WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.715
1920년대,

00:00:07.715 --> 00:00:10.208
독일 수학자인 데이비드 힐베르트는

00:00:10.208 --> 00:00:12.461
유명한 사고 실험을 고안해 냈습니다.

00:00:12.461 --> 00:00:14.215
이 실험은 우리가 무한의 개념을 이해하는 것이

00:00:14.215 --> 00:00:18.170
얼마나 힘든 도전인지를 보여주죠.

00:00:18.170 --> 00:00:21.683
무한개의 방을 가진 호텔, 그리고 매우 근면한

00:00:21.683 --> 00:00:24.291
야간 근무 지배인을 상상해 봅시다.

00:00:24.291 --> 00:00:27.547
어느날 밤, 이 무한 호텔이 꽉 차게 되었습니다.

00:00:27.547 --> 00:00:31.110
무한히 많은 손님들이 모두 예약을 했던거죠.

00:00:31.110 --> 00:00:32.418
이 때 손님 한명이 걸어 들어와

00:00:32.418 --> 00:00:33.934
방을 요구합니다.

00:00:33.934 --> 00:00:35.468
그를 돌려보내는 대신

00:00:35.468 --> 00:00:37.910
이 호텔 지배인은 빈방을 만들어내기로 했습니다.

00:00:37.910 --> 00:00:38.689
어떻게 일까요?

00:00:38.689 --> 00:00:41.659
쉽습니다. 그는 1호실 손님에게

00:00:41.659 --> 00:00:43.325
2호실로 옮겨달라고 양해를 구했습니다.

00:00:43.325 --> 00:00:46.080
2호실 손님은 3호실으로

00:00:46.080 --> 00:00:47.162
그렇게 나아갔죠.

00:00:47.162 --> 00:00:49.862
n호실에 있던 손님들이 모두

00:00:49.862 --> 00:00:52.203
n+1호실으로 옮겨 주었습니다.

00:00:52.203 --> 00:00:54.412
무한개의 방이 있었기 때문에

00:00:54.412 --> 00:00:57.033
호텔에 묵던 각각의 손님들에게
새로운 방이 주어졌고

00:00:57.033 --> 00:00:59.784
이제 1호실은 비어서, 새로운 손님을 맞았죠.

00:00:59.784 --> 00:01:01.029
이 과정은 유한한 숫자의 손님이

00:01:01.029 --> 00:01:03.535
새로 들어올 때 반복할 수 있어요.

00:01:03.535 --> 00:01:05.388
만약 관광버스가

00:01:05.388 --> 00:01:07.553
빈 방을 찾는 40명의 손님을 태우고 왔다면

00:01:07.553 --> 00:01:09.666
원래 묵고 있던 손님들에게

00:01:09.666 --> 00:01:11.004
n호실에서

00:01:11.004 --> 00:01:13.662
n+40호실로 옮겨달라고 하면 되죠.

00:01:13.662 --> 00:01:16.790
그러면 맨 앞의 40개의 빈 방이 생깁니다.

00:01:16.790 --> 00:01:19.195
그런데 이번엔 무한히 긴 버스가

00:01:19.195 --> 00:01:21.768
무한히 셀 수 있는 숫자의

00:01:21.768 --> 00:01:23.697
승객들을 내려 놓고 떠났네요?

00:01:23.697 --> 00:01:25.920
무한히 "셀 수 있다" 는 것이 핵심입니다.

00:01:25.920 --> 00:01:28.225
무한한 승객들이 탄 무한한 버스가

00:01:28.225 --> 00:01:30.542
이 지배인을 당황시켰지만,

00:01:30.542 --> 00:01:32.034
새로운 손님을 맞이할 방법을 생각해냈습니다.

00:01:32.034 --> 00:01:33.373
무한한 손님이 두배가 되었으니까

00:01:33.373 --> 00:01:34.994
그는 1호실 손님에게

00:01:34.994 --> 00:01:36.415
2호실로,

00:01:36.415 --> 00:01:38.551
2호실 손님에게는

00:01:38.551 --> 00:01:40.459
4호실로,

00:01:40.459 --> 00:01:41.540
3호실 손님에게는

00:01:41.540 --> 00:01:42.833
6호실로 옮겨달라고 요청합니다.

00:01:42.833 --> 00:01:44.129
그렇게 나아갔죠.

00:01:44.129 --> 00:01:47.337
각각의 투숙객은 n호실에서

00:01:47.337 --> 00:01:50.533
2n호실로 옮겨갔습니다.

00:01:50.533 --> 00:01:54.084
오직 짝수 호실만 채워졌기 떄문에

00:01:54.084 --> 00:01:55.953
이제 무한히 많은 수의 홀수 객실이

00:01:55.953 --> 00:01:58.891
비게 되었습니다.

00:01:58.891 --> 00:02:00.309
바로 무한한 버스의

00:02:00.309 --> 00:02:02.828
승객들이 투숙할 방이죠.

00:02:02.828 --> 00:02:05.111
모두들 행복해 했고, 호텔 사업은

00:02:05.111 --> 00:02:06.899
그 어느때보다 호황을 누리게 되었습니다.

00:02:06.899 --> 00:02:08.402
네 정말로 호황을 누렸어요.

00:02:08.402 --> 00:02:10.440
지금까지 한번도 이런 호텔은 없었어요.

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
하룻밤에 무한한 양의 돈을 벌어들였죠.

00:02:13.723 --> 00:02:16.379
이 믿기 힘든 호텔은 명성이 자자해져서

00:02:16.379 --> 00:02:18.568
아주 먼 곳에서부터
사람들이 쏟아져 들어왔습니다.

00:02:18.568 --> 00:02:20.866
하루는 생각지도 못한 일이 벌어졌어요.

00:02:20.866 --> 00:02:23.431
호텔 지배인이 밖을 내다보는데,

00:02:23.431 --> 00:02:25.061
무한히 큰 버스들이

00:02:25.061 --> 00:02:27.541
무한히 줄을 서있었답니다.

00:02:27.541 --> 00:02:30.353
각각은 무한히 셀 수 있는 숫자의
승객들을 싣고 있었죠.

00:02:30.353 --> 00:02:31.410
이제 어떻게 해야 하죠?

00:02:31.410 --> 00:02:32.913
그들을 위한 방을 어떻게 만들어내지요?

00:02:32.913 --> 00:02:34.231
이제 호텔은 무한한 양의 돈을

00:02:34.231 --> 00:02:35.982
잃게 되고 말겁니다.

00:02:35.982 --> 00:02:37.979
물론 그는 직장에서 쫓겨날테죠.

00:02:37.979 --> 00:02:39.083
운좋게도 그는

00:02:39.083 --> 00:02:41.814
기원전 300년 유클리드의 증명을 기억해냈습니다.

00:02:41.814 --> 00:02:44.750
소수는 그 개수가

00:02:44.750 --> 00:02:47.215
무한하다는 것이죠.

00:02:47.215 --> 00:02:49.684
그래서, 지친 여행자들이 탄

00:02:49.684 --> 00:02:51.005
무한한 버스의 무한한 승객들에게

00:02:51.005 --> 00:02:52.309
무한히 많은 방을 제공하는,

00:02:52.309 --> 00:02:54.315
성공 불가능해 보이는 일을 시작했어요.

00:02:54.315 --> 00:02:56.607
지금 호텔에 묵고있는 숙박객들에게

00:02:56.607 --> 00:02:59.066
첫번째 소수인 2에

00:02:59.066 --> 00:03:01.891
지금 묵고 있는 방의 숫자를 제곱합니다.

00:03:01.891 --> 00:03:04.559
그러니까 지금 7호실에 묵고있는 손님은

00:03:04.559 --> 00:03:07.565
2의 7제곱번째 객실로 가게되죠.

00:03:07.565 --> 00:03:09.930
128호실이에요.

00:03:09.930 --> 00:03:11.643
그리고 나서 호텔 관리인은 첫째 무한 버스의

00:03:11.643 --> 00:03:13.781
승객들을 맞이하면서

00:03:13.781 --> 00:03:15.830
그들에게

00:03:15.830 --> 00:03:18.315
그 다음 소수인 3을 부여하고

00:03:18.315 --> 00:03:21.752
3에 그들의 좌석 번호를 제곱합니다.

00:03:21.752 --> 00:03:25.283
7번 좌석에 앉았던 승객은

00:03:25.283 --> 00:03:28.384
3의 7제곱 호실로 갑니다.

00:03:28.384 --> 00:03:31.634
2187호실이죠.

00:03:31.634 --> 00:03:34.093
이렇게 첫번째 버스의 승객들을 투숙시키고,

00:03:34.093 --> 00:03:35.765
두번째 버스의 승객들은

00:03:35.765 --> 00:03:39.434
다음 소수인 5에 제곱을 하고,

00:03:39.434 --> 00:03:41.517
그 다음은 7의 제곱을 하죠.

00:03:41.517 --> 00:03:42.945
각각의 버스는 이어서

00:03:42.945 --> 00:03:43.767
11의 제곱

00:03:43.767 --> 00:03:44.770
13의 제곱

00:03:44.770 --> 00:03:47.190
17의 제곱 등등으로 곱합니다.

00:03:47.190 --> 00:03:48.318
이 숫자들은

00:03:48.318 --> 00:03:50.992
그들의 소수에

00:03:50.992 --> 00:03:53.237
오로지 1과 자연수의 제곱만 하기 때문에

00:03:53.237 --> 00:03:55.410
방 숫자가 겹칠 일은 없습니다.

00:03:55.410 --> 00:03:58.363
모든 버스 승객들은 고유의 소수를 이용해

00:03:58.363 --> 00:04:00.870
방을 배정 받는 전략을 통해

00:04:00.870 --> 00:04:03.510
방으로 흩어져 들어가게 됩니다.

00:04:03.510 --> 00:04:05.578
이 방법으로 호텔 지배인은

00:04:05.578 --> 00:04:07.870
모든 버스의 모든 승객들을 수용할 수 있습니다.

00:04:07.870 --> 00:04:10.806
많은 빈방이 생겨났지만 말이죠.

00:04:10.806 --> 00:04:11.897
6호실 처럼요.

00:04:11.897 --> 00:04:15.119
6은 어떤 소수의 제곱도 아니죠.

00:04:15.119 --> 00:04:17.536
그의 상사가 수학을 못하길 천만 다행이죠?

00:04:17.536 --> 00:04:19.178
그는 직업을 지켜냈습니다.

00:04:19.178 --> 00:04:22.031
이 호텔 지배인의 "무한 호텔"은

00:04:22.031 --> 00:04:23.983
분명히 논리학의 악몽이라
할 수 있을 정도인데요,

00:04:23.983 --> 00:04:26.204
이것이 가능했던 것은

00:04:26.204 --> 00:04:29.981
낮은 급의 무한에 관해서만 다루기 때문입니다.

00:04:29.981 --> 00:04:31.746
즉, 주로 셀 수 있는 무한인

00:04:31.746 --> 00:04:33.537
자연수에 관해서죠.

00:04:33.537 --> 00:04:36.618
1,2,3,4,그리고 계속 나아가요.

00:04:36.618 --> 00:04:40.537
조지 칸토어는 이러한 급의 무한을
'알레프 0' 이라 불렀습니다.

00:04:40.537 --> 00:04:42.665
우리는 자연수를 방 번호로 사용하고

00:04:42.665 --> 00:04:44.787
버스의 좌석 번호에도 사용하죠.

00:04:45.633 --> 00:04:48.176
우리가 더 높은 수준의 무한을 다룬다면,

00:04:48.176 --> 00:04:49.727
즉, '실수'를 예로 들면

00:04:49.727 --> 00:04:51.097
호텔 지배인의 구조화된 전략은

00:04:51.097 --> 00:04:52.564
모든 수를 조직적으로 포함할 수 있는

00:04:52.564 --> 00:04:53.850
방법이 없기 때문에

00:04:53.850 --> 00:04:56.570
더 이상 가능하지 않습니다.

00:04:56.570 --> 00:04:58.922
무한한 '실수' 호텔에는

00:04:58.922 --> 00:05:00.929
지하의 음수 호실과

00:05:00.929 --> 00:05:02.388
분수 호실이 생겨납니다.

00:05:02.388 --> 00:05:04.508
2분의 1호실에 있는 투숙객은 자신이

00:05:04.508 --> 00:05:07.205
1호실 보다 작은 방을 받았는지 의심하고

00:05:07.205 --> 00:05:10.332
제곱근 방, 예를 들어 2의 거듭제곱근 호실,

00:05:10.332 --> 00:05:11.462
파이(π) 호실,

00:05:11.462 --> 00:05:14.349
이 곳은 공짜 후식이 제공되는 방이죠.

00:05:14.349 --> 00:05:15.869
아무리 무한한 월급을 받는다 하더라도

00:05:15.869 --> 00:05:17.172
자존심이 있는 호텔 관리인이라면

00:05:17.172 --> 00:05:19.490
이런 호텔에서 일하고 싶겠어요?

00:05:19.490 --> 00:05:20.797
하지만 절대로 빈방이 없고

00:05:20.797 --> 00:05:22.261
언제나 더 많은 방이 있는

00:05:22.261 --> 00:05:23.881
힐베르트의 무한 호텔을 찾는다면,

00:05:23.881 --> 00:05:26.950
지금껏 맛보지 못한 기쁨을 얻게 될겁니다.

00:05:26.950 --> 00:05:28.720
그리고 아마도 친절한 호텔 지배인은

00:05:28.720 --> 00:05:29.804
우리에게

00:05:29.804 --> 00:05:31.150
상대적으로 한정된 사고로

00:05:31.150 --> 00:05:33.320
무한과 같은 큰 개념을 이해하는것이

00:05:33.320 --> 00:05:37.092
얼마나 힘든지 알려줄 겁니다.

00:05:37.092 --> 00:05:38.695
어쩌면 여러분은 한숨 깊이 잔 다음에

00:05:38.695 --> 00:05:40.427
이 문제들을 해결할 수도 있겠죠.

00:05:40.427 --> 00:05:42.300
그러고 보니 지금 새벽 두시인데

00:05:42.300 --> 00:05:44.701
방 좀 다른 곳으로 옮겨주시겠어요?