WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:04.200 I denne videoen skal vi fokusere på den store trekanten her. 00:00:04.210 --> 00:00:07.680 Det er trekanten ABC. 00:00:07.690 --> 00:00:11.690 Vi vil i denne videoen gjøre et bevis for Eulerlinjen, og for å gjøre det starter vi med å se på punktene på Eulerlinjen. 00:00:11.700 --> 00:00:15.020 Her er det viktig å huske, at sentrum for den omskrevne sirkel 00:00:15.030 --> 00:00:16.820 er skjæringspunktet mellom de tre midtnormalene i trekanten. 00:00:16.830 --> 00:00:21.920 Utover sentrum for den omskrevne sirkel, har vi også sentrum for den innskrevne sirkel, 00:00:21.930 --> 00:00:24.040 og sentrum for den innskrevne sirkel er skjæringspunktet mellom medianene. 00:00:24.050 --> 00:00:28.720 Til slutt har vi skjæringen mellom trekantens tre høyder. 00:00:28.730 --> 00:00:35.460 Alle tre punktene er på den samme linjen, Ol, som vi har her i den oransje fargen. 00:00:35.470 --> 00:00:39.200 Eller OG og GI er egentlig 2 linjestykker, 00:00:39.210 --> 00:00:44.810 som utgjør den største linjen, som er den delen av den såkalte Eulerlinjen. 00:00:44.820 --> 00:00:48.900 For å bevise det har vi tegnet midttrekanten her. 00:00:48.910 --> 00:00:53.130 Det er trekanten FED, eller den skal faktisk hete trekant DEF, 00:00:53.140 --> 00:00:56.760 og det er altså trekanten, hvis vi vinkelspissene er midtpunkter på den store trekantens sider. 00:00:56.770 --> 00:00:58.670 Vi vet allerede fler ting 00:00:58.680 --> 00:01:00.670 om den midterste trekanten, 00:01:00.680 --> 00:01:02.640 og det har vi bevist i en tidligere video. 00:01:02.650 --> 00:01:07.010 En ting, vi vet, er, at midttrekanten, DEF, 00:01:07.040 --> 00:01:11.300 og den store trekanten ABC er formlike. 00:01:11.310 --> 00:01:13.410 Trekanten ABC og trekanten DEF er altså formlike. 00:01:13.420 --> 00:01:18.000 Når de to trekantene er formlike,kan vi snakke om skalafaktoren, 00:01:18.010 --> 00:01:19.760 og i det her tilfelle er skalafaktoren 2 til 1. 00:01:19.770 --> 00:01:21.780 Det er vektig å bevise. 00:01:21.790 --> 00:01:24.630 Når to trekanter er formlike med en gitt skalafaktor, 00:01:24.640 --> 00:01:28.360 betyr det, at hvis man tar lengden av enhver av de tilsvarende delene fra de to formlike trekantene, 00:01:28.370 --> 00:01:32.690 så vil forholdet mellom de være 2 til 1. 00:01:32.700 --> 00:01:35.920 Vi har også allerede vist en annen sammenheng mellom de to trekantene. 00:01:35.930 --> 00:01:38.350 Den andre sammenhengen mellom midttrekanten 00:01:38.360 --> 00:01:40.440 og den store trekanten, som midttrekanten er i, er, 00:01:40.450 --> 00:01:43.590 at vi har bevist skjæringspunktet mellom høydene 00:01:43.600 --> 00:01:52.130 i midttrekanten. 00:01:52.140 --> 00:01:55.110 Vi vet allerede, at punktet O er sentrum for den omskrevne sirkel 00:01:55.120 --> 00:01:58.810 av den store trekanten. 00:01:58.820 --> 00:02:05.560 Punktet O er også skjæringspunktet mellom høydene i midttrekanten. 00:02:05.570 --> 00:02:06.880 Det skrev vi faktisk her. 00:02:06.890 --> 00:02:12.110 Punktet O er altså på den her midtnormalen. 00:02:12.120 --> 00:02:14.880 Vi skulle gjøre en masse annet i den her mørkegrå fargen, 00:02:14.890 --> 00:02:18.640 men det ville også være dumt å gjøre det for rotete. 00:02:18.650 --> 00:02:21.220 Det her er sentrum i den store trekantens omskrevne sirkel. 00:02:57.120 --> 00:03:04.560 For å bevise at OG og I er på den samme linjen 00:03:04.570 --> 00:03:07.030 eller det samme linjestykke, 00:03:07.040 --> 00:03:10.860 skal vi bevise, 00:03:10.870 --> 00:03:16.100 at trekanten FOG og trekanten CIG er formlike. 00:03:16.110 --> 00:03:19.360 Vi skal altså bevise, 00:03:19.370 --> 00:03:25.420 at FOG og CIG er formlike trekanter. 00:03:25.430 --> 00:03:29.180 . 00:03:29.190 --> 00:03:32.090 Hvis vi kan bevise det, vil de tilsvarende vinklene 00:03:32.100 --> 00:03:33.290 være like store. 00:03:33.300 --> 00:03:35.690 Det vil si, at den her vinkelen vil være lik den, 00:03:35.700 --> 00:03:36.940 der her borte. 00:03:36.950 --> 00:03:39.760 OI vil også være en transversal, 00:03:39.770 --> 00:03:42.270 fordi de to linjene her er parallelle, 00:03:42.280 --> 00:03:45.390 eller hvis de her to trekantene er formlike. 00:03:45.400 --> 00:03:47.830 Husk at vi ser på trekanten, som er her, 00:03:47.840 --> 00:03:49.330 og trekanten, som er her. 00:03:49.340 --> 00:03:51.400 Hvis de virkelig er formlike, så vil den her vinkelen 00:03:51.410 --> 00:03:52.780 være like stor som den her vinkelen, 00:03:52.790 --> 00:03:53.740 som betyr, 00:03:53.750 --> 00:03:56.180 at de her to faktisk er toppvinkler. 00:03:56.190 --> 00:03:58.970 I det her tilfelle vil det her være en riktig linje. 00:03:58.980 --> 00:04:01.270 La oss komme videre til beviset. 00:04:01.280 --> 00:04:05.550 Vi har ikke bruk for å ha de her to fremhevet mer. 00:04:05.560 --> 00:04:07.620 La oss komme i gang. 00:04:07.630 --> 00:04:12.390 Vi vet, at linjen her borte, som vi kaller XC, 00:04:12.400 --> 00:04:15.580 er vinkelrett på linjen AB. 00:04:15.590 --> 00:04:20.290 XC er en høyde, og vi vet også, at FY, som er her, 00:04:20.300 --> 00:04:25.320 også er vinkelrett på AB, for FY er nemlig midtnormalen. 00:04:25.330 --> 00:04:28.390 De danner altså begge to samme vinkel med en transversal, 00:04:28.400 --> 00:04:29.950 som i det her tilfelle er AB. 00:04:29.960 --> 00:04:33.240 De må altså være parallelle. 00:04:33.250 --> 00:04:39.110 VI vet derfor, at FY og XC er parallelle. 00:04:39.120 --> 00:04:39.350 Linjen FY og linje XC er parallelle. 00:04:39.360 --> 00:04:41.980 . 00:04:41.990 --> 00:04:46.740 Den her er parallell med den her, 00:04:46.750 --> 00:04:51.490 og det er brukbart, fordi vi vet, at innvendige vekselvinkler 00:04:51.500 --> 00:04:54.700 av en transversal er kongruente, 00:04:54.710 --> 00:04:56.070 når en transversal skjærer to parallelle linjer. 00:04:56.080 --> 00:05:02.670 Vi vet, at den her linjen, FC, 00:05:02.680 --> 00:05:06.740 er median i den store trekanten ABC. 00:05:06.900 --> 00:05:09.900 Vi har altså en linje, som skjærer to parallelle linjer, 00:05:09.910 --> 00:05:12.860 og de innvendige vekselvinklene er like. 00:05:12.870 --> 00:05:15.890 Den her vinkelen vil altså være like stor som den her vinkelen. 00:05:15.900 --> 00:05:24.160 Vi kan si, at vinkel OFG og vinkel ICG er like store. 00:05:24.170 --> 00:05:27.720 Vinkel OFG og vinkel ICG er kongruente. 00:05:27.730 --> 00:05:34.140 Vi vet også en annen ting om det her. 00:05:34.150 --> 00:05:38.280 Den andre tingen, vi vet er, 00:05:38.290 --> 00:05:41.910 at sentrum i den innskrevne sirkel 00:05:41.920 --> 00:05:45.690 deler medianene opp i to deler med forholdet 2 til 1. 00:05:45.700 --> 00:05:47.360 Det her er sentrum i den innskrevne sirkel, 00:05:47.370 --> 00:05:50.830 og det punktet er 2 tredjedeler nede av medianens lengde. 00:05:50.840 --> 00:05:53.590 Vi har bevist det her i en tidligere video. 00:05:53.600 --> 00:06:02.330 Vi vet, at linjestykket CG er lik med 2 ganger linjestykket GF, 00:06:02.340 --> 00:06:03.610 og kanskje det er å finne ut hva vi gjør nå. 00:06:03.620 --> 00:06:06.710 Vi har en vinkel her, og vi har vist, at forholdet mellom den her siden 00:06:06.720 --> 00:06:09.480 og den her siden er 2 til 1, og det er altså en egenskap ved sentrum av den innskrevne sirkel 00:06:09.490 --> 00:06:10.830 og medianen. 00:06:10.840 --> 00:06:16.850 Nå kan vi prøve å vise, at forholdet mellom linjestykker Ci og linjestykket FI er 2 til 1. 00:06:16.860 --> 00:06:20.240 Det vil si, at vi har to tilsvarende sider, hvor forholdet er 2 til 1, 00:06:20.250 --> 00:06:22.100 og vi har vinklene, som er kongruente. 00:06:22.110 --> 00:06:25.920 Vi kan så bruke regelen om side-vinkel-sidekongruens til å vise, 00:06:25.930 --> 00:06:28.570 at de to trekantene er formlike. 00:06:28.580 --> 00:06:34.180 Hvis vi ser på linjen CI, kan vi se, at den er lengden fra 00:06:34.190 --> 00:06:40.210 den store trekantens vinkelspiss C og til den store trekantens skjæring mellom høydene. 00:06:40.220 --> 00:06:41.830 Hva er FO? 00:06:41.840 --> 00:06:47.220 F er et tilsvarende punkt med C i midttrekanten. 00:06:47.230 --> 00:06:51.630 Vi skal sikre oss, at vi skriver formlikhet på den riktige måten. 00:06:51.640 --> 00:06:54.040 F er tilsvarende med punktet C. 00:06:54.050 --> 00:06:59.370 FO er altså lengden mellom F og midttrekanten 00:06:59.380 --> 00:07:03.130 og midttrekantens skjæring mellom høydene. 00:07:03.140 --> 00:07:04.810 Det her er lengden mellom C 00:07:04.820 --> 00:07:06.740 og skjæringen mellom høydene i den store trekanten. 00:07:06.750 --> 00:07:09.560 Det her er lengden mellom den tilsvarende 00:07:09.570 --> 00:07:10.990 siden i midttrekanten 00:07:11.000 --> 00:07:13.070 og midttrekantens skjæring mellom høydene. 00:07:13.080 --> 00:07:16.190 Det her er altså den samme tilsvarende lengden 00:07:16.200 --> 00:07:18.740 i den store trekanten og midttrekanten. 00:07:18.750 --> 00:07:21.820 Vi vet allerede, at de to er formlike med forholdet 2 til 1. 00:07:21.830 --> 00:07:25.820 De tilsvarende lengdene mellom to punkter 00:07:25.830 --> 00:07:28.560 på de to trekantene vil altså ha samme størrelsesforhold. 00:07:28.570 --> 00:07:32.750 På grunn av formlikheten vet vi, 00:07:32.760 --> 00:07:39.500 at linjestykket CI er lik med 2 ganger linjestykke FO. 00:07:39.510 --> 00:07:43.440 Det skal understrekes, at C er tilsvarende med punktet F, 00:07:43.450 --> 00:07:46.080 når vi ser på de to formlike trekantene. 00:07:46.090 --> 00:07:48.600 I er skjæringen mellom høydene i den store trekanten, 00:07:48.610 --> 00:07:50.560 mens O er skjæringen mellom høydene i midttrekanten. 00:07:50.570 --> 00:07:52.470 Vi tar et tilsvarende punkt 00:07:52.480 --> 00:07:54.270 med skjæringen mellom høyden i den store trekanten 00:07:54.280 --> 00:07:58.320 og et tilsvarende punkt med skjæringen mellom høyden i midttrekanten. 00:07:58.330 --> 00:08:00.710 Trekantene er formlike med forholdet 2 til 1, 00:08:00.720 --> 00:08:04.930 så forholdet mellom den her lengden og den her lengden skal være 2 til 1. 00:08:04.940 --> 00:08:07.910 Nå har vi altså vist, 00:08:07.920 --> 00:08:12.380 at forholdet mellom den her siden og den her siden er 2 til 1. 00:08:12.450 --> 00:08:17.730 Vi har vist, at forholdet mellom den her siden og den her siden også er 2 til 1. 00:08:17.740 --> 00:08:20.370 Vi har også vist, at vinkelen mellom de er kongruent. 00:08:20.380 --> 00:08:24.080 Vinkelen mellom de er kongruent. 00:08:24.090 --> 00:08:26.950 Vi har altså med side-vinkel-side formlikhet bevist, 00:08:26.960 --> 00:08:33.540 og vi ruller litt ned på siden. 00:08:33.550 --> 00:08:40.110 Vi har med side-vinkel-side formliket bevist, at trekanten FOG 00:08:40.120 --> 00:08:43.360 og trekanten CIG er formlike. 00:08:43.370 --> 00:08:46.350 Derfor vet vi, at de er tilsvarende trekantene er kongruente. 00:08:46.360 --> 00:08:51.910 Vi vet, at vinkel CIG er tilsvarende med vinkel FOG, 00:08:51.920 --> 00:08:57.450 og de er derfor kongruente. 00:08:57.460 --> 00:09:00.660 Vi skriver det like godt i ny farge. 00:09:00.670 --> 00:09:04.460 Vi vet også, at vinkel CGI er tilsvarende med vinkel OFG, 00:09:04.470 --> 00:09:07.270 og derfor er de altså også kongruente. 00:09:07.280 --> 00:09:09.360 Man kan se på det på forskjellige måter. 00:09:09.370 --> 00:09:12.140 Hvis den her vinkelen og den her vinkelen er kongruente, kan man se OI som en linje, 00:09:12.150 --> 00:09:15.670 som en transversal av de her to parallelle linjene. 00:09:15.680 --> 00:09:17.390 Det forteller oss, at det er en linje. 00:09:17.400 --> 00:09:18.920 Man kan også se på de to her, 00:09:18.930 --> 00:09:21.240 og de to vinklene er like store, 00:09:21.250 --> 00:09:23.070 så de må være toppvinkler. 00:09:23.080 --> 00:09:26.800 Derfor må det her være en og samme linje. 00:09:26.810 --> 00:09:29.290 Den vinkelen som nærmer seg medianen her, 00:09:29.300 --> 00:09:32.290 er den samme vinkelen som forlater medianen. 00:09:32.300 --> 00:09:35.840 De her er altså alle sammen på den samme linjen. 00:09:35.850 --> 00:09:38.310 Det er et ganske enkelt bevis, som stammer fra noe av det, vi har lært tidligere. 00:09:38.320 --> 00:09:42.260 Skjæringen mellom høydene, 00:09:42.270 --> 00:09:45.930 skjæringen mellom medianene og skjæringen mellom midtnormalene 00:09:45.940 --> 00:09:49.320 er alle på den samme linjen, kalt Eulerlinjen.