01:35,920 Vi har også allerede vist en annen sammenheng mellom de to trekantene. 28 00:01:35,930 --> 00:01:38,350 Den andre sammenhengen mellom midttrekanten 29 00:01:38,360 --> 00:01:40,440 og den store trekanten, som midttrekanten er i, er, 30 00:01:40,450 --> 00:01:43,590 at vi har bevist skjæringspunktet mellom høydene 31 00:01:43,600 --> 00:01:52,130 i midttrekanten. 32 00:01:52,140 --> 00:01:55,110 Vi vet allerede, at punktet O er sentrum for den omskrevne sirkel 33 00:01:55,120 --> 00:01:58,810 av den store trekanten. 34 00:01:58,820 --> 00:02:05,560 Punktet O er også skjæringspunktet mellom høydene i midttrekanten. 35 00:02:05,570 --> 00:02:06,880 Det skrev vi faktisk her. 36 00:02:06,890 --> 00:02:12,110 Punktet O er altså på den her midtnormalen. 37 00:02:12,120 --> 00:02:14,880 Vi skulle gjøre en masse annet i den her mørkegrå fargen, 38 00:02:14,890 --> 00:02:18,640 men det ville også være dumt å gjøre det for rotete. 39 00:02:18,650 --> 00:02:21,220 Det her er sentrum i den store trekantens omskrevne sirkel. 40 00:02:57,120 --> 00:03:04,560 For å bevise at OG og I er på den samme linjen 41 00:03:04,570 --> 00:03:07,030 eller det samme linjestykke, 42 00:03:07,040 --> 00:03:10,860 skal vi bevise, 43 00:03:10,870 --> 00:03:16,100 at trekanten FOG og trekanten CIG er formlike. 44 00:03:16,110 --> 00:03:19,360 Vi skal altså bevise, 45 00:03:19,370 --> 00:03:25,420 at FOG og CIG er formlike trekanter. 46 00:03:25,430 --> 00:03:29,180 . 47 00:03:29,190 --> 00:03:32,090 Hvis vi kan bevise det, vil de tilsvarende vinklene 48 00:03:32,100 --> 00:03:33,290 være like store. 49 00:03:33,300 --> 00:03:35,690 Det vil si, at den her vinkelen vil være lik den, 50 00:03:35,700 --> 00:03:36,940 der her borte. 51 00:03:36,950 --> 00:03:39,760 OI vil også være en transversal, 52 00:03:39,770 --> 00:03:42,270 fordi de to linjene her er parallelle, 53 00:03:42,280 --> 00:03:45,390 eller hvis de her to trekantene er formlike. 54 00:03:45,400 --> 00:03:47,830 Husk at vi ser på trekanten, som er her, 55 00:03:47,840 --> 00:03:49,330 og trekanten, som er her. 56 00:03:49,340 --> 00:03:51,400 Hvis de virkelig er formlike, så vil den her vinkelen 57 00:03:51,410 --> 00:03:52,780 være like stor som den her vinkelen, 58 00:03:52,790 --> 00:03:53,740 som betyr, 59 00:03:53,750 --> 00:03:56,180 at de her to faktisk er toppvinkler. 60 00:03:56,190 --> 00:03:58,970 I det her tilfelle vil det her være en riktig linje. 61 00:03:58,980 --> 00:04:01,270 La oss komme videre til beviset. 62 00:04:01,280 --> 00:04:05,550 Vi har ikke bruk for å ha de her to fremhevet mer. 63 00:04:05,560 --> 00:04:07,620 La oss komme i gang. 64 00:04:07,630 --> 00:04:12,390 Vi vet, at linjen her borte, som vi kaller XC, 65 00:04:12,400 --> 00:04:15,580 er vinkelrett på linjen AB. 66 00:04:15,590 --> 00:04:20,290 XC er en høyde, og vi vet også, at FY, som er her, 67 00:04:20,300 --> 00:04:25,320 også er vinkelrett på AB, for FY er nemlig midtnormalen. 68 00:04:25,330 --> 00:04:28,390 De danner altså begge to samme vinkel med en transversal, 69 00:04:28,400 --> 00:04:29,950 som i det her tilfelle er AB. 70 00:04:29,960 --> 00:04:33,240 De må altså være parallelle. 71 00:04:33,250 --> 00:04:39,110 VI vet derfor, at FY og XC er parallelle. 72 00:04:39,120 --> 00:04:39,350 Linjen FY og linje XC er parallelle. 73 00:04:39,360 --> 00:04:41,980 . 74 00:04:41,990 --> 00:04:46,740 Den her er parallell med den her, 75 00:04:46,750 --> 00:04:51,490 og det er brukbart, fordi vi vet, at innvendige vekselvinkler 76 00:04:51,500 --> 00:04:54,700 av en transversal er kongruente, 77 00:04:54,710 --> 00:04:56,070 når en transversal skjærer to parallelle linjer. 78 00:04:56,080 --> 00:05:02,670 Vi vet, at den her linjen, FC, 79 00:05:02,680 --> 00:05:06,740 er median i den store trekanten ABC. 80 00:05:06,900 --> 00:05:09,900 Vi har altså en linje, som skjærer to parallelle linjer, 81 00:05:09,910 --> 00:05:12,860 og de innvendige vekselvinklene er like. 82 00:05:12,870 --> 00:05:15,890 Den her vinkelen vil altså være like stor som den her vinkelen. 83 00:05:15,900 --> 00:05:24,160 Vi kan si, at vinkel OFG og vinkel ICG er like store. 84 00:05:24,170 --> 00:05:27,720 Vinkel OFG og vinkel ICG er kongruente. 85 00:05:27,730 --> 00:05:34,140 Vi vet også en annen ting om det her. 86 00:05:34,150 --> 00:05:38,280 Den andre tingen, vi vet er, 87 00:05:38,290 --> 00:05:41,910 at sentrum i den innskrevne sirkel 88 00:05:41,920 --> 00:05:45,690 deler medianene opp i to deler med forholdet 2 til 1. 89 00:05:45,700 --> 00:05:47,360 Det her er sentrum i den innskrevne sirkel, 90 00:05:47,370 --> 00:05:50,830 og det punktet er 2 tredjedeler nede av medianens lengde. 91 00:05:50,840 --> 00:05:53,590 Vi har bevist det her i en tidligere video. 92 00:05:53,600 --> 00:06:02,330 Vi vet, at linjestykket CG er lik med 2 ganger linjestykket GF, 93 00:06:02,340 --> 00:06:03,610 og kanskje det er å finne ut hva vi gjør nå. 94 00:06:03,620 --> 00:06:06,710 Vi har en vinkel her, og vi har vist, at forholdet mellom den her siden 95 00:06:06,720 --> 00:06:09,480 og den her siden er 2 til 1, og det er altså en egenskap ved sentrum av den innskrevne sirkel 96 00:06:09,490 --> 00:06:10,830 og medianen. 97 00:06:10,840 --> 00:06:16,850 Nå kan vi prøve å vise, at forholdet mellom linjestykker Ci og linjestykket FI er 2 til 1. 98 00:06:16,860 --> 00:06:20,240 Det vil si, at vi har to tilsvarende sider, hvor forholdet er 2 til 1, 99 00:06:20,250 --> 00:06:22,100 og vi har vinklene, som er kongruente. 100 00:06:22,110 --> 00:06:25,920 Vi kan så bruke regelen om side-vinkel-sidekongruens til å vise, 101 00:06:25,930 --> 00:06:28,570 at de to trekantene er formlike. 102 00:06:28,580 --> 00:06:34,180 Hvis vi ser på linjen CI, kan vi se, at den er lengden fra 103 00:06:34,190 --> 00:06:40,210 den store trekantens vinkelspiss C og til den store trekantens skjæring mellom høydene. 104 00:06:40,220 --> 00:06:41,830 Hva er FO? 105 00:06:41,840 --> 00:06:47,220 F er et tilsvarende punkt med C i midttrekanten. 106 00:06:47,230 --> 00:06:51,630 Vi skal sikre oss, at vi skriver formlikhet på den riktige måten. 107 00:06:51,640 --> 00:06:54,040 F er tilsvarende med punktet C. 108 00:06:54,050 --> 00:06:59,370 FO er altså lengden mellom F og midttrekanten 109 00:06:59,380 --> 00:07:03,130 og midttrekantens skjæring mellom høydene. 110 00:07:03,140 --> 00:07:04,810 Det her er lengden mellom C 111 00:07:04,820 --> 00:07:06,740 og skjæringen mellom høydene i den store trekanten. 112 00:07:06,750 --> 00:07:09,560 Det her er lengden mellom den tilsvarende 113 00:07:09,570 --> 00:07:10,990 siden i midttrekanten 114 00:07:11,000 --> 00:07:13,070 og midttrekantens skjæring mellom høydene. 115 00:07:13,080 --> 00:07:16,190 Det her er altså den samme tilsvarende lengden 116 00:07:16,200 --> 00:07:18,740 i den store trekanten og midttrekanten. 117 00:07:18,750 --> 00:07:21,820 Vi vet allerede, at de to er formlike med forholdet 2 til 1. 118 00:07:21,830 --> 00:07:25,820 De tilsvarende lengdene mellom to punkter 119 00:07:25,830 --> 00:07:28,560 på de to trekantene vil altså ha samme størrelsesforhold. 120 00:07:28,570 --> 00:07:32,750 På grunn av formlikheten vet vi, 121 00:07:32,760 --> 00:07:39,500 at linjestykket CI er lik med 2 ganger linjestykke FO. 122 00:07:39,510 --> 00:07:43,440 Det skal understrekes, at C er tilsvarende med punktet F, 123 00:07:43,450 --> 00:07:46,080 når vi ser på de to formlike trekantene. 124 00:07:46,090 --> 00:07:48,600 I er skjæringen mellom høydene i den store trekanten, 125 00:07:48,610 --> 00:07:50,560 mens O er skjæringen mellom høydene i midttrekanten. 126 00:07:50,570 --> 00:07:52,470 Vi tar et tilsvarende punkt 127 00:07:52,480 --> 00:07:54,270 med skjæringen mellom høyden i den store trekanten 128 00:07:54,280 --> 00:07:58,320 og et tilsvarende punkt med skjæringen mellom høyden i midttrekanten. 129 00:07:58,330 --> 00:08:00,710 Trekantene er formlike med forholdet 2 til 1, 130 00:08:00,720 --> 00:08:04,930 så forholdet mellom den her lengden og den her lengden skal være 2 til 1. 131 00:08:04,940 --> 00:08:07,910 Nå har vi altså vist, 132 00:08:07,920 --> 00:08:12,380 at forholdet mellom den her siden og den her siden er 2 til 1. 133 00:08:12,450 --> 00:08:17,730 Vi har vist, at forholdet mellom den her siden og den her siden også er 2 til 1. 134 00:08:17,740 --> 00:08:20,370 Vi har også vist, at vinkelen mellom de er kongruent. 135 00:08:20,380 --> 00:08:24,080 Vinkelen mellom de er kongruent. 136 00:08:24,090 --> 00:08:26,950 Vi har altså med side-vinkel-side formlikhet bevist, 137 00:08:26,960 --> 00:08:33,540 og vi ruller litt ned på siden. 138 00:08:33,550 --> 00:08:40,110 Vi har med side-vinkel-side formliket bevist, at trekanten FOG 139 00:08:40,120 --> 00:08:43,360 og trekanten CIG er formlike. 140 00:08:43,370 --> 00:08:46,350 Derfor vet vi, at de er tilsvarende trekantene er kongruente. 141 00:08:46,360 --> 00:08:51,910 Vi vet, at vinkel CIG er tilsvarende med vinkel FOG, 142 00:08:51,920 --> 00:08:57,450 og de er derfor kongruente. 143 00:08:57,460 --> 00:09:00,660 Vi skriver det like godt i ny farge. 144 00:09:00,670 --> 00:09:04,460 Vi vet også, at vinkel CGI er tilsvarende med vinkel OFG, 145 00:09:04,470 --> 00:09:07,270 og derfor er de altså også kongruente. 146 00:09:07,280 --> 00:09:09,360 Man kan se på det på forskjellige måter. 147 00:09:09,370 --> 00:09:12,140 Hvis den her vinkelen og den her vinkelen er kongruente, kan man se OI som en linje, 148 00:09:12,150 --> 00:09:15,670 som en transversal av de her to parallelle linjene. 149 00:09:15,680 --> 00:09:17,390 Det forteller oss, at det er en linje. 150 00:09:17,400 --> 00:09:18,920 Man kan også se på de to her, 151 00:09:18,930 --> 00:09:21,240 og de to vinklene er like store, 152 00:09:21,250 --> 00:09:23,070 så de må være toppvinkler. 153 00:09:23,080 --> 00:09:26,800 Derfor må det her være en og samme linje. 154 00:09:26,810 --> 00:09:29,290 Den vinkelen som nærmer seg medianen her, 155 00:09:29,300 --> 00:09:32,290 er den samme vinkelen som forlater medianen. 156 00:09:32,300 --> 00:09:35,840 De her er altså alle sammen på den samme linjen. 157 00:09:35,850 --> 00:09:38,310 Det er et ganske enkelt bevis, som stammer fra noe av det, vi har lært tidligere. 158 00:09:38,320 --> 00:09:42,260 Skjæringen mellom høydene, 159 00:09:42,270 --> 00:09:45,930 skjæringen mellom medianene og skjæringen mellom midtnormalene 160 00:09:45,940 --> 00:09:49,320 er alle på den samme linjen, kalt Eulerlinjen.