< Return to Video

Poisson Process 1

  • 0:00 - 0:03
    假設你是一個交通工程師
  • 0:01 - 0:15
    本字幕由網易公開課提供，更多課程請到http//open.163.com
  • 0:03 - 0:06
    想知道任意時刻通過街上某一點的車輛數
  • 0:06 - 0:08
    想知道任意時刻通過街上某一點的車輛數
  • 0:08 - 0:10
    想確定某一小時內100輛車或5輛車通過的機率
  • 0:10 - 0:14
    想確定某一小時內100輛車或5輛車通過的機率
  • 0:14 - 0:15
    最好的方式是先定義一個相關的隨機變數
  • 0:15 - 0:20
    最好的方式是先定義一個相關的隨機變數
  • 0:17 - 0:25
    網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open
  • 0:20 - 0:27
    假設它表示一個小時內通過車輛數
  • 0:27 - 0:30
    假設它表示一個小時內通過車輛數
  • 0:30 - 0:45
    oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org
  • 0:31 - 0:34
    然後求出該隨機變數的機率分布
  • 0:34 - 0:37
    然後求出該隨機變數的機率分布
  • 0:37 - 0:39
    這就能很容易求出
  • 0:39 - 0:41
    一小時內100輛車
  • 0:41 - 0:45
    或者其它數量的車經過的機率了
  • 0:45 - 0:48
    在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下
  • 0:48 - 0:50
    在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下
  • 0:50 - 0:52
    在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下
  • 0:52 - 0:54
    也就是
  • 0:54 - 0:58
    街上此點任意時刻的情況沒有差異
  • 0:58 - 0:59
    街上此點任意時刻的情況沒有差異
  • 0:59 - 1:01
    這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多
  • 1:01 - 1:03
    這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多
  • 1:03 - 1:06
    這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多
  • 1:06 - 1:08
    也許不用一小時 用一天更現實一點
  • 1:08 - 1:12
    也許不用一小時 用一天更現實一點
  • 1:12 - 1:14
    算了 不這麽說
  • 1:14 - 1:17
    這裡假設任意時刻
  • 1:17 - 1:19
    甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的
  • 1:19 - 1:22
    甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的
  • 1:22 - 1:25
    甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的
  • 1:25 - 1:27
    這是一種簡化假設
  • 1:27 - 1:32
    雖然不真實 但不妨就認爲是這樣
  • 1:32 - 1:34
    另一個假設是
  • 1:34 - 1:36
    一段時間的車流量對另一段時間沒有影響
  • 1:36 - 1:37
    一段時間的車流量對另一段時間沒有影響
  • 1:37 - 1:40
    就算一段時間的車流量少
  • 1:40 - 1:44
    不會影響到下一段時間的車流量
  • 1:44 - 1:47
    也就是說具有獨立性
  • 1:47 - 1:50
    這樣 我們就能用所學知識
  • 1:50 - 1:53
    對這種分布進行建模了
  • 1:53 - 1:55
    對於任何分布 我們可以首先估計均值
  • 1:55 - 1:59
    對於任何分布 我們可以首先估計均值
  • 1:59 - 2:03
    我們可以坐在路邊 觀察幾個小時的車流量
  • 2:03 - 2:05
    然後平均起來
  • 2:05 - 2:08
    這也許就是總體均值的很好估計值了
  • 2:08 - 2:10
    這也許就是總體均值的很好估計值了
  • 2:10 - 2:13
    這是一個隨機變數 所以也就是預定值
  • 2:13 - 2:16
    假設預定值的最好估計值是λ
  • 2:16 - 2:24
    假設預定值的最好估計值是λ
  • 2:24 - 2:27
    它可能是9輛車/小時
  • 2:27 - 2:30
    或者9.3輛車/小時
  • 2:30 - 2:32
    你可以在守候數百個小時 然後計數 取均值
  • 2:32 - 2:34
    你可以在守候數百個小時 然後計數 取均值
  • 2:34 - 2:37
    得到均值是9.3輛車/小時 這也許是很好的估計值
  • 2:37 - 2:40
    得到均值是9.3輛車/小時 這也許是很好的估計值
  • 2:40 - 2:45
    而我們已經知道二項分布
  • 2:45 - 2:50
    二項分布的預定值我們已經知道
  • 2:50 - 2:55
    它等於試驗的次數n…
  • 2:55 - 2:57
    這是隨機變數的基本組成
  • 2:57 - 2:59
    之前的影片中 我們用抛硬幣的例子
  • 2:59 - 3:00
    之前的影片中 我們用抛硬幣的例子
  • 3:00 - 3:03
    n也就是抛硬幣的次數
  • 3:03 - 3:07
    乘以每一次成功的機率p
  • 3:07 - 3:09
    這是二項式分布 也許交通情況也可以類似建模
  • 3:09 - 3:12
    這是二項式分布 也許交通情況也可以類似建模
  • 3:12 - 3:15
    這是一小時內經過的車輛數
  • 3:15 - 3:24
    也許我們可以說 λ輛車/小時等於…
  • 3:26 - 3:29
    假設試驗是每分鍾內是否有車通過 就像投硬幣
  • 3:29 - 3:31
    假設試驗是每分鍾內是否有車通過 就像投硬幣
  • 3:31 - 3:40
    那麽一小時有60分鍾 總共60次試驗
  • 3:40 - 3:43
    然後每一次成功的機率
  • 3:43 - 3:46
    由於這是二項分布
  • 3:46 - 3:54
    所以是λ/60輛車/分鍾
  • 3:54 - 3:55
    前面這是n 後面是機率p
  • 3:55 - 3:58
    前面這是n 後面是機率p
  • 3:58 - 4:00
    前面這是n 後面是機率p
  • 4:00 - 4:04
    這也許並非很糟糕的近似
  • 4:04 - 4:07
    由於是二項分布
  • 4:07 - 4:12
    隨機變數得到某個k值的機率
  • 4:12 - 4:16
    比如一小時內經過3輛車的機率
  • 4:16 - 4:21
    這也就是n… 也就是60
  • 4:21 - 4:27
    n選k 比如剛講的3輛車經過 乘以成功機率
  • 4:27 - 4:29
    即每分鍾內有車經過的機率 也就是λ/60
  • 4:29 - 4:35
    即每分鍾內有車經過的機率 也就是λ/60
  • 4:35 - 4:41
    該機率的k次方 乘以不成功
  • 4:41 - 4:46
    或者說無車經過的機率 的n-k次方
  • 4:46 - 4:50
    k次成功對應60-k次失敗 或者說無車經過
  • 4:50 - 4:52
    k次成功對應60-k次失敗 或者說無車經過
  • 4:52 - 4:55
    分成60個區間 然後看成二項分布是不錯的近似
  • 4:55 - 4:58
    分成60個區間 然後看成二項分布是不錯的近似
  • 4:58 - 5:00
    結果可能很合理 不過有個核心問題
  • 5:00 - 5:02
    結果可能很合理 不過有個核心問題
  • 5:02 - 5:06
    也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦
  • 5:06 - 5:09
    也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦
  • 5:09 - 5:11
    也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦
  • 5:11 - 5:14
    之前我們把有一輛車通過叫成功
  • 5:14 - 5:15
    之前我們把有一輛車通過叫成功
  • 5:15 - 5:18
    但沒有考慮到一分鍾內同時5車通過這樣的情況
  • 5:18 - 5:21
    但沒有考慮到一分鍾內同時5車通過這樣的情況
  • 5:21 - 5:23
    解決辦法是 分更多的區間
  • 5:23 - 5:26
    解決辦法是 分更多的區間
  • 5:26 - 5:31
    如果分鍾不行 我可以分成秒
  • 5:31 - 5:36
    這樣區間就不是60個 而是3600個
  • 5:36 - 5:39
    這樣區間就不是60個 而是3600個
  • 5:39 - 5:43
    k次成功的機率
  • 5:43 - 5:48
    成功也就是某一秒有車通過
  • 5:48 - 5:52
    這等於3600選k乘以某一秒有車通過的幾率…
  • 5:52 - 5:54
    這等於3600選k乘以某一秒有車通過的幾率…
  • 5:54 - 5:57
    也就是一小時內車通過的期望數量λ
  • 5:57 - 6:02
    除以一小時內的秒數 然後有k次成功
  • 6:02 - 6:06
    然後還有失敗 失敗機率是這麽多
  • 6:06 - 6:12
    總共是3600-k次失敗
  • 6:12 - 6:13
    這是更好的近似
  • 6:13 - 6:16
    這是更好的近似
  • 6:16 - 6:19
    但也有可能一秒鍾開過2輛車
  • 6:19 - 6:21
    你可能會說 繼續進行區間分割不就行了
  • 6:21 - 6:23
    你可能會說 繼續進行區間分割不就行了
  • 6:23 - 6:27
    讓這個數字越來越大 這種直觀感覺很對
  • 6:27 - 6:28
    讓這個數字越來越大 這種直觀感覺很對
  • 6:28 - 6:33
    一直下去就能得到泊松分布
  • 6:33 - 6:35
    一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套
  • 6:35 - 6:38
    一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套
  • 6:38 - 6:40
    一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套
  • 6:40 - 6:43
    而我這裡告訴你們 它其實就是來自二項分布
  • 6:43 - 6:45
    而我這裡告訴你們 它其實就是來自二項分布
  • 6:45 - 6:48
    而二項分布就是某種抛硬幣 這是一切的源頭
  • 6:48 - 6:50
    而二項分布就是某種抛硬幣 這是一切的源頭
  • 6:50 - 6:53
    在我證明… 先換個顏色
  • 6:53 - 6:55
    在我證明… 先換個顏色
  • 6:55 - 6:58
    在我證明區間個數趨近於無窮大時
  • 6:58 - 7:01
    在我證明區間個數趨近於無窮大時
  • 7:01 - 7:05
    這就是泊松分布之前
  • 7:05 - 7:09
    首先來複習一下手頭的數學工具
  • 7:09 - 7:12
    首先這個你們可能比較熟悉 也就是
  • 7:12 - 7:15
    首先這個你們可能比較熟悉 也就是
  • 7:15 - 7:25
    x趨於無窮大時 (1+a/x)的x次方極限是e的a次方
  • 7:25 - 7:31
    x趨於無窮大時 (1+a/x)的x次方極限是e的a次方
  • 7:31 - 7:38
    爲了證明這一點 我做一點簡單換元
  • 7:38 - 7:39
    爲了證明這一點 我做一點簡單換元
  • 7:39 - 7:47
    令1/n=a/x
  • 7:47 - 7:52
    於是x=na
  • 7:52 - 7:55
    x?1=na
  • 7:55 - 8:02
    因此x趨於無窮大時 n趨於什麽
  • 8:02 - 8:04
    因此x趨於無窮大時 n趨於什麽
  • 8:04 - 8:08
    n=x/a 所以n也趨於無窮
  • 8:08 - 8:10
    因此換元後 這等價於 求極限 n趨於∞
  • 8:10 - 8:16
    因此換元後 這等價於 求極限 n趨於∞
  • 8:16 - 8:21
    1+… a/x替換爲1/n
  • 8:21 - 8:26
    而x則替換爲na
  • 8:26 - 8:30
    於是這等價於 n趨於∞時
  • 8:30 - 8:39
    (1+1/n)的n次方的a次方的極限
  • 8:39 - 8:41
    a中不含n 所以也就是這個極限的a次方
  • 8:41 - 8:43
    a中不含n 所以也就是這個極限的a次方
  • 8:43 - 8:47
    也就是n趨於∞時(1+1/n)?的極限的a次方
  • 8:47 - 8:53
    也就是n趨於∞時(1+1/n)?的極限的a次方
  • 8:53 - 8:58
    (1+1/n)?的極限就是e的定義 講複利時我講過
  • 8:58 - 9:00
    (1+1/n)?的極限就是e的定義 講複利時我講過
  • 9:00 - 9:03
    你可以用計算器試試很大的n值 看是否得到e
  • 9:03 - 9:07
    你可以用計算器試試很大的n值 看是否得到e
  • 9:07 - 9:12
    裏面這個等於e 然後取a次冪
  • 9:12 - 9:14
    也就是e的a次方
  • 9:14 - 9:16
    因此這個極限等於e的a次方
  • 9:16 - 9:17
    因此這個極限等於e的a次方
  • 9:17 - 9:19
    另外一個我要講的工具也許要在下一節才能證明
  • 9:19 - 9:22
    另外一個我要講的工具也許要在下一節才能證明
  • 9:22 - 9:32
    也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)
  • 9:32 - 9:42
    也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)
  • 9:42 - 9:50
    也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)
  • 9:50 - 9:51
    我們做過很多次 但沒有寫得這麽抽象過
  • 9:51 - 9:53
    我們做過很多次 但沒有寫得這麽抽象過
  • 9:53 - 9:55
    這裡正好是k項
  • 9:55 - 9:57
    這裡正好是k項
  • 9:57 - 10:01
    1 2 3一直到第k項
  • 10:01 - 10:04
    1 2 3一直到第k項
  • 10:04 - 10:07
    這對泊松分布的推導很重要
  • 10:07 - 10:09
    這對泊松分布的推導很重要
  • 10:09 - 10:16
    我舉個實際例子 比如7!/(7-2)!
  • 10:16 - 10:24
    這等於7?6?5?4?3?2?1
  • 10:24 - 10:28
    除以5的階乘
  • 10:28 - 10:33
    即除以5?4?3?2?1
  • 10:33 - 10:37
    約去後只剩下7?6
  • 10:37 - 10:47
    首先是7 最後項是7-2+1 即6
  • 10:47 - 10:51
    此時k=2 正好2項
  • 10:51 - 10:53
    下一節再來推導泊松分布 再見
  • 10:53 - 10:55
    下一節再來推導泊松分布 再見
  • 10:55 - 10:59
    下一節再來推導泊松分布 再見
Title:
Poisson Process 1
Description:

Introduction to Poisson Processes and the Poisson Distribution.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:01
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.