1
00:00:06,531 --> 00:00:07,715
1920년대,

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,208
독일 수학자인 데이비드 힐베르트는

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
유명한 사고 실험을 고안해 냈습니다.

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,215
이 실험은 우리가 무한의 개념을 이해하는 것이

5
00:00:14,215 --> 00:00:18,170
얼마나 힘든 도전인지를 보여주죠.

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
무한개의 방을 가진 호텔, 그리고 매우 근면한

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
야간 근무 지배인을 상상해 봅시다.

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
어느날 밤, 이 무한 호텔이 꽉 차게 되었습니다.

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
무한히 많은 손님들이 모두 예약을 했던거죠.

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,418
이 때 손님 한명이 걸어 들어와

11
00:00:32,418 --> 00:00:33,934
방을 요구합니다.

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
그를 돌려보내는 대신

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
이 호텔 지배인은 빈방을 만들어내기로 했습니다.

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
어떻게 일까요?

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
쉽습니다. 그는 1호실 손님에게

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,325
2호실로 옮겨달라고 양해를 구했습니다.

17
00:00:43,325 --> 00:00:46,080
2호실 손님은 3호실으로

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
그렇게 나아갔죠.

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
n호실에 있던 손님들이 모두

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,203
n+1호실으로 옮겨 주었습니다.

21
00:00:52,203 --> 00:00:54,412
무한개의 방이 있었기 때문에

22
00:00:54,412 --> 00:00:57,033
호텔에 묵던 각각의 손님들에게
새로운 방이 주어졌고

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,784
이제 1호실은 비어서, 새로운 손님을 맞았죠.

24
00:00:59,784 --> 00:01:01,029
이 과정은 유한한 숫자의 손님이

25
00:01:01,029 --> 00:01:03,535
새로 들어올 때 반복할 수 있어요.

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,388
만약 관광버스가

27
00:01:05,388 --> 00:01:07,553
빈 방을 찾는 40명의 손님을 태우고 왔다면

28
00:01:07,553 --> 00:01:09,666
원래 묵고 있던 손님들에게

29
00:01:09,666 --> 00:01:11,004
n호실에서

30
00:01:11,004 --> 00:01:13,662
n+40호실로 옮겨달라고 하면 되죠.

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
그러면 맨 앞의 40개의 빈 방이 생깁니다.

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
그런데 이번엔 무한히 긴 버스가

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,768
무한히 셀 수 있는 숫자의

34
00:01:21,768 --> 00:01:23,697
승객들을 내려 놓고 떠났네요?

35
00:01:23,697 --> 00:01:25,920
무한히 "셀 수 있다" 는 것이 핵심입니다.

36
00:01:25,920 --> 00:01:28,225
무한한 승객들이 탄 무한한 버스가

37
00:01:28,225 --> 00:01:30,542
이 지배인을 당황시켰지만,

38
00:01:30,542 --> 00:01:32,034
새로운 손님을 맞이할 방법을 생각해냈습니다.

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,373
무한한 손님이 두배가 되었으니까

40
00:01:33,373 --> 00:01:34,994
그는 1호실 손님에게

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
2호실로,

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
2호실 손님에게는

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
4호실로,

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
3호실 손님에게는

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
6호실로 옮겨달라고 요청합니다.

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
그렇게 나아갔죠.

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
각각의 투숙객은 n호실에서

48
00:01:47,337 --> 00:01:50,533
2n호실로 옮겨갔습니다.

49
00:01:50,533 --> 00:01:54,084
오직 짝수 호실만 채워졌기 떄문에

50
00:01:54,084 --> 00:01:55,953
이제 무한히 많은 수의 홀수 객실이

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,891
비게 되었습니다.

52
00:01:58,891 --> 00:02:00,309
바로 무한한 버스의

53
00:02:00,309 --> 00:02:02,828
승객들이 투숙할 방이죠.

54
00:02:02,828 --> 00:02:05,111
모두들 행복해 했고, 호텔 사업은

55
00:02:05,111 --> 00:02:06,899
그 어느때보다 호황을 누리게 되었습니다.

56
00:02:06,899 --> 00:02:08,402
네 정말로 호황을 누렸어요.

57
00:02:08,402 --> 00:02:10,440
지금까지 한번도 이런 호텔은 없었어요.

58
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
하룻밤에 무한한 양의 돈을 벌어들였죠.

59
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
이 믿기 힘든 호텔은 명성이 자자해져서

60
00:02:16,379 --> 00:02:18,568
아주 먼 곳에서부터
사람들이 쏟아져 들어왔습니다.

61
00:02:18,568 --> 00:02:20,866
하루는 생각지도 못한 일이 벌어졌어요.

62
00:02:20,866 --> 00:02:23,431
호텔 지배인이 밖을 내다보는데,

63
00:02:23,431 --> 00:02:25,061
무한히 큰 버스들이

64
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
무한히 줄을 서있었답니다.

65
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
각각은 무한히 셀 수 있는 숫자의
승객들을 싣고 있었죠.

66
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
이제 어떻게 해야 하죠?

67
00:02:31,410 --> 00:02:32,913
그들을 위한 방을 어떻게 만들어내지요?

68
00:02:32,913 --> 00:02:34,231
이제 호텔은 무한한 양의 돈을

69
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
잃게 되고 말겁니다.

70
00:02:35,982 --> 00:02:37,979
물론 그는 직장에서 쫓겨날테죠.

71
00:02:37,979 --> 00:02:39,083
운좋게도 그는

72
00:02:39,083 --> 00:02:41,814
기원전 300년 유클리드의 증명을 기억해냈습니다.

73
00:02:41,814 --> 00:02:44,750
소수는 그 개수가

74
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
무한하다는 것이죠.

75
00:02:47,215 --> 00:02:49,684
그래서, 지친 여행자들이 탄

76
00:02:49,684 --> 00:02:51,005
무한한 버스의 무한한 승객들에게

77
00:02:51,005 --> 00:02:52,309
무한히 많은 방을 제공하는,

78
00:02:52,309 --> 00:02:54,315
성공 불가능해 보이는 일을 시작했어요.

79
00:02:54,315 --> 00:02:56,607
지금 호텔에 묵고있는 숙박객들에게

80
00:02:56,607 --> 00:02:59,066
첫번째 소수인 2에

81
00:02:59,066 --> 00:03:01,891
지금 묵고 있는 방의 숫자를 제곱합니다.

82
00:03:01,891 --> 00:03:04,559
그러니까 지금 7호실에 묵고있는 손님은

83
00:03:04,559 --> 00:03:07,565
2의 7제곱번째 객실로 가게되죠.

84
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
128호실이에요.

85
00:03:09,930 --> 00:03:11,643
그리고 나서 호텔 관리인은 첫째 무한 버스의

86
00:03:11,643 --> 00:03:13,781
승객들을 맞이하면서

87
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
그들에게

88
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
그 다음 소수인 3을 부여하고

89
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
3에 그들의 좌석 번호를 제곱합니다.

90
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
7번 좌석에 앉았던 승객은

91
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
3의 7제곱 호실로 갑니다.

92
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
2187호실이죠.

93
00:03:31,634 --> 00:03:34,093
이렇게 첫번째 버스의 승객들을 투숙시키고,

94
00:03:34,093 --> 00:03:35,765
두번째 버스의 승객들은

95
00:03:35,765 --> 00:03:39,434
다음 소수인 5에 제곱을 하고,

96
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
그 다음은 7의 제곱을 하죠.

97
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
각각의 버스는 이어서

98
00:03:42,945 --> 00:03:43,767
11의 제곱

99
00:03:43,767 --> 00:03:44,770
13의 제곱

100
00:03:44,770 --> 00:03:47,190
17의 제곱 등등으로 곱합니다.

101
00:03:47,190 --> 00:03:48,318
이 숫자들은

102
00:03:48,318 --> 00:03:50,992
그들의 소수에

103
00:03:50,992 --> 00:03:53,237
오로지 1과 자연수의 제곱만 하기 때문에

104
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
방 숫자가 겹칠 일은 없습니다.

105
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
모든 버스 승객들은 고유의 소수를 이용해

106
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
방을 배정 받는 전략을 통해

107
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
방으로 흩어져 들어가게 됩니다.

108
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
이 방법으로 호텔 지배인은

109
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
모든 버스의 모든 승객들을 수용할 수 있습니다.

110
00:04:07,870 --> 00:04:10,806
많은 빈방이 생겨났지만 말이죠.

111
00:04:10,806 --> 00:04:11,897
6호실 처럼요.

112
00:04:11,897 --> 00:04:15,119
6은 어떤 소수의 제곱도 아니죠.

113
00:04:15,119 --> 00:04:17,536
그의 상사가 수학을 못하길 천만 다행이죠?

114
00:04:17,536 --> 00:04:19,178
그는 직업을 지켜냈습니다.

115
00:04:19,178 --> 00:04:22,031
이 호텔 지배인의 "무한 호텔"은

116
00:04:22,031 --> 00:04:23,983
분명히 논리학의 악몽이라
할 수 있을 정도인데요,

117
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
이것이 가능했던 것은

118
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
낮은 급의 무한에 관해서만 다루기 때문입니다.

119
00:04:29,981 --> 00:04:31,746
즉, 주로 셀 수 있는 무한인

120
00:04:31,746 --> 00:04:33,537
자연수에 관해서죠.

121
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
1,2,3,4,그리고 계속 나아가요.

122
00:04:36,618 --> 00:04:40,537
조지 칸토어는 이러한 급의 무한을
'알레프 0' 이라 불렀습니다.

123
00:04:40,537 --> 00:04:42,665
우리는 자연수를 방 번호로 사용하고

124
00:04:42,665 --> 00:04:44,787
버스의 좌석 번호에도 사용하죠.

125
00:04:45,633 --> 00:04:48,176
우리가 더 높은 수준의 무한을 다룬다면,

126
00:04:48,176 --> 00:04:49,727
즉, '실수'를 예로 들면

127
00:04:49,727 --> 00:04:51,097
호텔 지배인의 구조화된 전략은

128
00:04:51,097 --> 00:04:52,564
모든 수를 조직적으로 포함할 수 있는

129
00:04:52,564 --> 00:04:53,850
방법이 없기 때문에

130
00:04:53,850 --> 00:04:56,570
더 이상 가능하지 않습니다.

131
00:04:56,570 --> 00:04:58,922
무한한 '실수' 호텔에는

132
00:04:58,922 --> 00:05:00,929
지하의 음수 호실과

133
00:05:00,929 --> 00:05:02,388
분수 호실이 생겨납니다.

134
00:05:02,388 --> 00:05:04,508
2분의 1호실에 있는 투숙객은 자신이

135
00:05:04,508 --> 00:05:07,205
1호실 보다 작은 방을 받았는지 의심하고

136
00:05:07,205 --> 00:05:10,332
제곱근 방, 예를 들어 2의 거듭제곱근 호실,

137
00:05:10,332 --> 00:05:11,462
파이(π) 호실,

138
00:05:11,462 --> 00:05:14,349
이 곳은 공짜 후식이 제공되는 방이죠.

139
00:05:14,349 --> 00:05:15,869
아무리 무한한 월급을 받는다 하더라도

140
00:05:15,869 --> 00:05:17,172
자존심이 있는 호텔 관리인이라면

141
00:05:17,172 --> 00:05:19,490
이런 호텔에서 일하고 싶겠어요?

142
00:05:19,490 --> 00:05:20,797
하지만 절대로 빈방이 없고

143
00:05:20,797 --> 00:05:22,261
언제나 더 많은 방이 있는

144
00:05:22,261 --> 00:05:23,881
힐베르트의 무한 호텔을 찾는다면,

145
00:05:23,881 --> 00:05:26,950
지금껏 맛보지 못한 기쁨을 얻게 될겁니다.

146
00:05:26,950 --> 00:05:28,720
그리고 아마도 친절한 호텔 지배인은

147
00:05:28,720 --> 00:05:29,804
우리에게

148
00:05:29,804 --> 00:05:31,150
상대적으로 한정된 사고로

149
00:05:31,150 --> 00:05:33,320
무한과 같은 큰 개념을 이해하는것이

150
00:05:33,320 --> 00:05:37,092
얼마나 힘든지 알려줄 겁니다.

151
00:05:37,092 --> 00:05:38,695
어쩌면 여러분은 한숨 깊이 잔 다음에

152
00:05:38,695 --> 00:05:40,427
이 문제들을 해결할 수도 있겠죠.

153
00:05:40,427 --> 00:05:42,300
그러고 보니 지금 새벽 두시인데

154
00:05:42,300 --> 00:05:44,701
방 좀 다른 곳으로 옮겨주시겠어요?