1
00:00:01,300 --> 00:00:06,800
现在让我们来学习一下矩阵。我们先要了解，到底一般意义上的矩阵是什么？

2
00:00:06,800 --> 00:00:10,400
所谓一般意义上的矩阵，就是任意矩阵的统称。

3
00:00:10,400 --> 00:00:15,700
其实矩阵这个词，你听到得更多的地方可能是好莱坞电影而不是数学。

4
00:00:15,700 --> 00:00:20,900
到底什么是矩阵呢？其实很简单。

5
00:00:20,900 --> 00:00:24,500
矩阵就是一个由数字组成的表。这就是矩阵的定义。

6
00:00:24,500 --> 00:00:27,800
让我画一个矩阵

7
00:00:27,800 --> 00:00:30,300
我不喜欢这个牙膏一样的蓝色，让我选个别的颜色好了。

8
00:00:30,300 --> 00:00:37,600
这就是一个矩阵的例子。我随意选几个数填进去。

9
00:00:37,600 --> 00:00:46,000
5，1，2，3，0，-5。这就组成了一个矩阵

10
00:00:46,000 --> 00:00:51,500
所以我说矩阵就是一个数字组成的表。如果要用一个符号代表矩阵

11
00:00:51,500 --> 00:00:54,600
我们通常用一个大写字母表示。比如说，A

12
00:00:54,600 --> 00:01:00,100
有些书喜欢将这个字母加粗。像这样，一个加粗的A表示一个矩阵

13
00:01:00,100 --> 00:01:04,500
习惯上，他们会叫这个矩阵

14
00:01:04,500 --> 00:01:10,100
或者我们也会叫这个矩阵：2乘3矩阵

15
00:01:10,100 --> 00:01:16,500
有的人喜欢在字母下面注明2x3

16
00:01:16,500 --> 00:01:18,400
那到底2代表什么，3又代表什么呢？

17
00:01:18,400 --> 00:01:23,200
2代表的是行数。我们有一行，两行。这是一行，这是另一行。

18
00:01:23,200 --> 00:01:26,300
我们有3列：1，2，3

19
00:01:26,300 --> 00:01:28,500
所以我们叫这个矩阵A做2乘3矩阵。

20
00:01:28,500 --> 00:01:34,200
再比如说有矩阵B，让我把字母加粗。

21
00:01:34,200 --> 00:01:42,677
我们说B是一个5乘2矩阵，那就是说，

22
00:01:42,677 --> 00:01:46,892
让我填几个数字：1，2，0，-5，10

23
00:01:49,300 --> 00:01:52,600
那么它就有5行了，然后它有两列

24
00:01:52,600 --> 00:01:56,000
我把第2列填上数字：-10，3

25
00:01:56,000 --> 00:02:04,100
我的数都是随意填的，7，2，π

26
00:02:04,100 --> 00:02:07,000
这就组成了一个5乘2矩阵

27
00:02:07,000 --> 00:02:11,700
我想你现在已经明白了矩阵是一个数字表了

28
00:02:11,700 --> 00:02:15,000
你也可以用符号的形式表示矩阵

29
00:02:15,000 --> 00:02:19,100
你用一个粗体的大写字母表示矩阵，你也可以在这里注明2x3

30
00:02:19,100 --> 00:02:22,700
如果你想引用矩阵的一个元素

31
00:02:22,700 --> 00:02:26,300
比如在上面这个例子里，也就是矩阵A

32
00:02:26,300 --> 00:02:32,600
如果某人想引用，矩阵的这个元素

33
00:02:32,600 --> 00:02:37,400
怎么办？这是第2行，这个元素在第2行里

34
00:02:37,400 --> 00:02:39,100
它也在第2列里

35
00:02:39,100 --> 00:02:42,500
这是第1列，第2列。第1行，第2行

36
00:02:42,500 --> 00:02:45,100
很明显它的位置是在第2行，第2列

37
00:02:45,100 --> 00:02:51,900
通常人们会写A，方括号

38
00:02:51,900 --> 00:02:58,500
2，逗号，2，等于0

39
00:02:58,500 --> 00:03:02,100
有的人也会写小写a

40
00:03:02,100 --> 00:03:07,100
然后在下标写2，逗号，2，等于0

41
00:03:07,100 --> 00:03:11,700
a是什么？a和A其实是一样的。

42
00:03:11,700 --> 00:03:14,200
我只是列出不同的表示方法而已

43
00:03:14,200 --> 00:03:16,100
说白了其实就是个符号。

44
00:03:16,100 --> 00:03:21,800
那么，a，1，逗号，3，表示的是哪个元素呢？

45
00:03:21,800 --> 00:03:24,600
这个位置在第1行，第3列

46
00:03:24,600 --> 00:03:27,600
第1行；1，2，3，就是这个位置的元素

47
00:03:27,600 --> 00:03:29,200
这个元素等于2

48
00:03:29,200 --> 00:03:32,100
这就是一个矩阵的表示方法

49
00:03:32,100 --> 00:03:34,100
矩阵是一个数字表，这样表示

50
00:03:34,100 --> 00:03:37,000
我们也可以用不同的方法表示

51
00:03:37,000 --> 00:03:38,300
你也许会问

52
00:03:38,300 --> 00:03:41,600
一个数字表，有个有趣的名字和有趣的表示方法

53
00:03:41,600 --> 00:03:44,200
有什么用呢？

54
00:03:44,212 --> 00:03:46,100
这个问题很有趣。

55
00:03:46,100 --> 00:03:51,600
矩阵是一种数据的表示形式。就是记录数据的一个方法而已。

56
00:03:51,600 --> 00:03:53,600
仅此而已。它的本质就是一个数字表。

57
00:03:53,600 --> 00:03:57,800
但是，我们可以用它表示一组现象

58
00:03:57,800 --> 00:04:01,500
如果你在上代数1和代数2的课

59
00:04:01,500 --> 00:04:03,600
你也许已经用矩阵表示过线性方程组了

60
00:04:03,600 --> 00:04:07,854
以后我们就会学到，我会用一系列的视频

61
00:04:07,869 --> 00:04:10,600
来解释矩阵在很多不同问题上的应用

62
00:04:10,600 --> 00:04:14,500
比如，在计算机图形方面，矩阵是一个强大的工具

63
00:04:14,500 --> 00:04:19,100
矩阵的元素可以用来代表屏幕上的像素

64
00:04:19,100 --> 00:04:21,400
可以代表坐标空间里的点

65
00:04:21,400 --> 00:04:23,000
还可以表示……天知道！

66
00:04:23,000 --> 00:04:24,900
数不清的东西都可以用矩阵表示

67
00:04:24,900 --> 00:04:27,600
重要的是，我们要了解矩阵并不是

68
00:04:27,600 --> 00:04:30,500
一个自然现象。

69
00:04:30,500 --> 00:04:34,700
它跟许多我们知道的数学概念不一样。

70
00:04:34,700 --> 00:04:37,700
它是表示数学概念的一个方式

71
00:04:37,700 --> 00:04:40,400
或者说，表述值的一个方式。

72
00:04:40,400 --> 00:04:43,000
你要自己定义它表示的是什么

73
00:04:43,000 --> 00:04:44,700
让我们把矩阵表示的具体内容这个问题

74
00:04:44,700 --> 00:04:48,300
暂时搁置一下

75
00:04:48,300 --> 00:04:52,200
然后……哦，我太太进来了，她在找我们的文件柜

76
00:04:52,200 --> 00:04:54,500
回到我们的话题

77
00:04:54,500 --> 00:04:57,100
让我们暂时搁置矩阵表示的具体内容

78
00:04:57,100 --> 00:04:59,400
来学一些传统的东西

79
00:04:59,400 --> 00:05:02,200
我认为，至少在一开始的时候，这个部分很难。

80
00:05:02,200 --> 00:05:04,015
矩阵怎么相加？

81
00:05:04,015 --> 00:05:06,408
矩阵怎么相乘？怎么求逆矩阵？

82
00:05:06,408 --> 00:05:09,069
怎么解行列式？

83
00:05:09,069 --> 00:05:11,400
这些名称你很可能还不熟悉

84
00:05:11,400 --> 00:05:13,700
除非你已经在以前的代数课里搞懂了

85
00:05:13,700 --> 00:05:15,900
现在，我就来教给你们这些东西

86
00:05:15,900 --> 00:05:18,400
它们都是人为规定的。

87
00:05:18,400 --> 00:05:22,700
在以后，我会有一系列视频讲述这些规定的意义

88
00:05:22,700 --> 00:05:26,700
和它们的本质。

89
00:05:26,700 --> 00:05:29,700
假设我想将这个两个矩阵加起来

90
00:05:29,700 --> 00:05:33,600
第一个矩阵，让我换一下颜色

91
00:05:33,600 --> 00:05:37,700
我会写相对小的矩阵，节约空间

92
00:05:37,700 --> 00:05:42,500
有一个矩阵，3，-1，

93
00:05:42,500 --> 00:05:49,100
2，0，让我们叫这个矩阵A

94
00:05:49,100 --> 00:05:54,400
再有矩阵B，我会随意填上一些数

95
00:05:54,400 --> 00:06:06,300
矩阵B有：-7，2，3，5

96
00:06:06,300 --> 00:06:14,000
现在的问题是，矩阵A

97
00:06:14,000 --> 00:06:16,300
就像在课本里，我把字母加粗

98
00:06:16,300 --> 00:06:21,700
加上矩阵B等于什么？我把两个矩阵相加，

99
00:06:21,700 --> 00:06:25,700
这是人为规定的。人们规定的矩阵如何相加。

100
00:06:25,700 --> 00:06:27,500
他们本来可以定义另外一种相加的方式，但是，他们说

101
00:06:27,500 --> 00:06:29,846
我们想让矩阵以我将要描述的方式相加

102
00:06:29,846 --> 00:06:32,500
因为这对一类问题很有用

103
00:06:32,500 --> 00:06:35,000
当你把两个矩阵相加的时候，你实际上是要

104
00:06:35,000 --> 00:06:40,000
把两个矩阵想对应的元素相加。这是怎么实现的呢？

105
00:06:40,000 --> 00:06:43,000
你把第一个矩阵里第1行第1列的元素

106
00:06:43,000 --> 00:06:46,100
和第二个矩阵里第1行第1列的元素相加

107
00:06:46,100 --> 00:06:50,500
在这个例子里，就是3+(-7)

108
00:06:50,500 --> 00:06:55,000
这就得到了和矩阵位置(1,1)上的元素。同理，第1行第2列的元素

109
00:06:55,000 --> 00:06:58,608
将等于-1+2

110
00:06:58,608 --> 00:07:01,700
我把它们用括号括起来

111
00:07:01,700 --> 00:07:05,400
表示这是不同的元素。如此类推

112
00:07:05,400 --> 00:07:20,700
这个元素是2+3。这个最后的元素是0+5

113
00:07:20,700 --> 00:07:26,700
最终结果是什么？3+（-7），等于-4

114
00:07:26,700 --> 00:07:32,000
-1+2，等于1。2+3，等于5

115
00:07:32,000 --> 00:07:39,800
0+5，等于5。这样我们就得到了最终结果，我们定义的矩阵加法的结果。

116
00:07:39,800 --> 00:07:43,200
根据这个定义，你可以类推

117
00:07:43,200 --> 00:07:49,100
B+A也是一样的。接下来我们要考虑，

118
00:07:49,100 --> 00:07:53,000
现在不是在做数字的加法。我们知道，1加2和2加1结果是一样的。

119
00:07:53,000 --> 00:07:56,700
或者说，任意两个数，相加的顺序不会影响结果。

120
00:07:56,700 --> 00:07:59,900
但对于矩阵，这不是那么明显。我现在要告诉你的是，根据我们定义的矩阵加法

121
00:07:59,900 --> 00:08:03,700
A加B和B加A结果也是一样的。

122
00:08:03,700 --> 00:08:06,600
如果我们做B加A，这里变成(-7)+3

123
00:08:06,600 --> 00:08:10,100
这里变成2+(-1)。得到的结果是一样的。

124
00:08:10,100 --> 00:08:11,900
这就是矩阵加法。

125
00:08:11,900 --> 00:08:15,300
仔细想一下就会知道，矩阵减法，也是一样的。

126
00:08:15,300 --> 00:08:21,592
我们……我还是举个例子好了。A减B等于什么？

127
00:08:27,038 --> 00:08:32,300
这是个大写B，因为它代表一个矩阵

128
00:08:32,300 --> 00:08:34,800
所以我把它加粗了。这等价于

129
00:08:34,800 --> 00:08:42,800
矩阵A加上，-1乘以矩阵B。矩阵B等于

130
00:08:42,800 --> 00:08:47,800
-7，2，3，5。当矩阵乘以一个标量

131
00:08:47,800 --> 00:08:50,400
简单的说，矩阵乘以一个数

132
00:08:50,400 --> 00:08:52,700
结果等于矩阵里的每个元素乘以这个数

133
00:08:52,700 --> 00:08:58,400
因此，这等于A，矩阵A，加上矩阵

134
00:08:58,400 --> 00:09:02,400
这里我们把每个元素都乘以(-1)，得到

135
00:09:02,400 --> 00:09:08,400
7，-2，-3，5。然后我们

136
00:09:08,400 --> 00:09:11,700
重复上面的步骤。

137
00:09:11,700 --> 00:09:15,800
这等于，A在这里，所以

138
00:09:15,800 --> 00:09:21,200
3+7等于10，(-1)+(-2)等于(-3)，

139
00:09:21,200 --> 00:09:28,900
2+(-3)等于(-1)，最后0+5等于5

140
00:09:28,900 --> 00:09:31,600
你也可以不按照这样的步骤做

141
00:09:31,600 --> 00:09:33,800
你可以直接用这些元素减去对应的这些元素

142
00:09:33,800 --> 00:09:35,200
得到的结果是一样的。

143
00:09:35,200 --> 00:09:38,500
我上面这样做是为了说明

144
00:09:38,500 --> 00:09:41,300
标量，或者说数值，乘以一个矩阵

145
00:09:41,300 --> 00:09:46,600
等于矩阵里的元素逐个乘以这个数

146
00:09:46,600 --> 00:09:50,900
接下来，根据矩阵加法的定义，我们还能知道什么？

147
00:09:50,900 --> 00:09:54,200
根据定义的相加方式

148
00:09:54,200 --> 00:09:58,700
我们知道相加的两个矩阵必须有相同的尺寸。例如

149
00:09:58,700 --> 00:10:01,100
你可以把这两个矩阵相加。你可以加元素

150
00:10:01,100 --> 00:10:08,500
1，2，3，4，5，6，7，8，9，到第一个矩阵

151
00:10:08,500 --> 00:10:14,500
元素-10，-100，-1000

152
00:10:14,500 --> 00:10:20,100
注意这些数字都是我随意填的，1，0，0，1，0，1

153
00:10:20,100 --> 00:10:21,800
到第二个矩阵

154
00:10:21,800 --> 00:10:24,900
因为这两个矩阵有相同的行数和列数

155
00:10:24,900 --> 00:10:30,400
如果你要把他们加在一起，第1行元素就是1+(-10)

156
00:10:30,400 --> 00:10:34,400
等于-9。2+(-100)，等于-98

157
00:10:34,400 --> 00:10:39,500
我想你已经明白了。你算出3行3列共9个元素。

158
00:10:39,500 --> 00:10:44,800
但是，你不能把这样两个矩阵加在一起，比如

159
00:10:44,800 --> 00:10:48,600
让我们换个颜色，和前面区别开来

160
00:10:48,600 --> 00:10:52,500
你不能加这个蓝色的矩阵

161
00:10:52,500 --> 00:11:03,400
-3，2，到这个矩阵，9，7

162
00:11:03,400 --> 00:11:05,100
为什么它们不能相加呢？

163
00:11:05,100 --> 00:11:07,700
原因是，它们没有对应的元素可加

164
00:11:07,700 --> 00:11:11,600
这个矩阵是1行2列，也就是是1×2

165
00:11:11,600 --> 00:11:15,800
而这个是2×1，他们的维数不匹配

166
00:11:15,800 --> 00:11:18,700
因此，我们也不能对这两个矩阵做加法或减法

167
00:11:18,700 --> 00:11:22,300
补充一点，当一个矩阵有一个维度是1

168
00:11:22,300 --> 00:11:26,800
比如说，只有1行和许多列

169
00:11:26,800 --> 00:11:30,200
这个矩阵也叫做行向量

170
00:11:30,200 --> 00:11:32,500
一个向量本质上是一个一维矩阵

171
00:11:32,500 --> 00:11:35,700
因为其中一个维度是1。所以这个矩阵是个行向量

172
00:11:35,700 --> 00:11:38,800
而这边这个矩阵是个列向量。向量是你要记住的一个常用术语。

173
00:11:38,800 --> 00:11:41,400
如果你要学线性代数和微积分

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00:11:41,400 --> 00:11:44,200
你的教授会经常使用这些术语，所以你最好先熟悉一下。

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00:11:44,200 --> 00:11:49,015
不知不觉，我已经说了11分钟了，下章再见。