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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:01.30,0:00:06.80,Default,,0000,0000,0000,,现在让我们来学习一下矩阵。我们先要了解，到底一般意义上的矩阵是什么？
Dialogue: 0,0:00:06.80,0:00:10.40,Default,,0000,0000,0000,,所谓一般意义上的矩阵，就是任意矩阵的统称。
Dialogue: 0,0:00:10.40,0:00:15.70,Default,,0000,0000,0000,,其实矩阵这个词，你听到得更多的地方可能是好莱坞电影而不是数学。
Dialogue: 0,0:00:15.70,0:00:20.90,Default,,0000,0000,0000,,到底什么是矩阵呢？其实很简单。
Dialogue: 0,0:00:20.90,0:00:24.50,Default,,0000,0000,0000,,矩阵就是一个由数字组成的表。这就是矩阵的定义。
Dialogue: 0,0:00:24.50,0:00:27.80,Default,,0000,0000,0000,,让我画一个矩阵
Dialogue: 0,0:00:27.80,0:00:30.30,Default,,0000,0000,0000,,我不喜欢这个牙膏一样的蓝色，让我选个别的颜色好了。
Dialogue: 0,0:00:30.30,0:00:37.60,Default,,0000,0000,0000,,这就是一个矩阵的例子。我随意选几个数填进去。
Dialogue: 0,0:00:37.60,0:00:46.00,Default,,0000,0000,0000,,5，1，2，3，0，-5。这就组成了一个矩阵
Dialogue: 0,0:00:46.00,0:00:51.50,Default,,0000,0000,0000,,所以我说矩阵就是一个数字组成的表。如果要用一个符号代表矩阵
Dialogue: 0,0:00:51.50,0:00:54.60,Default,,0000,0000,0000,,我们通常用一个大写字母表示。比如说，A
Dialogue: 0,0:00:54.60,0:01:00.10,Default,,0000,0000,0000,,有些书喜欢将这个字母加粗。像这样，一个加粗的A表示一个矩阵
Dialogue: 0,0:01:00.10,0:01:04.50,Default,,0000,0000,0000,,习惯上，他们会叫这个矩阵
Dialogue: 0,0:01:04.50,0:01:10.10,Default,,0000,0000,0000,,或者我们也会叫这个矩阵：2乘3矩阵
Dialogue: 0,0:01:10.10,0:01:16.50,Default,,0000,0000,0000,,有的人喜欢在字母下面注明2x3
Dialogue: 0,0:01:16.50,0:01:18.40,Default,,0000,0000,0000,,那到底2代表什么，3又代表什么呢？
Dialogue: 0,0:01:18.40,0:01:23.20,Default,,0000,0000,0000,,2代表的是行数。我们有一行，两行。这是一行，这是另一行。
Dialogue: 0,0:01:23.20,0:01:26.30,Default,,0000,0000,0000,,我们有3列：1，2，3
Dialogue: 0,0:01:26.30,0:01:28.50,Default,,0000,0000,0000,,所以我们叫这个矩阵A做2乘3矩阵。
Dialogue: 0,0:01:28.50,0:01:34.20,Default,,0000,0000,0000,,再比如说有矩阵B，让我把字母加粗。
Dialogue: 0,0:01:34.20,0:01:42.68,Default,,0000,0000,0000,,我们说B是一个5乘2矩阵，那就是说，
Dialogue: 0,0:01:42.68,0:01:46.89,Default,,0000,0000,0000,,让我填几个数字：1，2，0，-5，10
Dialogue: 0,0:01:49.30,0:01:52.60,Default,,0000,0000,0000,,那么它就有5行了，然后它有两列
Dialogue: 0,0:01:52.60,0:01:56.00,Default,,0000,0000,0000,,我把第2列填上数字：-10，3
Dialogue: 0,0:01:56.00,0:02:04.10,Default,,0000,0000,0000,,我的数都是随意填的，7，2，π
Dialogue: 0,0:02:04.10,0:02:07.00,Default,,0000,0000,0000,,这就组成了一个5乘2矩阵
Dialogue: 0,0:02:07.00,0:02:11.70,Default,,0000,0000,0000,,我想你现在已经明白了矩阵是一个数字表了
Dialogue: 0,0:02:11.70,0:02:15.00,Default,,0000,0000,0000,,你也可以用符号的形式表示矩阵
Dialogue: 0,0:02:15.00,0:02:19.10,Default,,0000,0000,0000,,你用一个粗体的大写字母表示矩阵，你也可以在这里注明2x3
Dialogue: 0,0:02:19.10,0:02:22.70,Default,,0000,0000,0000,,如果你想引用矩阵的一个元素
Dialogue: 0,0:02:22.70,0:02:26.30,Default,,0000,0000,0000,,比如在上面这个例子里，也就是矩阵A
Dialogue: 0,0:02:26.30,0:02:32.60,Default,,0000,0000,0000,,如果某人想引用，矩阵的这个元素
Dialogue: 0,0:02:32.60,0:02:37.40,Default,,0000,0000,0000,,怎么办？这是第2行，这个元素在第2行里
Dialogue: 0,0:02:37.40,0:02:39.10,Default,,0000,0000,0000,,它也在第2列里
Dialogue: 0,0:02:39.10,0:02:42.50,Default,,0000,0000,0000,,这是第1列，第2列。第1行，第2行
Dialogue: 0,0:02:42.50,0:02:45.10,Default,,0000,0000,0000,,很明显它的位置是在第2行，第2列
Dialogue: 0,0:02:45.10,0:02:51.90,Default,,0000,0000,0000,,通常人们会写A，方括号
Dialogue: 0,0:02:51.90,0:02:58.50,Default,,0000,0000,0000,,2，逗号，2，等于0
Dialogue: 0,0:02:58.50,0:03:02.10,Default,,0000,0000,0000,,有的人也会写小写a
Dialogue: 0,0:03:02.10,0:03:07.10,Default,,0000,0000,0000,,然后在下标写2，逗号，2，等于0
Dialogue: 0,0:03:07.10,0:03:11.70,Default,,0000,0000,0000,,a是什么？a和A其实是一样的。
Dialogue: 0,0:03:11.70,0:03:14.20,Default,,0000,0000,0000,,我只是列出不同的表示方法而已
Dialogue: 0,0:03:14.20,0:03:16.10,Default,,0000,0000,0000,,说白了其实就是个符号。
Dialogue: 0,0:03:16.10,0:03:21.80,Default,,0000,0000,0000,,那么，a，1，逗号，3，表示的是哪个元素呢？
Dialogue: 0,0:03:21.80,0:03:24.60,Default,,0000,0000,0000,,这个位置在第1行，第3列
Dialogue: 0,0:03:24.60,0:03:27.60,Default,,0000,0000,0000,,第1行；1，2，3，就是这个位置的元素
Dialogue: 0,0:03:27.60,0:03:29.20,Default,,0000,0000,0000,,这个元素等于2
Dialogue: 0,0:03:29.20,0:03:32.10,Default,,0000,0000,0000,,这就是一个矩阵的表示方法
Dialogue: 0,0:03:32.10,0:03:34.10,Default,,0000,0000,0000,,矩阵是一个数字表，这样表示
Dialogue: 0,0:03:34.10,0:03:37.00,Default,,0000,0000,0000,,我们也可以用不同的方法表示
Dialogue: 0,0:03:37.00,0:03:38.30,Default,,0000,0000,0000,,你也许会问
Dialogue: 0,0:03:38.30,0:03:41.60,Default,,0000,0000,0000,,一个数字表，有个有趣的名字和有趣的表示方法
Dialogue: 0,0:03:41.60,0:03:44.20,Default,,0000,0000,0000,,有什么用呢？
Dialogue: 0,0:03:44.21,0:03:46.10,Default,,0000,0000,0000,,这个问题很有趣。
Dialogue: 0,0:03:46.10,0:03:51.60,Default,,0000,0000,0000,,矩阵是一种数据的表示形式。就是记录数据的一个方法而已。
Dialogue: 0,0:03:51.60,0:03:53.60,Default,,0000,0000,0000,,仅此而已。它的本质就是一个数字表。
Dialogue: 0,0:03:53.60,0:03:57.80,Default,,0000,0000,0000,,但是，我们可以用它表示一组现象
Dialogue: 0,0:03:57.80,0:04:01.50,Default,,0000,0000,0000,,如果你在上代数1和代数2的课
Dialogue: 0,0:04:01.50,0:04:03.60,Default,,0000,0000,0000,,你也许已经用矩阵表示过线性方程组了
Dialogue: 0,0:04:03.60,0:04:07.85,Default,,0000,0000,0000,,以后我们就会学到，我会用一系列的视频
Dialogue: 0,0:04:07.87,0:04:10.60,Default,,0000,0000,0000,,来解释矩阵在很多不同问题上的应用
Dialogue: 0,0:04:10.60,0:04:14.50,Default,,0000,0000,0000,,比如，在计算机图形方面，矩阵是一个强大的工具
Dialogue: 0,0:04:14.50,0:04:19.10,Default,,0000,0000,0000,,矩阵的元素可以用来代表屏幕上的像素
Dialogue: 0,0:04:19.10,0:04:21.40,Default,,0000,0000,0000,,可以代表坐标空间里的点
Dialogue: 0,0:04:21.40,0:04:23.00,Default,,0000,0000,0000,,还可以表示……天知道！
Dialogue: 0,0:04:23.00,0:04:24.90,Default,,0000,0000,0000,,数不清的东西都可以用矩阵表示
Dialogue: 0,0:04:24.90,0:04:27.60,Default,,0000,0000,0000,,重要的是，我们要了解矩阵并不是
Dialogue: 0,0:04:27.60,0:04:30.50,Default,,0000,0000,0000,,一个自然现象。
Dialogue: 0,0:04:30.50,0:04:34.70,Default,,0000,0000,0000,,它跟许多我们知道的数学概念不一样。
Dialogue: 0,0:04:34.70,0:04:37.70,Default,,0000,0000,0000,,它是表示数学概念的一个方式
Dialogue: 0,0:04:37.70,0:04:40.40,Default,,0000,0000,0000,,或者说，表述值的一个方式。
Dialogue: 0,0:04:40.40,0:04:43.00,Default,,0000,0000,0000,,你要自己定义它表示的是什么
Dialogue: 0,0:04:43.00,0:04:44.70,Default,,0000,0000,0000,,让我们把矩阵表示的具体内容这个问题
Dialogue: 0,0:04:44.70,0:04:48.30,Default,,0000,0000,0000,,暂时搁置一下
Dialogue: 0,0:04:48.30,0:04:52.20,Default,,0000,0000,0000,,然后……哦，我太太进来了，她在找我们的文件柜
Dialogue: 0,0:04:52.20,0:04:54.50,Default,,0000,0000,0000,,回到我们的话题
Dialogue: 0,0:04:54.50,0:04:57.10,Default,,0000,0000,0000,,让我们暂时搁置矩阵表示的具体内容
Dialogue: 0,0:04:57.10,0:04:59.40,Default,,0000,0000,0000,,来学一些传统的东西
Dialogue: 0,0:04:59.40,0:05:02.20,Default,,0000,0000,0000,,我认为，至少在一开始的时候，这个部分很难。
Dialogue: 0,0:05:02.20,0:05:04.02,Default,,0000,0000,0000,,矩阵怎么相加？
Dialogue: 0,0:05:04.02,0:05:06.41,Default,,0000,0000,0000,,矩阵怎么相乘？怎么求逆矩阵？
Dialogue: 0,0:05:06.41,0:05:09.07,Default,,0000,0000,0000,,怎么解行列式？
Dialogue: 0,0:05:09.07,0:05:11.40,Default,,0000,0000,0000,,这些名称你很可能还不熟悉
Dialogue: 0,0:05:11.40,0:05:13.70,Default,,0000,0000,0000,,除非你已经在以前的代数课里搞懂了
Dialogue: 0,0:05:13.70,0:05:15.90,Default,,0000,0000,0000,,现在，我就来教给你们这些东西
Dialogue: 0,0:05:15.90,0:05:18.40,Default,,0000,0000,0000,,它们都是人为规定的。
Dialogue: 0,0:05:18.40,0:05:22.70,Default,,0000,0000,0000,,在以后，我会有一系列视频讲述这些规定的意义
Dialogue: 0,0:05:22.70,0:05:26.70,Default,,0000,0000,0000,,和它们的本质。
Dialogue: 0,0:05:26.70,0:05:29.70,Default,,0000,0000,0000,,假设我想将这个两个矩阵加起来
Dialogue: 0,0:05:29.70,0:05:33.60,Default,,0000,0000,0000,,第一个矩阵，让我换一下颜色
Dialogue: 0,0:05:33.60,0:05:37.70,Default,,0000,0000,0000,,我会写相对小的矩阵，节约空间
Dialogue: 0,0:05:37.70,0:05:42.50,Default,,0000,0000,0000,,有一个矩阵，3，-1，
Dialogue: 0,0:05:42.50,0:05:49.10,Default,,0000,0000,0000,,2，0，让我们叫这个矩阵A
Dialogue: 0,0:05:49.10,0:05:54.40,Default,,0000,0000,0000,,再有矩阵B，我会随意填上一些数
Dialogue: 0,0:05:54.40,0:06:06.30,Default,,0000,0000,0000,,矩阵B有：-7，2，3，5
Dialogue: 0,0:06:06.30,0:06:14.00,Default,,0000,0000,0000,,现在的问题是，矩阵A
Dialogue: 0,0:06:14.00,0:06:16.30,Default,,0000,0000,0000,,就像在课本里，我把字母加粗
Dialogue: 0,0:06:16.30,0:06:21.70,Default,,0000,0000,0000,,加上矩阵B等于什么？我把两个矩阵相加，
Dialogue: 0,0:06:21.70,0:06:25.70,Default,,0000,0000,0000,,这是人为规定的。人们规定的矩阵如何相加。
Dialogue: 0,0:06:25.70,0:06:27.50,Default,,0000,0000,0000,,他们本来可以定义另外一种相加的方式，但是，他们说
Dialogue: 0,0:06:27.50,0:06:29.85,Default,,0000,0000,0000,,我们想让矩阵以我将要描述的方式相加
Dialogue: 0,0:06:29.85,0:06:32.50,Default,,0000,0000,0000,,因为这对一类问题很有用
Dialogue: 0,0:06:32.50,0:06:35.00,Default,,0000,0000,0000,,当你把两个矩阵相加的时候，你实际上是要
Dialogue: 0,0:06:35.00,0:06:40.00,Default,,0000,0000,0000,,把两个矩阵想对应的元素相加。这是怎么实现的呢？
Dialogue: 0,0:06:40.00,0:06:43.00,Default,,0000,0000,0000,,你把第一个矩阵里第1行第1列的元素
Dialogue: 0,0:06:43.00,0:06:46.10,Default,,0000,0000,0000,,和第二个矩阵里第1行第1列的元素相加
Dialogue: 0,0:06:46.10,0:06:50.50,Default,,0000,0000,0000,,在这个例子里，就是3+(-7)
Dialogue: 0,0:06:50.50,0:06:55.00,Default,,0000,0000,0000,,这就得到了和矩阵位置(1,1)上的元素。同理，第1行第2列的元素
Dialogue: 0,0:06:55.00,0:06:58.61,Default,,0000,0000,0000,,将等于-1+2
Dialogue: 0,0:06:58.61,0:07:01.70,Default,,0000,0000,0000,,我把它们用括号括起来
Dialogue: 0,0:07:01.70,0:07:05.40,Default,,0000,0000,0000,,表示这是不同的元素。如此类推
Dialogue: 0,0:07:05.40,0:07:20.70,Default,,0000,0000,0000,,这个元素是2+3。这个最后的元素是0+5
Dialogue: 0,0:07:20.70,0:07:26.70,Default,,0000,0000,0000,,最终结果是什么？3+（-7），等于-4
Dialogue: 0,0:07:26.70,0:07:32.00,Default,,0000,0000,0000,,-1+2，等于1。2+3，等于5
Dialogue: 0,0:07:32.00,0:07:39.80,Default,,0000,0000,0000,,0+5，等于5。这样我们就得到了最终结果，我们定义的矩阵加法的结果。
Dialogue: 0,0:07:39.80,0:07:43.20,Default,,0000,0000,0000,,根据这个定义，你可以类推
Dialogue: 0,0:07:43.20,0:07:49.10,Default,,0000,0000,0000,,B+A也是一样的。接下来我们要考虑，
Dialogue: 0,0:07:49.10,0:07:53.00,Default,,0000,0000,0000,,现在不是在做数字的加法。我们知道，1加2和2加1结果是一样的。
Dialogue: 0,0:07:53.00,0:07:56.70,Default,,0000,0000,0000,,或者说，任意两个数，相加的顺序不会影响结果。
Dialogue: 0,0:07:56.70,0:07:59.90,Default,,0000,0000,0000,,但对于矩阵，这不是那么明显。我现在要告诉你的是，根据我们定义的矩阵加法
Dialogue: 0,0:07:59.90,0:08:03.70,Default,,0000,0000,0000,,A加B和B加A结果也是一样的。
Dialogue: 0,0:08:03.70,0:08:06.60,Default,,0000,0000,0000,,如果我们做B加A，这里变成(-7)+3
Dialogue: 0,0:08:06.60,0:08:10.10,Default,,0000,0000,0000,,这里变成2+(-1)。得到的结果是一样的。
Dialogue: 0,0:08:10.10,0:08:11.90,Default,,0000,0000,0000,,这就是矩阵加法。
Dialogue: 0,0:08:11.90,0:08:15.30,Default,,0000,0000,0000,,仔细想一下就会知道，矩阵减法，也是一样的。
Dialogue: 0,0:08:15.30,0:08:21.59,Default,,0000,0000,0000,,我们……我还是举个例子好了。A减B等于什么？
Dialogue: 0,0:08:27.04,0:08:32.30,Default,,0000,0000,0000,,这是个大写B，因为它代表一个矩阵
Dialogue: 0,0:08:32.30,0:08:34.80,Default,,0000,0000,0000,,所以我把它加粗了。这等价于
Dialogue: 0,0:08:34.80,0:08:42.80,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A加上，-1乘以矩阵B。矩阵B等于
Dialogue: 0,0:08:42.80,0:08:47.80,Default,,0000,0000,0000,,-7，2，3，5。当矩阵乘以一个标量
Dialogue: 0,0:08:47.80,0:08:50.40,Default,,0000,0000,0000,,简单的说，矩阵乘以一个数
Dialogue: 0,0:08:50.40,0:08:52.70,Default,,0000,0000,0000,,结果等于矩阵里的每个元素乘以这个数
Dialogue: 0,0:08:52.70,0:08:58.40,Default,,0000,0000,0000,,因此，这等于A，矩阵A，加上矩阵
Dialogue: 0,0:08:58.40,0:09:02.40,Default,,0000,0000,0000,,这里我们把每个元素都乘以(-1)，得到
Dialogue: 0,0:09:02.40,0:09:08.40,Default,,0000,0000,0000,,7，-2，-3，5。然后我们
Dialogue: 0,0:09:08.40,0:09:11.70,Default,,0000,0000,0000,,重复上面的步骤。
Dialogue: 0,0:09:11.70,0:09:15.80,Default,,0000,0000,0000,,这等于，A在这里，所以
Dialogue: 0,0:09:15.80,0:09:21.20,Default,,0000,0000,0000,,3+7等于10，(-1)+(-2)等于(-3)，
Dialogue: 0,0:09:21.20,0:09:28.90,Default,,0000,0000,0000,,2+(-3)等于(-1)，最后0+5等于5
Dialogue: 0,0:09:28.90,0:09:31.60,Default,,0000,0000,0000,,你也可以不按照这样的步骤做
Dialogue: 0,0:09:31.60,0:09:33.80,Default,,0000,0000,0000,,你可以直接用这些元素减去对应的这些元素
Dialogue: 0,0:09:33.80,0:09:35.20,Default,,0000,0000,0000,,得到的结果是一样的。
Dialogue: 0,0:09:35.20,0:09:38.50,Default,,0000,0000,0000,,我上面这样做是为了说明
Dialogue: 0,0:09:38.50,0:09:41.30,Default,,0000,0000,0000,,标量，或者说数值，乘以一个矩阵
Dialogue: 0,0:09:41.30,0:09:46.60,Default,,0000,0000,0000,,等于矩阵里的元素逐个乘以这个数
Dialogue: 0,0:09:46.60,0:09:50.90,Default,,0000,0000,0000,,接下来，根据矩阵加法的定义，我们还能知道什么？
Dialogue: 0,0:09:50.90,0:09:54.20,Default,,0000,0000,0000,,根据定义的相加方式
Dialogue: 0,0:09:54.20,0:09:58.70,Default,,0000,0000,0000,,我们知道相加的两个矩阵必须有相同的尺寸。例如
Dialogue: 0,0:09:58.70,0:10:01.10,Default,,0000,0000,0000,,你可以把这两个矩阵相加。你可以加元素
Dialogue: 0,0:10:01.10,0:10:08.50,Default,,0000,0000,0000,,1，2，3，4，5，6，7，8，9，到第一个矩阵
Dialogue: 0,0:10:08.50,0:10:14.50,Default,,0000,0000,0000,,元素-10，-100，-1000
Dialogue: 0,0:10:14.50,0:10:20.10,Default,,0000,0000,0000,,注意这些数字都是我随意填的，1，0，0，1，0，1
Dialogue: 0,0:10:20.10,0:10:21.80,Default,,0000,0000,0000,,到第二个矩阵
Dialogue: 0,0:10:21.80,0:10:24.90,Default,,0000,0000,0000,,因为这两个矩阵有相同的行数和列数
Dialogue: 0,0:10:24.90,0:10:30.40,Default,,0000,0000,0000,,如果你要把他们加在一起，第1行元素就是1+(-10)
Dialogue: 0,0:10:30.40,0:10:34.40,Default,,0000,0000,0000,,等于-9。2+(-100)，等于-98
Dialogue: 0,0:10:34.40,0:10:39.50,Default,,0000,0000,0000,,我想你已经明白了。你算出3行3列共9个元素。
Dialogue: 0,0:10:39.50,0:10:44.80,Default,,0000,0000,0000,,但是，你不能把这样两个矩阵加在一起，比如
Dialogue: 0,0:10:44.80,0:10:48.60,Default,,0000,0000,0000,,让我们换个颜色，和前面区别开来
Dialogue: 0,0:10:48.60,0:10:52.50,Default,,0000,0000,0000,,你不能加这个蓝色的矩阵
Dialogue: 0,0:10:52.50,0:11:03.40,Default,,0000,0000,0000,,-3，2，到这个矩阵，9，7
Dialogue: 0,0:11:03.40,0:11:05.10,Default,,0000,0000,0000,,为什么它们不能相加呢？
Dialogue: 0,0:11:05.10,0:11:07.70,Default,,0000,0000,0000,,原因是，它们没有对应的元素可加
Dialogue: 0,0:11:07.70,0:11:11.60,Default,,0000,0000,0000,,这个矩阵是1行2列，也就是是1×2
Dialogue: 0,0:11:11.60,0:11:15.80,Default,,0000,0000,0000,,而这个是2×1，他们的维数不匹配
Dialogue: 0,0:11:15.80,0:11:18.70,Default,,0000,0000,0000,,因此，我们也不能对这两个矩阵做加法或减法
Dialogue: 0,0:11:18.70,0:11:22.30,Default,,0000,0000,0000,,补充一点，当一个矩阵有一个维度是1
Dialogue: 0,0:11:22.30,0:11:26.80,Default,,0000,0000,0000,,比如说，只有1行和许多列
Dialogue: 0,0:11:26.80,0:11:30.20,Default,,0000,0000,0000,,这个矩阵也叫做行向量
Dialogue: 0,0:11:30.20,0:11:32.50,Default,,0000,0000,0000,,一个向量本质上是一个一维矩阵
Dialogue: 0,0:11:32.50,0:11:35.70,Default,,0000,0000,0000,,因为其中一个维度是1。所以这个矩阵是个行向量
Dialogue: 0,0:11:35.70,0:11:38.80,Default,,0000,0000,0000,,而这边这个矩阵是个列向量。向量是你要记住的一个常用术语。
Dialogue: 0,0:11:38.80,0:11:41.40,Default,,0000,0000,0000,,如果你要学线性代数和微积分
Dialogue: 0,0:11:41.40,0:11:44.20,Default,,0000,0000,0000,,你的教授会经常使用这些术语，所以你最好先熟悉一下。
Dialogue: 0,0:11:44.20,0:11:49.02,Default,,0000,0000,0000,,不知不觉，我已经说了11分钟了，下章再见。