Опростяване на радикали

Използване на свойствата на степените за опростяване на радикали и квадратни корени

Днешната тема е опростяване на радикали.

Нека първо да изясним терминологията.

Може би се чудиш какво е радикал
и сега ще ти кажа.

Трябва да настроя писалката правилно.

Радикал е просто това.

Или вероятно ти е по-познато
като корен квадратен.

Изяснихме терминологията
и сега да видим

какво означава да опростим корен квадратен.

Може да поспориш, че всъщност

ще го направим по-сложно.

Но да видим.

Нека изтрия това.

Ако ти дам корен квадратен от 36,

ще кажеш: "Хей, това е лесно.

Това е равно на 6 по 6."

Може да кажеш, че корен квадратен
от 36 е просто 6.

Но ако те попитам
колко е корен квадратен от 72?

Знаем, че 72 е 36 по 2, нали?

Нека напиша това.

Корен квадратен от 72 е същото нещо
като корен квадратен от 36 по 2.

Нали? Просто представих
72 като 36 по 2.

А корен квадратен,
ако си спомняш от преди,

корен квадратен е същото нещо като
нещо на степен 1/2.

Нека го напишем по този начин.

Пиша по този начин, за да ти покажа как работи
опростяването на корен квадратен,

а това действително не е нещо ново.

Това е същото нещо като 36 по
2 на степен 1/2.

Нали? Просто корен квадратен е
същото нещо като степен 1/2.

Научихме при правилата на степените,
че когато умножаваме две числа,

и когато повдигнем на степен 1/2,

това е същото нещо като повдигане на всяко едно
от числата на степен 1/2,

а след това умножаване. Нали?

Това е същото нещо като да кажем, че имаме
корен квадратен от 36 по корен квадратен от 2.

А вече намерихме колко е корен квадратен от 36.

Това е 6.

Това е равно на 6 по корен квадратен от 2.

Вероятно се чудиш защо преминах
през тази стъпка да сменя радикала,

смених знака за корен квадратен със степен 1/2.

Направих това, за да ти покажа, че това е просто
продължение на свойствата на степените.

Действително не е нова концепция.

Макар че предполагам, че не е така очевидно,
че са еднакви концепции.

Исках да изясня това.

Нека решим друга задача.

Мисля, че колкото повече и повече задачи правим,
толкова ще станат по-очевидни.

Корен квадратен от 50.

Корен квадратен от 50...

50 е същото нещо като 25 по 2.

Знаем от това, което направихме, и наистина
това е просто свойство на степените,

корен квадратен от 25 по 2 е същото нещо като
корен квадратен от 25

по корен квадратен от 2.

Знаем колко е корен квадратен от 25.

Това е 5.

Това просто е равно на 5
по корен квадратен от 2.

Може би ще кажеш: "Хей, Сал,
правиш го да изглежда лесно,

но как знаеш, че трябва
да разложиш 50 на 25 по 2?"

Защо не казах, че 50 е равно на
корен квадратен от 5 по 10?

Или, че 50 е равно на корен квадратен...
например от 1 и 50?

Не знам какви други множители съдържа 50.

Няма значение, не искам
да се задълбочавам в това.

Причината, поради която избрах 25 и 2,
е защото исках исках множители на 50...

Исках всъщност най-големият множител на 50,
който е точен квадрат.

Това е 25.

Ако бях избрал 5 и 10, действително нямаше
да има какво да правя с тях,

защото нито 5, нито 10 са точни квадрати,

същото е и с 1 и 50.

Начинът, по който трябва да мислиш за това,

е да търсиш множителите на оригиналното число,

които са точен квадрат.

Няма формула за това.

Трябва да се научиш да разпознаваш
точните квадрати.

И разбира се, ще започнеш да ги познаваш.

Те са 1, 4, 9, 25, 16, 25, 36, 49, 64 и т.н.

Когато минеш този дял, може би ще можеш
да ги разпознаваш по-лесно.

Но, ако някои от тези числа са множители
на числото под знака на радикала,

вероятно ще искаш да разложиш на тях.

След това ще можеш да ги изнесеш
извън знака на радикала,

както направихме в тази задача.

Нека направим още няколко.

Колко е 7 по корен квадратен от 27?

Когато напишеш точно до него 7,

това означава просто
по корен квадратен от 27.

Нека помислим кои са множителите на 27

и дали някой от тях е точен квадрат.

3 е множител на 27, но това
не е точен квадрат.

9 е.

Бихме могли да кажем...

това е равно на 7 по
корен квадратен от 9 по 3.

А сега на базата на правилата,
които научихме,

това е същото нещо като 7
по корен квадратен от 9

по корен квадратен от 3.

Това е равно на 7 по 3,
защото корен квадратен от 9 е 3,

по корен квадратен от 3.

Това е равно на 21
по корен квадратен от 3.

Готово.

Нека направим още един.

Колко е 9 по корен квадратен от 18?

Още един път – кои са множителите на 18?

Имаме ли 6 и 3?

1 и 18?

Никое от споменатите числа до тук
не е точен квадрат.

Но също така имаме 2 и 9.

9 е точен квадрат.

Нека напишем това.

Това е равно на 9 по
корен квадратен от 2 по 9.

Което е равно на 9
по корен квадратен от 2...

това е 2, по корен квадратен от 9.

Което е равно на 9 по
корен квадратен от 2 по 3, нали?

Това е корен квадратен от 9,
което е равно

на 27 по корен квадратен от 2.

Ето това е.

Надявам се, че вече схващаш цаката
на тези задачи.

Нека решим още една.

Колко е 4 по корен квадратен от 25?

25 само по себе си е точен квадрат.

Това е задача, която изглежда лесна,
но това е задача с уловка.

25 само по себе си
е точен квадрат.

Корен квадратен е 5,
това е равно просто на 4 по 5,

което е равно на 20.

Корен квадратен от 25 е 5.

Нека направим още една.

Колко е 3 по корен квадратен от 29?

29 има само 2 множителя.

Това е просто число.

Има за множители само 1 и 29.

И никое от тези числа
не е точен квадрат.

Действително не можем
повече да го опростим.

Това е вече в изцяло опростен вид.

Нека направим още няколко.

Колко е 7 по корен квадратен от 320?

Нека помислим за 320.

Когато имаме подобни големи числа,
може да се подходи по стъпки.

Мога да го погледна и да кажа:
изглежда като 4...

всъщност изглежда като 16 , може да се раздели,
защото 16 се съдържа в 32.

Нека опитаме това.

Това е равно на 7 по
корен квадратен от 16 по 20.

Това е равно на 7
по корен квадратен от 16

по корен квадратен от 20.

7 по корен квадратен от 16.

Корен квадратен от 16 е 4.

7 по 4 е 28.

Това е 28 по корен квадратен от 20.

Готови ли сме сега?

Мисля, че мога да разложа
20 още малко,

защото 20 е равно на 4 по 5.

Мога да кажа, това е равно на 28
по корен квадратен от 4 по 5.

Корен квадратен от 4 е 2,
изнасяме 2

и се получава 56 по корен квадратен от 5.

Надявам се да има логика за теб.

Всъщност това е доста важна техника,

която приложих тук преди малко.

Щом погледна 320, в първия момент

не знам кое е най-голямото число,
на което се дели на 320.

Оказва се, че е 64.

Но поглеждайки числото, си казах:
"Знам, че се дели на 4."

Можех просто да изнеса 4,

после да кажа:
"О, това е равно на 4 по 80."

После щях да работя с 80.

В този случай видях 32 и ми се стори,
че сякаш се дели на 16

и първо изнесох 16.

Когато изнесох корен квадратен от 16,
умножих това отвън по 4

и така получих 28.

Но след това намалих числото вътре и казах:

"Това все още може
да се раздели на точен квадрат.

Може да се раздели на 4."
И след това продължих,

докато ми остана просто число под корена,
което не може да се разлага повече.

Но не е задължително
да е просто число.

Надявам се, че това да ти дава добра представа
как да извършваш опростяване на радикали.

Това е просто продължение на свойствата
на степените, както вече научихме.

Надявам се да се усвоиш това,
като преминеш целия модул.

Забавлявай се!