WEBVTT

00:00:01.300 --> 00:00:06.800
现在让我们来学习一下矩阵。我们先要了解，到底一般意义上的矩阵是什么？

00:00:06.800 --> 00:00:10.400
所谓一般意义上的矩阵，就是任意矩阵的统称。

00:00:10.400 --> 00:00:15.700
其实矩阵这个词，你听到得更多的地方可能是好莱坞电影而不是数学。

00:00:15.700 --> 00:00:20.900
到底什么是矩阵呢？其实很简单。

00:00:20.900 --> 00:00:24.500
矩阵就是一个由数字组成的表。这就是矩阵的定义。

00:00:24.500 --> 00:00:27.800
让我画一个矩阵

00:00:27.800 --> 00:00:30.300
我不喜欢这个牙膏一样的蓝色，让我选个别的颜色好了。

00:00:30.300 --> 00:00:37.600
这就是一个矩阵的例子。我随意选几个数填进去。

00:00:37.600 --> 00:00:46.000
5，1，2，3，0，-5。这就组成了一个矩阵

00:00:46.000 --> 00:00:51.500
所以我说矩阵就是一个数字组成的表。如果要用一个符号代表矩阵

00:00:51.500 --> 00:00:54.600
我们通常用一个大写字母表示。比如说，A

00:00:54.600 --> 00:01:00.100
有些书喜欢将这个字母加粗。像这样，一个加粗的A表示一个矩阵

00:01:00.100 --> 00:01:04.500
习惯上，他们会叫这个矩阵

00:01:04.500 --> 00:01:10.100
或者我们也会叫这个矩阵：2乘3矩阵

00:01:10.100 --> 00:01:16.500
有的人喜欢在字母下面注明2x3

00:01:16.500 --> 00:01:18.400
那到底2代表什么，3又代表什么呢？

00:01:18.400 --> 00:01:23.200
2代表的是行数。我们有一行，两行。这是一行，这是另一行。

00:01:23.200 --> 00:01:26.300
我们有3列：1，2，3

00:01:26.300 --> 00:01:28.500
所以我们叫这个矩阵A做2乘3矩阵。

00:01:28.500 --> 00:01:34.200
再比如说有矩阵B，让我把字母加粗。

00:01:34.200 --> 00:01:42.677
我们说B是一个5乘2矩阵，那就是说，

00:01:42.677 --> 00:01:46.892
让我填几个数字：1，2，0，-5，10

00:01:49.300 --> 00:01:52.600
那么它就有5行了，然后它有两列

00:01:52.600 --> 00:01:56.000
我把第2列填上数字：-10，3

00:01:56.000 --> 00:02:04.100
我的数都是随意填的，7，2，π

00:02:04.100 --> 00:02:07.000
这就组成了一个5乘2矩阵

00:02:07.000 --> 00:02:11.700
我想你现在已经明白了矩阵是一个数字表了

00:02:11.700 --> 00:02:15.000
你也可以用符号的形式表示矩阵

00:02:15.000 --> 00:02:19.100
你用一个粗体的大写字母表示矩阵，你也可以在这里注明2x3

00:02:19.100 --> 00:02:22.700
如果你想引用矩阵的一个元素

00:02:22.700 --> 00:02:26.300
比如在上面这个例子里，也就是矩阵A

00:02:26.300 --> 00:02:32.600
如果某人想引用，矩阵的这个元素

00:02:32.600 --> 00:02:37.400
怎么办？这是第2行，这个元素在第2行里

00:02:37.400 --> 00:02:39.100
它也在第2列里

00:02:39.100 --> 00:02:42.500
这是第1列，第2列。第1行，第2行

00:02:42.500 --> 00:02:45.100
很明显它的位置是在第2行，第2列

00:02:45.100 --> 00:02:51.900
通常人们会写A，方括号

00:02:51.900 --> 00:02:58.500
2，逗号，2，等于0

00:02:58.500 --> 00:03:02.100
有的人也会写小写a

00:03:02.100 --> 00:03:07.100
然后在下标写2，逗号，2，等于0

00:03:07.100 --> 00:03:11.700
a是什么？a和A其实是一样的。

00:03:11.700 --> 00:03:14.200
我只是列出不同的表示方法而已

00:03:14.200 --> 00:03:16.100
说白了其实就是个符号。

00:03:16.100 --> 00:03:21.800
那么，a，1，逗号，3，表示的是哪个元素呢？

00:03:21.800 --> 00:03:24.600
这个位置在第1行，第3列

00:03:24.600 --> 00:03:27.600
第1行；1，2，3，就是这个位置的元素

00:03:27.600 --> 00:03:29.200
这个元素等于2

00:03:29.200 --> 00:03:32.100
这就是一个矩阵的表示方法

00:03:32.100 --> 00:03:34.100
矩阵是一个数字表，这样表示

00:03:34.100 --> 00:03:37.000
我们也可以用不同的方法表示

00:03:37.000 --> 00:03:38.300
你也许会问

00:03:38.300 --> 00:03:41.600
一个数字表，有个有趣的名字和有趣的表示方法

00:03:41.600 --> 00:03:44.200
有什么用呢？

00:03:44.212 --> 00:03:46.100
这个问题很有趣。

00:03:46.100 --> 00:03:51.600
矩阵是一种数据的表示形式。就是记录数据的一个方法而已。

00:03:51.600 --> 00:03:53.600
仅此而已。它的本质就是一个数字表。

00:03:53.600 --> 00:03:57.800
但是，我们可以用它表示一组现象

00:03:57.800 --> 00:04:01.500
如果你在上代数1和代数2的课

00:04:01.500 --> 00:04:03.600
你也许已经用矩阵表示过线性方程组了

00:04:03.600 --> 00:04:07.854
以后我们就会学到，我会用一系列的视频

00:04:07.869 --> 00:04:10.600
来解释矩阵在很多不同问题上的应用

00:04:10.600 --> 00:04:14.500
比如，在计算机图形方面，矩阵是一个强大的工具

00:04:14.500 --> 00:04:19.100
矩阵的元素可以用来代表屏幕上的像素

00:04:19.100 --> 00:04:21.400
可以代表坐标空间里的点

00:04:21.400 --> 00:04:23.000
还可以表示……天知道！

00:04:23.000 --> 00:04:24.900
数不清的东西都可以用矩阵表示

00:04:24.900 --> 00:04:27.600
重要的是，我们要了解矩阵并不是

00:04:27.600 --> 00:04:30.500
一个自然现象。

00:04:30.500 --> 00:04:34.700
它跟许多我们知道的数学概念不一样。

00:04:34.700 --> 00:04:37.700
它是表示数学概念的一个方式

00:04:37.700 --> 00:04:40.400
或者说，表述值的一个方式。

00:04:40.400 --> 00:04:43.000
你要自己定义它表示的是什么

00:04:43.000 --> 00:04:44.700
让我们把矩阵表示的具体内容这个问题

00:04:44.700 --> 00:04:48.300
暂时搁置一下

00:04:48.300 --> 00:04:52.200
然后……哦，我太太进来了，她在找我们的文件柜

00:04:52.200 --> 00:04:54.500
回到我们的话题

00:04:54.500 --> 00:04:57.100
让我们暂时搁置矩阵表示的具体内容

00:04:57.100 --> 00:04:59.400
来学一些传统的东西

00:04:59.400 --> 00:05:02.200
我认为，至少在一开始的时候，这个部分很难。

00:05:02.200 --> 00:05:04.015
矩阵怎么相加？

00:05:04.015 --> 00:05:06.408
矩阵怎么相乘？怎么求逆矩阵？

00:05:06.408 --> 00:05:09.069
怎么解行列式？

00:05:09.069 --> 00:05:11.400
这些名称你很可能还不熟悉

00:05:11.400 --> 00:05:13.700
除非你已经在以前的代数课里搞懂了

00:05:13.700 --> 00:05:15.900
现在，我就来教给你们这些东西

00:05:15.900 --> 00:05:18.400
它们都是人为规定的。

00:05:18.400 --> 00:05:22.700
在以后，我会有一系列视频讲述这些规定的意义

00:05:22.700 --> 00:05:26.700
和它们的本质。

00:05:26.700 --> 00:05:29.700
假设我想将这个两个矩阵加起来

00:05:29.700 --> 00:05:33.600
第一个矩阵，让我换一下颜色

00:05:33.600 --> 00:05:37.700
我会写相对小的矩阵，节约空间

00:05:37.700 --> 00:05:42.500
有一个矩阵，3，-1，

00:05:42.500 --> 00:05:49.100
2，0，让我们叫这个矩阵A

00:05:49.100 --> 00:05:54.400
再有矩阵B，我会随意填上一些数

00:05:54.400 --> 00:06:06.300
矩阵B有：-7，2，3，5

00:06:06.300 --> 00:06:14.000
现在的问题是，矩阵A

00:06:14.000 --> 00:06:16.300
就像在课本里，我把字母加粗

00:06:16.300 --> 00:06:21.700
加上矩阵B等于什么？我把两个矩阵相加，

00:06:21.700 --> 00:06:25.700
这是人为规定的。人们规定的矩阵如何相加。

00:06:25.700 --> 00:06:27.500
他们本来可以定义另外一种相加的方式，但是，他们说

00:06:27.500 --> 00:06:29.846
我们想让矩阵以我将要描述的方式相加

00:06:29.846 --> 00:06:32.500
因为这对一类问题很有用

00:06:32.500 --> 00:06:35.000
当你把两个矩阵相加的时候，你实际上是要

00:06:35.000 --> 00:06:40.000
把两个矩阵想对应的元素相加。这是怎么实现的呢？

00:06:40.000 --> 00:06:43.000
你把第一个矩阵里第1行第1列的元素

00:06:43.000 --> 00:06:46.100
和第二个矩阵里第1行第1列的元素相加

00:06:46.100 --> 00:06:50.500
在这个例子里，就是3+(-7)

00:06:50.500 --> 00:06:55.000
这就得到了和矩阵位置(1,1)上的元素。同理，第1行第2列的元素

00:06:55.000 --> 00:06:58.608
将等于-1+2

00:06:58.608 --> 00:07:01.700
我把它们用括号括起来

00:07:01.700 --> 00:07:05.400
表示这是不同的元素。如此类推

00:07:05.400 --> 00:07:20.700
这个元素是2+3。这个最后的元素是0+5

00:07:20.700 --> 00:07:26.700
最终结果是什么？3+（-7），等于-4

00:07:26.700 --> 00:07:32.000
-1+2，等于1。2+3，等于5

00:07:32.000 --> 00:07:39.800
0+5，等于5。这样我们就得到了最终结果，我们定义的矩阵加法的结果。

00:07:39.800 --> 00:07:43.200
根据这个定义，你可以类推

00:07:43.200 --> 00:07:49.100
B+A也是一样的。接下来我们要考虑，

00:07:49.100 --> 00:07:53.000
现在不是在做数字的加法。我们知道，1加2和2加1结果是一样的。

00:07:53.000 --> 00:07:56.700
或者说，任意两个数，相加的顺序不会影响结果。

00:07:56.700 --> 00:07:59.900
但对于矩阵，这不是那么明显。我现在要告诉你的是，根据我们定义的矩阵加法

00:07:59.900 --> 00:08:03.700
A加B和B加A结果也是一样的。

00:08:03.700 --> 00:08:06.600
如果我们做B加A，这里变成(-7)+3

00:08:06.600 --> 00:08:10.100
这里变成2+(-1)。得到的结果是一样的。

00:08:10.100 --> 00:08:11.900
这就是矩阵加法。

00:08:11.900 --> 00:08:15.300
仔细想一下就会知道，矩阵减法，也是一样的。

00:08:15.300 --> 00:08:21.592
我们……我还是举个例子好了。A减B等于什么？

00:08:27.038 --> 00:08:32.300
这是个大写B，因为它代表一个矩阵

00:08:32.300 --> 00:08:34.800
所以我把它加粗了。这等价于

00:08:34.800 --> 00:08:42.800
矩阵A加上，-1乘以矩阵B。矩阵B等于

00:08:42.800 --> 00:08:47.800
-7，2，3，5。当矩阵乘以一个标量

00:08:47.800 --> 00:08:50.400
简单的说，矩阵乘以一个数

00:08:50.400 --> 00:08:52.700
结果等于矩阵里的每个元素乘以这个数

00:08:52.700 --> 00:08:58.400
因此，这等于A，矩阵A，加上矩阵

00:08:58.400 --> 00:09:02.400
这里我们把每个元素都乘以(-1)，得到

00:09:02.400 --> 00:09:08.400
7，-2，-3，5。然后我们

00:09:08.400 --> 00:09:11.700
重复上面的步骤。

00:09:11.700 --> 00:09:15.800
这等于，A在这里，所以

00:09:15.800 --> 00:09:21.200
3+7等于10，(-1)+(-2)等于(-3)，

00:09:21.200 --> 00:09:28.900
2+(-3)等于(-1)，最后0+5等于5

00:09:28.900 --> 00:09:31.600
你也可以不按照这样的步骤做

00:09:31.600 --> 00:09:33.800
你可以直接用这些元素减去对应的这些元素

00:09:33.800 --> 00:09:35.200
得到的结果是一样的。

00:09:35.200 --> 00:09:38.500
我上面这样做是为了说明

00:09:38.500 --> 00:09:41.300
标量，或者说数值，乘以一个矩阵

00:09:41.300 --> 00:09:46.600
等于矩阵里的元素逐个乘以这个数

00:09:46.600 --> 00:09:50.900
接下来，根据矩阵加法的定义，我们还能知道什么？

00:09:50.900 --> 00:09:54.200
根据定义的相加方式

00:09:54.200 --> 00:09:58.700
我们知道相加的两个矩阵必须有相同的尺寸。例如

00:09:58.700 --> 00:10:01.100
你可以把这两个矩阵相加。你可以加元素

00:10:01.100 --> 00:10:08.500
1，2，3，4，5，6，7，8，9，到第一个矩阵

00:10:08.500 --> 00:10:14.500
元素-10，-100，-1000

00:10:14.500 --> 00:10:20.100
注意这些数字都是我随意填的，1，0，0，1，0，1

00:10:20.100 --> 00:10:21.800
到第二个矩阵

00:10:21.800 --> 00:10:24.900
因为这两个矩阵有相同的行数和列数

00:10:24.900 --> 00:10:30.400
如果你要把他们加在一起，第1行元素就是1+(-10)

00:10:30.400 --> 00:10:34.400
等于-9。2+(-100)，等于-98

00:10:34.400 --> 00:10:39.500
我想你已经明白了。你算出3行3列共9个元素。

00:10:39.500 --> 00:10:44.800
但是，你不能把这样两个矩阵加在一起，比如

00:10:44.800 --> 00:10:48.600
让我们换个颜色，和前面区别开来

00:10:48.600 --> 00:10:52.500
你不能加这个蓝色的矩阵

00:10:52.500 --> 00:11:03.400
-3，2，到这个矩阵，9，7

00:11:03.400 --> 00:11:05.100
为什么它们不能相加呢？

00:11:05.100 --> 00:11:07.700
原因是，它们没有对应的元素可加

00:11:07.700 --> 00:11:11.600
这个矩阵是1行2列，也就是是1×2

00:11:11.600 --> 00:11:15.800
而这个是2×1，他们的维数不匹配

00:11:15.800 --> 00:11:18.700
因此，我们也不能对这两个矩阵做加法或减法

00:11:18.700 --> 00:11:22.300
补充一点，当一个矩阵有一个维度是1

00:11:22.300 --> 00:11:26.800
比如说，只有1行和许多列

00:11:26.800 --> 00:11:30.200
这个矩阵也叫做行向量

00:11:30.200 --> 00:11:32.500
一个向量本质上是一个一维矩阵

00:11:32.500 --> 00:11:35.700
因为其中一个维度是1。所以这个矩阵是个行向量

00:11:35.700 --> 00:11:38.800
而这边这个矩阵是个列向量。向量是你要记住的一个常用术语。

00:11:38.800 --> 00:11:41.400
如果你要学线性代数和微积分

00:11:41.400 --> 00:11:44.200
你的教授会经常使用这些术语，所以你最好先熟悉一下。

00:11:44.200 --> 00:11:49.015
不知不觉，我已经说了11分钟了，下章再见。