Introduction to matrices

What a matrix is. How to add and subtract them.

现在让我们来学习一下矩阵。我们先要了解，到底一般意义上的矩阵是什么？

所谓一般意义上的矩阵，就是任意矩阵的统称。

其实矩阵这个词，你听到得更多的地方可能是好莱坞电影而不是数学。

到底什么是矩阵呢？其实很简单。

矩阵就是一个由数字组成的表。这就是矩阵的定义。

让我画一个矩阵

我不喜欢这个牙膏一样的蓝色，让我选个别的颜色好了。

这就是一个矩阵的例子。我随意选几个数填进去。

5，1，2，3，0，-5。这就组成了一个矩阵

所以我说矩阵就是一个数字组成的表。如果要用一个符号代表矩阵

我们通常用一个大写字母表示。比如说，A

有些书喜欢将这个字母加粗。像这样，一个加粗的A表示一个矩阵

习惯上，他们会叫这个矩阵

或者我们也会叫这个矩阵：2乘3矩阵

有的人喜欢在字母下面注明2x3

那到底2代表什么，3又代表什么呢？

2代表的是行数。我们有一行，两行。这是一行，这是另一行。

我们有3列：1，2，3

所以我们叫这个矩阵A做2乘3矩阵。

再比如说有矩阵B，让我把字母加粗。

我们说B是一个5乘2矩阵，那就是说，

让我填几个数字：1，2，0，-5，10

那么它就有5行了，然后它有两列

我把第2列填上数字：-10，3

我的数都是随意填的，7，2，π

这就组成了一个5乘2矩阵

我想你现在已经明白了矩阵是一个数字表了

你也可以用符号的形式表示矩阵

你用一个粗体的大写字母表示矩阵，你也可以在这里注明2x3

如果你想引用矩阵的一个元素

比如在上面这个例子里，也就是矩阵A

如果某人想引用，矩阵的这个元素

怎么办？这是第2行，这个元素在第2行里

它也在第2列里

这是第1列，第2列。第1行，第2行

很明显它的位置是在第2行，第2列

通常人们会写A，方括号

2，逗号，2，等于0

有的人也会写小写a

然后在下标写2，逗号，2，等于0

a是什么？a和A其实是一样的。

我只是列出不同的表示方法而已

说白了其实就是个符号。

那么，a，1，逗号，3，表示的是哪个元素呢？

这个位置在第1行，第3列

第1行；1，2，3，就是这个位置的元素

这个元素等于2

这就是一个矩阵的表示方法

矩阵是一个数字表，这样表示

我们也可以用不同的方法表示

你也许会问

一个数字表，有个有趣的名字和有趣的表示方法

有什么用呢？

这个问题很有趣。

矩阵是一种数据的表示形式。就是记录数据的一个方法而已。

仅此而已。它的本质就是一个数字表。

但是，我们可以用它表示一组现象

如果你在上代数1和代数2的课

你也许已经用矩阵表示过线性方程组了

以后我们就会学到，我会用一系列的视频

来解释矩阵在很多不同问题上的应用

比如，在计算机图形方面，矩阵是一个强大的工具

矩阵的元素可以用来代表屏幕上的像素

可以代表坐标空间里的点

还可以表示……天知道！

数不清的东西都可以用矩阵表示

重要的是，我们要了解矩阵并不是

一个自然现象。

它跟许多我们知道的数学概念不一样。

它是表示数学概念的一个方式

或者说，表述值的一个方式。

你要自己定义它表示的是什么

让我们把矩阵表示的具体内容这个问题

暂时搁置一下

然后……哦，我太太进来了，她在找我们的文件柜

回到我们的话题

让我们暂时搁置矩阵表示的具体内容

来学一些传统的东西

我认为，至少在一开始的时候，这个部分很难。

矩阵怎么相加？

矩阵怎么相乘？怎么求逆矩阵？

怎么解行列式？

这些名称你很可能还不熟悉

除非你已经在以前的代数课里搞懂了

现在，我就来教给你们这些东西

它们都是人为规定的。

在以后，我会有一系列视频讲述这些规定的意义

和它们的本质。

假设我想将这个两个矩阵加起来

第一个矩阵，让我换一下颜色

我会写相对小的矩阵，节约空间

有一个矩阵，3，-1，

2，0，让我们叫这个矩阵A

再有矩阵B，我会随意填上一些数

矩阵B有：-7，2，3，5

现在的问题是，矩阵A

就像在课本里，我把字母加粗

加上矩阵B等于什么？我把两个矩阵相加，

这是人为规定的。人们规定的矩阵如何相加。

他们本来可以定义另外一种相加的方式，但是，他们说

我们想让矩阵以我将要描述的方式相加

因为这对一类问题很有用

当你把两个矩阵相加的时候，你实际上是要

把两个矩阵想对应的元素相加。这是怎么实现的呢？

你把第一个矩阵里第1行第1列的元素

和第二个矩阵里第1行第1列的元素相加

在这个例子里，就是3+(-7)

这就得到了和矩阵位置(1,1)上的元素。同理，第1行第2列的元素

将等于-1+2

我把它们用括号括起来

表示这是不同的元素。如此类推

这个元素是2+3。这个最后的元素是0+5

最终结果是什么？3+（-7），等于-4

-1+2，等于1。2+3，等于5

0+5，等于5。这样我们就得到了最终结果，我们定义的矩阵加法的结果。

根据这个定义，你可以类推

B+A也是一样的。接下来我们要考虑，

现在不是在做数字的加法。我们知道，1加2和2加1结果是一样的。

或者说，任意两个数，相加的顺序不会影响结果。

但对于矩阵，这不是那么明显。我现在要告诉你的是，根据我们定义的矩阵加法

A加B和B加A结果也是一样的。

如果我们做B加A，这里变成(-7)+3

这里变成2+(-1)。得到的结果是一样的。

这就是矩阵加法。

仔细想一下就会知道，矩阵减法，也是一样的。

我们……我还是举个例子好了。A减B等于什么？

这是个大写B，因为它代表一个矩阵

所以我把它加粗了。这等价于

矩阵A加上，-1乘以矩阵B。矩阵B等于

-7，2，3，5。当矩阵乘以一个标量

简单的说，矩阵乘以一个数

结果等于矩阵里的每个元素乘以这个数

因此，这等于A，矩阵A，加上矩阵

这里我们把每个元素都乘以(-1)，得到

7，-2，-3，5。然后我们

重复上面的步骤。

这等于，A在这里，所以

3+7等于10，(-1)+(-2)等于(-3)，

2+(-3)等于(-1)，最后0+5等于5

你也可以不按照这样的步骤做

你可以直接用这些元素减去对应的这些元素

得到的结果是一样的。

我上面这样做是为了说明

标量，或者说数值，乘以一个矩阵

等于矩阵里的元素逐个乘以这个数

接下来，根据矩阵加法的定义，我们还能知道什么？

根据定义的相加方式

我们知道相加的两个矩阵必须有相同的尺寸。例如

你可以把这两个矩阵相加。你可以加元素

1，2，3，4，5，6，7，8，9，到第一个矩阵

元素-10，-100，-1000

注意这些数字都是我随意填的，1，0，0，1，0，1

到第二个矩阵

因为这两个矩阵有相同的行数和列数

如果你要把他们加在一起，第1行元素就是1+(-10)

等于-9。2+(-100)，等于-98

我想你已经明白了。你算出3行3列共9个元素。

但是，你不能把这样两个矩阵加在一起，比如

让我们换个颜色，和前面区别开来

你不能加这个蓝色的矩阵

-3，2，到这个矩阵，9，7

为什么它们不能相加呢？

原因是，它们没有对应的元素可加

这个矩阵是1行2列，也就是是1×2

而这个是2×1，他们的维数不匹配

因此，我们也不能对这两个矩阵做加法或减法

补充一点，当一个矩阵有一个维度是1

比如说，只有1行和许多列

这个矩阵也叫做行向量

一个向量本质上是一个一维矩阵

因为其中一个维度是1。所以这个矩阵是个行向量

而这边这个矩阵是个列向量。向量是你要记住的一个常用术语。

如果你要学线性代数和微积分

你的教授会经常使用这些术语，所以你最好先熟悉一下。

不知不觉，我已经说了11分钟了，下章再见。