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무한 호텔의 역설 - 제프 데코프스키 (Jeff Dekofsky)

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    1920년대,
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    독일 수학자인 데이비드 힐베르트는
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    유명한 사고 실험을 고안해 냈습니다.
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    이 실험은 우리가 무한의 개념을 이해하는 것이
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    얼마나 힘든 도전인지를 보여주죠.
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    무한개의 방을 가진 호텔, 그리고 매우 근면한
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    야간 근무 지배인을 상상해 봅시다.
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    어느날 밤, 이 무한 호텔이 꽉 차게 되었습니다.
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    무한히 많은 손님들이 모두 예약을 했던거죠.
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    이 때 손님 한명이 걸어 들어와
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    방을 요구합니다.
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    그를 돌려보내는 대신
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    이 호텔 지배인은 빈방을 만들어내기로 했습니다.
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    어떻게 일까요?
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    쉽습니다. 그는 1호실 손님에게
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    2호실로 옮겨달라고 양해를 구했습니다.
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    2호실 손님은 3호실으로
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    그렇게 나아갔죠.
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    n호실에 있던 손님들이 모두
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    n+1호실으로 옮겨 주었습니다.
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    무한개의 방이 있었기 때문에
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    호텔에 묵던 각각의 손님들에게
    새로운 방이 주어졌고
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    이제 1호실은 비어서, 새로운 손님을 맞았죠.
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    이 과정은 유한한 숫자의 손님이
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    새로 들어올 때 반복할 수 있어요.
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    만약 관광버스가
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    빈 방을 찾는 40명의 손님을 태우고 왔다면
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    원래 묵고 있던 손님들에게
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    n호실에서
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    n+40호실로 옮겨달라고 하면 되죠.
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    그러면 맨 앞의 40개의 빈 방이 생깁니다.
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    그런데 이번엔 무한히 긴 버스가
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    무한히 셀 수 있는 숫자의
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    승객들을 내려 놓고 떠났네요?
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    무한히 "셀 수 있다" 는 것이 핵심입니다.
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    무한한 승객들이 탄 무한한 버스가
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    이 지배인을 당황시켰지만,
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    새로운 손님을 맞이할 방법을 생각해냈습니다.
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    무한한 손님이 두배가 되었으니까
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    그는 1호실 손님에게
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    2호실로,
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    2호실 손님에게는
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    4호실로,
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    3호실 손님에게는
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    6호실로 옮겨달라고 요청합니다.
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    그렇게 나아갔죠.
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    각각의 투숙객은 n호실에서
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    2n호실로 옮겨갔습니다.
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    오직 짝수 호실만 채워졌기 떄문에
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    이제 무한히 많은 수의 홀수 객실이
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    비게 되었습니다.
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    바로 무한한 버스의
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    승객들이 투숙할 방이죠.
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    모두들 행복해 했고, 호텔 사업은
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    그 어느때보다 호황을 누리게 되었습니다.
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    네 정말로 호황을 누렸어요.
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    지금까지 한번도 이런 호텔은 없었어요.
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    하룻밤에 무한한 양의 돈을 벌어들였죠.
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    이 믿기 힘든 호텔은 명성이 자자해져서
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    아주 먼 곳에서부터
    사람들이 쏟아져 들어왔습니다.
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    하루는 생각지도 못한 일이 벌어졌어요.
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    호텔 지배인이 밖을 내다보는데,
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    무한히 큰 버스들이
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    무한히 줄을 서있었답니다.
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    각각은 무한히 셀 수 있는 숫자의
    승객들을 싣고 있었죠.
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    이제 어떻게 해야 하죠?
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    그들을 위한 방을 어떻게 만들어내지요?
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    이제 호텔은 무한한 양의 돈을
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    잃게 되고 말겁니다.
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    물론 그는 직장에서 쫓겨날테죠.
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    운좋게도 그는
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    기원전 300년 유클리드의 증명을 기억해냈습니다.
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    소수는 그 개수가
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    무한하다는 것이죠.
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    그래서, 지친 여행자들이 탄
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    무한한 버스의 무한한 승객들에게
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    무한히 많은 방을 제공하는,
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    성공 불가능해 보이는 일을 시작했어요.
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    지금 호텔에 묵고있는 숙박객들에게
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    첫번째 소수인 2에
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    지금 묵고 있는 방의 숫자를 제곱합니다.
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    그러니까 지금 7호실에 묵고있는 손님은
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    2의 7제곱번째 객실로 가게되죠.
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    128호실이에요.
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    그리고 나서 호텔 관리인은 첫째 무한 버스의
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    승객들을 맞이하면서
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    그들에게
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    그 다음 소수인 3을 부여하고
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    3에 그들의 좌석 번호를 제곱합니다.
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    7번 좌석에 앉았던 승객은
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    3의 7제곱 호실로 갑니다.
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    2187호실이죠.
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    이렇게 첫번째 버스의 승객들을 투숙시키고,
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    두번째 버스의 승객들은
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    다음 소수인 5에 제곱을 하고,
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    그 다음은 7의 제곱을 하죠.
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    각각의 버스는 이어서
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    11의 제곱
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    13의 제곱
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    17의 제곱 등등으로 곱합니다.
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    이 숫자들은
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    그들의 소수에
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    오로지 1과 자연수의 제곱만 하기 때문에
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    방 숫자가 겹칠 일은 없습니다.
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    모든 버스 승객들은 고유의 소수를 이용해
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    방을 배정 받는 전략을 통해
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    방으로 흩어져 들어가게 됩니다.
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    이 방법으로 호텔 지배인은
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    모든 버스의 모든 승객들을 수용할 수 있습니다.
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    많은 빈방이 생겨났지만 말이죠.
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    6호실 처럼요.
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    6은 어떤 소수의 제곱도 아니죠.
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    그의 상사가 수학을 못하길 천만 다행이죠?
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    그는 직업을 지켜냈습니다.
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    이 호텔 지배인의 "무한 호텔"은
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    분명히 논리학의 악몽이라
    할 수 있을 정도인데요,
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    이것이 가능했던 것은
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    낮은 급의 무한에 관해서만 다루기 때문입니다.
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    즉, 주로 셀 수 있는 무한인
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    자연수에 관해서죠.
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    1,2,3,4,그리고 계속 나아가요.
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    조지 칸토어는 이러한 급의 무한을
    '알레프 0' 이라 불렀습니다.
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    우리는 자연수를 방 번호로 사용하고
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    버스의 좌석 번호에도 사용하죠.
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    우리가 더 높은 수준의 무한을 다룬다면,
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    즉, '실수'를 예로 들면
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    호텔 지배인의 구조화된 전략은
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    모든 수를 조직적으로 포함할 수 있는
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    방법이 없기 때문에
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    더 이상 가능하지 않습니다.
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    무한한 '실수' 호텔에는
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    지하의 음수 호실과
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    분수 호실이 생겨납니다.
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    2분의 1호실에 있는 투숙객은 자신이
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    1호실 보다 작은 방을 받았는지 의심하고
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    제곱근 방, 예를 들어 2의 거듭제곱근 호실,
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    파이(π) 호실,
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    이 곳은 공짜 후식이 제공되는 방이죠.
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    아무리 무한한 월급을 받는다 하더라도
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    자존심이 있는 호텔 관리인이라면
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    이런 호텔에서 일하고 싶겠어요?
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    하지만 절대로 빈방이 없고
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    언제나 더 많은 방이 있는
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    힐베르트의 무한 호텔을 찾는다면,
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    지금껏 맛보지 못한 기쁨을 얻게 될겁니다.
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    그리고 아마도 친절한 호텔 지배인은
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    우리에게
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    상대적으로 한정된 사고로
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    무한과 같은 큰 개념을 이해하는것이
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    얼마나 힘든지 알려줄 겁니다.
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    어쩌면 여러분은 한숨 깊이 잔 다음에
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    이 문제들을 해결할 수도 있겠죠.
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    그러고 보니 지금 새벽 두시인데
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    방 좀 다른 곳으로 옮겨주시겠어요?
Title:
무한 호텔의 역설 - 제프 데코프스키 (Jeff Dekofsky)
Speaker:
Jeff Dekofsky
Description:

전체 강연 보기: http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekosky

독일의 수학자 데이비드 힐베르트의 "무한 호텔"이라는 사고 실험은 무한한 개수의 방을 가진 호텔에 관한 것입니다. 쉽죠? 그런데, 만약 무한한 손님들로 예약이 꽉 찼는데 한 손님이 또 찾아왔다면? 40명의 새로운 손님은 어떤가요? 또는 무한히 가득찬 사람들을 태운 버스가 도착했다면요? 제프 데코프스키가 이 골치아픈 숙소 문제를 힐베르트 역설을 이용하여 설명해 줍니다.

설명: 제프 데코프스키(Jeff Dekofsky)
에니메이션: 무빙컴퍼니 에니메이션 스튜디오(The Moving Company Animation Studio)
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
06:00

  • nuri sim

    떄라고 잘못 입력된 부분이 몇군데 있습니다.
    5:24에 해당하는 곳에도 오탈자 하나 있고요.
    수학자 이름을 한국에서는 칸토어라고 하는데 조지 칸토어라고 수정하는게 어떨까 싶어요.
    칸토라고 하면 우리나라 웹사이트에서 검색이 되지 않아요.^^

  • K Bang

    깔끔하게 번역되었습니다. 다만, 맛보다와 같은 소소한 오타는 수정했습니다. 소수나 내용의 설명(1x2 등)은 불필요하여 삭제한 부분이 있고 수준은 급으로 바꿔봤습니다. 수고하셨습니다.

Korean subtitles

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