Introduction to matrices

What a matrix is. How to add and subtract them.

دعونا نتعلم عن المصفوفات، اذاً ما تعني، او ماذا اعني عندما اقول مصفوفات؟

حسناً، المصفوفات عبارة عن جمع مصفوفة

وهي كلمة مألوفة بالنسبة لك بسبب هوليوود اكثر من كونها بسبب الرياضيات

اذاً ما هي المصفوفة؟ حسناً، ان فكرتها بسيطة جداً

انها عبارة عن جدول من الاعداد. هذه هي المصفوفة

دعوني ارسم مصفوفة لكم

لا احب ذاك اللون الازرق الذي يشبه لون معجون الاسنان، لذا دعوني استخدم لون آخر

هذا مثال على نصفوفة. اذا قلت، لا اعلم، سأختار اعداد عشوائية

5، 1، 2، 3، 0، -5. هذه مصفوفة

وهي عبارة عن جدول اعداد، وغالباً اذا اردت ان تحتوي المصفوفة على متغير

فتستخدم الحرف بصورته المكبرة. اي يمكنك ان تستخدم A

في بعض الكتب يكتب الحرف A بخط سميك

وبقليل من الرموز، فإن هذه تسمى مصفوفة، او سنسمي

هذه مصفوفة، بحسب الاتفاقية، يمكنك ان تسميها مصفوفة 2 × 3

وفي بعض الاحيان يتم كتابة 2×3 تحت الخط السميك المستخدم لتمثيل المصفوفة

ما هي الـ 2؟ وما هي الـ 3؟

حسناً، 2 عبارة عن عدد الصفوف، لدينا صف واحد، صفان، هذا صف وهذا صف

لدينا ثلاثة اعمد؛ واحد، اثنان، ثلاثة

ولهذا السبب تسمى بمصفوفة 2×3

عندما نقول، كما تعلمون، اذا قلت، اذا قلت ان هذه B

اذا كانت B مصفوفة 5×2، فهذا يعني ان B تحتوي على، يمكنني، دعوني اعد

سأحدد الاعداد؛ 0، -5، 10

تحتوي على خمسة صفوف، وعامودان

سيكون لدينا عامود آخر هنا، اذاً دعوني ارى؛ -10، 3

انني اضع اعداد بشكل عشوائي. 7، 2، pi

انها مصفوفة 5×2

اعتقد انكم الآن حصلتم على فكرة ان المصفوفة عبارة عن

جدول اعداد. يمكنكم تمثيلها عندما تضعوها بنموذج المتغيرات

تمثلوها بأحرف كبيرة وسميكة، في بعض الاوقات ستكتبون 2×3 هنا

وانتم في الواقع تشيرون بهذا الى المصفوفة

في هذا المثال، المثال الموجود في الاعلى، حيث لدينا المصفوفة A

اذا اراد احدهم ان يشير الى، دعوني اقول، هذا، هذا العنصر من المصفوفة

ما هذا؟ هذا الصف الثاني، انه في الصف الثاني

وفي العامود الثاني، صحيح؟

هذا العامود الاول، هذا العامود الثاني. الصف الاول، الصف الثاني

اذاً هو في الصف الثاني، والعامود الثاني

في بعض الاوقات، سيكتب الاشخاص A ومن ثم يكتبون، كما تعلمون

2،2 = 0

او ربما سيكتبون، سيكتبون a احياناً

2،2 = 0

حسناً، ما هي A؟ انهما متساويان

انني افعل ذلك حتى اوضح لكم الرمز، لان

العديد منها عبارة عن رموز

ما هو 1،3؟

حسناً، هذا يعني اننا في الصف الاول والعامود الثالث

الصف الاول، الاول، الثاني، الثالث. انه هذه القيمة

اذاً هذا يساوي 2

هذا هو كل ما تعنيه المصفوفة

انها عبارة عن جدول اعداد، يمكن ان يمثل بهذه الطريقة

يمكننا ان نمثل عناصره المختلفة بهذه الطريقة

ربما كنت تتساءل

"حسناً، هذا جميل، جدول اعداد يحتوي على

كلمات جيدة ورموز جيدة. لكن، ما هي فائدته؟"

وهذه هي النقطة المثيرة للاهتمام

المصفوفة عبارة عن تمثيل للمعلومات، انها طريقة لكتابة المعلومات

انها في المجمل عبارة عن جدول اعداد

لكنها يمكن ان تستخدم لتمثيل مجموعة كاملة من الطواهر

واذا قعلتم هذا في دروس الجبر 1 والجبر 2

فربما ستستخدمونها لتمثيل المعادلات الخطية

لكن، سنتعلم لاحقاً، وسأقوم بعمل مجموعة عروض

عن تطبيق المصفوفات على مجموعة كاملة من الاشياء المختلفة

لكنها لا يمكن ان تمثل، انها ضخمة جداً واذا كنتم تعملون

في مجال الرسم المحوسب، فإن المصفوفات...العناصر يمكنها ان تمثل بكسل على الشاشة

يمكنها ان تمثل نقاط الفضاء الاحداثي

يمكنها ان تمثل...من يعلم!!

هناك عدة اشياء يمكن ان تمثلها

لكن، الشيئ الاهم ان ندركه هو ان المصفوفة

ليست ظاهرة طبيعية

فهي ليست كمجموعة من المجموعة التي كنا ننظر اليها

انها طريقة لتمثيل مفهوم رياضي

او طريقة طريقة لتمثيل قيم. لكن عليكم ان

تعرفوا ما الذي تمثله

لكن دعونا نضع هذا جانباً الآن

الى ان نعرف ماذا تمثل

و، اوه، زوجتي هنا. انها تنظر الى علبة البطاقات

لكن على اي حال، سأعود الى ما كنت افعله

اذاً، اذاً، دعونا نضع ما تمثله المصفوفة جانباً

دعونا نتعلم الاتفاقيات

لأنني اعتقد، بالنسبة لي على الاقل، ان هذا سيكون

الجزء الاصعب، كيف نجمع المصفوفات؟

كيف نضرب المصفوفات؟ كيف نقلب المصفوفات؟

كيف نجد محدد المصفوفة؟

اعلم ان جميع هذه الكلمات ربما لا تبدو مألوفة، هذا اذا لم

تكونوا قد تعرضتم لها في حصص الجبر

سأعلمكم جميع هذه الاشياء اولاً

وهي جميعها عبارة عن اتفاقيات من تعريف الانسان

ومن ثم، اخيراً، سأقوم بعمل مجموعة عروض على البداهة التي تخلفها

وما الذي تمثله بالفعل. اذاً دعونا نبدأ

لنفترض انني اريد ان اجمع هاتان المصفوفتان

لنفترض، ان الاولى --دعوني اغير الالوان-- لنفترض

سأقوم بكتابة اشياء صغيرة، حتى لا تنفذ المساحة

اذاً لدينا المصفوفة؛ 3، -1، لا اعرف

2، 0، لا اعلم، لنسمي ذلك A، A بهذا الشكل

ولنفترض ان المصفوفة B --انني اشكل اعداداً--

المصفوفة B تساوي -7، 2، 3، 5

وسؤالي لكم الآن: ما هي A

لقد كتبتها بخط سميك هكذا كما تكتب في الكتب الدراسية، +

المصفوفة B؟ اذاً سأقوم بجمع مصفوفتين، ومرة اخرى

ان هذا من اكتشاف الانسان. احدهم قام بتعريف كيفية جمع المصفوفات

يمكن ان يعرفوها بطريقة اخرى. لكن، قالوا

سنجمع المصفوفات بالطريقة

التي سأوضحها لكم لأنها مفيدة لمجموعة الظواهر

عندما تقوم بجمع مصفوفتين، تجمع فقط

العناصر المتشابهة. كيف ينجح هذا؟

حسناً، تجمع العنصر الموجود في الصف الاول والعامود الاول مع

العنصر الموجود في الصف الاول والعامود الاول. هذا جيد، اذاُ

3 + -7، 3 + -7

تكون هذه عنصراً لعنصر. ثم عنصر الصف الاول والعامود الثاني

سيكون -1 + 2

نضع اقواساً حولهم، اذاً انتم تعلمون ان هذه

عناصر منفصلة، ويمكنكم ان تخمنوا كيف يستمر هذا

هذا العنصر سيكون 2 + 3. هذا العنصر، اي العنصر الاخير، سيكون 0 + 5

كم يساوي هذا؟ 3 + -7 = -4

-1 + 2 = 1، 2 + 3 = 5، و

0 + 5 = 5، لقد حصلنا عليها، هكذا نعرف جمع مصفوفتين

ومن خلال هذا التعريف، يمكنكم ان تتخيلوا ان هذه ستساوي

B + A، اليس كذلك؟ وتذكروا، هذا شيئ علينا ان نفكر به

لأننا لن نجمع اعداد اخرى, انتم تعلمون ان 1 + 2 يعادل

2 + 1، او اي عددين عادييين لا يهمنا الترتيب الذي

نجمعه بهما، لكن بالنسبة للمصفوفات فإن الامر غير واضح. لكن عندما نعرفها بهذه الطريقة

لا يهم اذا قلنا A + B او B + A، اليس كذلك؟

اذا وضعنا B + A، فهذا يعني -7 + 3

وهذا يعني 2 + -1، لكنها ستعطي نفس القيم

هذا هو جمع المصفوفة

ويمكنكم ان تتخيلوا عملية طرح المصفوفات، انها نفس الشيئ

سوف --حسناً، دعوني اوضح لكم، كم سيكون ناتج A - B؟

حسناً، يمكنكم اعتبارها --هذه B، وهي عبارة عن مصفوفة

ولهذا السبب كتبتها بخط سميك جداً، لكن هذا يعادل:

A + -1 × B، ما هي B؟ حسناً، B عبارة عن

-7، 2، 3، 5، وعندما تضربون

تدرج، اي عندما تضربون عدد بالمصفوفة

فأنتم بذلك تضربون العدد بكل واحد من هذه العناصر

اذاً هذا يساوي A، المصفوفة A، + النصفوفة، نحن نضرب

الـ -1 × كل عنصر لدينا هنا. اي 7

-2 ، -3، 5، ومن ثم يمكننا

فعل ما فعلناه في الاعلى. نحن نعلم ما هي A

هذا يساوي، دعونا نرى، A هذه الموجودة في الاعلى. 3 +

7 = 10، -1 + -2 = -3

2 + -3 = -1 و 0 + 5 = 5

ولا يتوجب عليك ان تقوم بحل هذا التمرين هنا

عليك فقط ان تقوم بطرح هذه العناصر من هذه العناصر

وستحصل على نفس القيمة

فعلت هذا لأنني اريد ان اوضح لكم ايضاً ان ضرب

تدرج × -- او قيمة او عدد-- × مصفوفة

عبارة عن ضرب ذلك العدد بجميع عناصر المصفوفة

وماذا نعرف من خلال تعريف جمع المصفوفات هذا؟

حسناً، نعرف ان كلا المصفوفتين يجب ان يكونا نفس الحجم

من خلال تعريف طريقة الجمع. فعلى سبيل المثال

يمكنكم ان تجمعوا هاتان المصفوفتان، يمكنكم ان تجمعوا، لا اعلم

1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 الى هذه المصفوفة

اي الى، لا اعلم، -10، -100، -1000

انني افترض اعداد، 1، 0، 0، 1، 0، 1

يمكنك ان تجمع هاتان المصفوفتان، اليس كذلك؟

لأن لديهما نفس عدد الصفوف ونفس عدد الاعمدة

على سبيل المثال، اذا اردت جمعهم، فالعبارة الاولى ستكون 1 + -10

وتساوي -9، 2 + -100 = -98

اعتقد انك ادركت الفكرة. لدينا بالضبط 9 عناصر ولدينا ثلاث صفوف لثلاث اعمدة

لكن لا يمكنك ان تجمع هاتان المصفوفتان، لا يمكنك ان تجمع

دعوني اكتبها بلون مختلف، حتى اوضح انها مختلفة

لا يمكنكم جمع، هذه الزرقاء، لا يمكنكم جمع هذه المصفوفة

3،2- الى المصفوفة، لا اعلم، 9،7

ولماذا لا يمكنكم جمعهم؟

حسناً، لا يمتلكان عناصر متشابهة لكي يتم جمعهم

هذه تحتوي على صف واحد وعامودان، وهذه 1 × 2

وهذه 2 × 1. اذاً لا تمتلكان نفس الابعاد

بالتالي لا يمكننا ان نجمع او نطرح هاتان المصفوفتان

وكملحوظة صغيرة، عندما تحتوي المصفوفة على...عندما واحد من

ابعادها يكون 1، على سبيل المثال، لدينا هنا صف واحد

وعدة اعمدة، فهذا يسمى متجه الصف

المتجه عبارة عن مصفوفة احادية البعد، حيث يكون واحداً

من الابعاد هو 1. اذاً هذا متجه صف وبشكل مشابه

فغن هذا متجه عامود. ان هذا مصطلح اضافي

يجب ان تعرفوه. اذا اخذتم الجبر الخطي والتفاضل والتكامل

فلربما سيستخدم الاستاذ تلك المصطلحات ومن الجيد ان تكون

مألوفة لكم. على اي حال، لقد مضى 11 دقيقة لذلك سأكمل هذا في العرض التالي. اراكم قريباً