1
00:00:00,080 --> 00:00:03,050
假設你是一個交通工程師

2
00:00:03,050 --> 00:00:06,080
想知道任意時刻通過街上某一點的車輛數

3
00:00:06,080 --> 00:00:08,030
想知道任意時刻通過街上某一點的車輛數

4
00:00:08,030 --> 00:00:10,020
想確定某一小時內100輛車或5輛車通過的機率

5
00:00:10,020 --> 00:00:14,000
想確定某一小時內100輛車或5輛車通過的機率

6
00:00:14,000 --> 00:00:15,080
最好的方式是先定義一個相關的隨機變數

7
00:00:15,080 --> 00:00:20,050
最好的方式是先定義一個相關的隨機變數

8
00:00:20,050 --> 00:00:27,030
假設它表示一個小時內通過車輛數

9
00:00:27,030 --> 00:00:30,040
假設它表示一個小時內通過車輛數

10
00:00:31,070 --> 00:00:34,050
然後求出該隨機變數的機率分布

11
00:00:34,050 --> 00:00:37,000
然後求出該隨機變數的機率分布

12
00:00:37,000 --> 00:00:39,040
這就能很容易求出

13
00:00:39,040 --> 00:00:41,070
一小時內100輛車

14
00:00:41,070 --> 00:00:45,080
或者其它數量的車經過的機率了

15
00:00:45,080 --> 00:00:48,020
在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下

16
00:00:48,020 --> 00:00:50,050
在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下

17
00:00:50,050 --> 00:00:52,020
在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下

18
00:00:52,020 --> 00:00:54,060
也就是

19
00:00:54,060 --> 00:00:58,070
街上此點任意時刻的情況沒有差異

20
00:00:58,070 --> 00:00:59,060
街上此點任意時刻的情況沒有差異

21
00:00:59,060 --> 00:01:01,030
這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多

22
00:01:01,030 --> 00:01:03,070
這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多

23
00:01:03,070 --> 00:01:06,060
這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多

24
00:01:06,060 --> 00:01:08,060
也許不用一小時 用一天更現實一點

25
00:01:08,060 --> 00:01:12,070
也許不用一小時 用一天更現實一點

26
00:01:12,070 --> 00:01:14,010
算了 不這麽說

27
00:01:14,010 --> 00:01:17,070
這裡假設任意時刻

28
00:01:17,070 --> 00:01:19,060
甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的

29
00:01:19,060 --> 00:01:22,090
甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的

30
00:01:22,090 --> 00:01:25,080
甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的

31
00:01:25,080 --> 00:01:27,480
這是一種簡化假設

32
00:01:27,480 --> 00:01:32,020
雖然不真實 但不妨就認爲是這樣

33
00:01:32,020 --> 00:01:34,010
另一個假設是

34
00:01:34,010 --> 00:01:36,060
一段時間的車流量對另一段時間沒有影響

35
00:01:36,060 --> 00:01:37,080
一段時間的車流量對另一段時間沒有影響

36
00:01:37,080 --> 00:01:40,060
就算一段時間的車流量少

37
00:01:40,060 --> 00:01:44,080
不會影響到下一段時間的車流量

38
00:01:44,080 --> 00:01:47,030
也就是說具有獨立性

39
00:01:47,030 --> 00:01:50,060
這樣 我們就能用所學知識

40
00:01:50,060 --> 00:01:53,040
對這種分布進行建模了

41
00:01:53,040 --> 00:01:55,070
對於任何分布 我們可以首先估計均值

42
00:01:55,070 --> 00:01:59,000
對於任何分布 我們可以首先估計均值

43
00:01:59,000 --> 00:02:03,000
我們可以坐在路邊 觀察幾個小時的車流量

44
00:02:03,000 --> 00:02:05,010
然後平均起來

45
00:02:05,010 --> 00:02:08,080
這也許就是總體均值的很好估計值了

46
00:02:08,080 --> 00:02:09,650
這也許就是總體均值的很好估計值了

47
00:02:09,650 --> 00:02:13,000
這是一個隨機變數 所以也就是預定值

48
00:02:13,000 --> 00:02:16,060
假設預定值的最好估計值是λ

49
00:02:16,060 --> 00:02:24,080
假設預定值的最好估計值是λ

50
00:02:24,080 --> 00:02:27,030
它可能是9輛車/小時

51
00:02:27,030 --> 00:02:30,010
或者9.3輛車/小時

52
00:02:30,010 --> 00:02:32,060
你可以在守候數百個小時 然後計數 取均值

53
00:02:32,060 --> 00:02:34,050
你可以在守候數百個小時 然後計數 取均值

54
00:02:34,050 --> 00:02:37,020
得到均值是9.3輛車/小時 這也許是很好的估計值

55
00:02:37,020 --> 00:02:40,000
得到均值是9.3輛車/小時 這也許是很好的估計值

56
00:02:40,000 --> 00:02:45,050
而我們已經知道二項分布

57
00:02:45,050 --> 00:02:50,060
二項分布的預定值我們已經知道

58
00:02:50,060 --> 00:02:55,020
它等於試驗的次數n…

59
00:02:55,020 --> 00:02:57,040
這是隨機變數的基本組成

60
00:02:57,040 --> 00:02:59,040
之前的影片中 我們用抛硬幣的例子

61
00:02:59,040 --> 00:03:00,050
之前的影片中 我們用抛硬幣的例子

62
00:03:00,050 --> 00:03:03,000
n也就是抛硬幣的次數

63
00:03:03,000 --> 00:03:07,020
乘以每一次成功的機率p

64
00:03:07,020 --> 00:03:09,000
這是二項式分布 也許交通情況也可以類似建模

65
00:03:09,000 --> 00:03:12,070
這是二項式分布 也許交通情況也可以類似建模

66
00:03:12,070 --> 00:03:15,040
這是一小時內經過的車輛數

67
00:03:15,040 --> 00:03:24,030
也許我們可以說 λ輛車/小時等於…

68
00:03:26,080 --> 00:03:29,080
假設試驗是每分鍾內是否有車通過 就像投硬幣

69
00:03:29,080 --> 00:03:31,070
假設試驗是每分鍾內是否有車通過 就像投硬幣

70
00:03:31,070 --> 00:03:40,080
那麽一小時有60分鍾 總共60次試驗

71
00:03:40,080 --> 00:03:43,010
然後每一次成功的機率

72
00:03:43,010 --> 00:03:46,090
由於這是二項分布

73
00:03:46,090 --> 00:03:54,040
所以是λ/60輛車/分鍾

74
00:03:54,040 --> 00:03:55,060
前面這是n 後面是機率p

75
00:03:55,060 --> 00:03:58,060
前面這是n 後面是機率p

76
00:03:58,060 --> 00:04:00,020
前面這是n 後面是機率p

77
00:04:00,020 --> 00:04:04,000
這也許並非很糟糕的近似

78
00:04:04,000 --> 00:04:07,380
由於是二項分布

79
00:04:07,380 --> 00:04:12,090
隨機變數得到某個k值的機率

80
00:04:12,090 --> 00:04:16,010
比如一小時內經過3輛車的機率

81
00:04:16,010 --> 00:04:21,080
這也就是n… 也就是60

82
00:04:21,080 --> 00:04:27,010
n選k 比如剛講的3輛車經過 乘以成功機率

83
00:04:27,010 --> 00:04:29,050
即每分鍾內有車經過的機率 也就是λ/60

84
00:04:29,050 --> 00:04:35,090
即每分鍾內有車經過的機率 也就是λ/60

85
00:04:35,090 --> 00:04:41,060
該機率的k次方 乘以不成功

86
00:04:41,060 --> 00:04:46,050
或者說無車經過的機率 的n-k次方

87
00:04:46,050 --> 00:04:50,020
k次成功對應60-k次失敗 或者說無車經過

88
00:04:50,020 --> 00:04:52,090
k次成功對應60-k次失敗 或者說無車經過

89
00:04:52,090 --> 00:04:55,020
分成60個區間 然後看成二項分布是不錯的近似

90
00:04:55,020 --> 00:04:58,050
分成60個區間 然後看成二項分布是不錯的近似

91
00:04:58,050 --> 00:05:00,030
結果可能很合理 不過有個核心問題

92
00:05:00,030 --> 00:05:02,060
結果可能很合理 不過有個核心問題

93
00:05:02,060 --> 00:05:06,050
也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦

94
00:05:06,050 --> 00:05:09,090
也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦

95
00:05:09,090 --> 00:05:11,060
也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦

96
00:05:11,060 --> 00:05:14,020
之前我們把有一輛車通過叫成功

97
00:05:14,020 --> 00:05:15,030
之前我們把有一輛車通過叫成功

98
00:05:15,030 --> 00:05:18,070
但沒有考慮到一分鍾內同時5車通過這樣的情況

99
00:05:18,070 --> 00:05:21,010
但沒有考慮到一分鍾內同時5車通過這樣的情況

100
00:05:21,010 --> 00:05:23,030
解決辦法是 分更多的區間

101
00:05:23,030 --> 00:05:26,000
解決辦法是 分更多的區間

102
00:05:26,000 --> 00:05:31,000
如果分鍾不行 我可以分成秒

103
00:05:31,000 --> 00:05:36,020
這樣區間就不是60個 而是3600個

104
00:05:36,020 --> 00:05:39,080
這樣區間就不是60個 而是3600個

105
00:05:39,080 --> 00:05:43,010
k次成功的機率

106
00:05:43,010 --> 00:05:48,060
成功也就是某一秒有車通過

107
00:05:48,060 --> 00:05:52,010
這等於3600選k乘以某一秒有車通過的幾率…

108
00:05:52,010 --> 00:05:54,020
這等於3600選k乘以某一秒有車通過的幾率…

109
00:05:54,020 --> 00:05:57,090
也就是一小時內車通過的期望數量λ

110
00:05:57,090 --> 00:06:02,090
除以一小時內的秒數 然後有k次成功

111
00:06:02,090 --> 00:06:06,020
然後還有失敗 失敗機率是這麽多

112
00:06:06,020 --> 00:06:12,000
總共是3600-k次失敗

113
00:06:12,000 --> 00:06:13,090
這是更好的近似

114
00:06:13,090 --> 00:06:16,070
這是更好的近似

115
00:06:16,070 --> 00:06:19,090
但也有可能一秒鍾開過2輛車

116
00:06:19,090 --> 00:06:21,090
你可能會說 繼續進行區間分割不就行了

117
00:06:21,090 --> 00:06:23,060
你可能會說 繼續進行區間分割不就行了

118
00:06:23,060 --> 00:06:27,030
讓這個數字越來越大 這種直觀感覺很對

119
00:06:27,030 --> 00:06:28,090
讓這個數字越來越大 這種直觀感覺很對

120
00:06:28,090 --> 00:06:33,080
一直下去就能得到泊松分布

121
00:06:33,080 --> 00:06:35,060
一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套

122
00:06:35,060 --> 00:06:38,060
一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套

123
00:06:38,060 --> 00:06:40,040
一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套

124
00:06:40,040 --> 00:06:43,020
而我這裡告訴你們 它其實就是來自二項分布

125
00:06:43,020 --> 00:06:45,070
而我這裡告訴你們 它其實就是來自二項分布

126
00:06:45,070 --> 00:06:48,050
而二項分布就是某種抛硬幣 這是一切的源頭

127
00:06:48,050 --> 00:06:50,050
而二項分布就是某種抛硬幣 這是一切的源頭

128
00:06:50,050 --> 00:06:53,070
在我證明… 先換個顏色

129
00:06:53,070 --> 00:06:55,060
在我證明… 先換個顏色

130
00:06:55,060 --> 00:06:58,040
在我證明區間個數趨近於無窮大時

131
00:06:58,040 --> 00:07:01,020
在我證明區間個數趨近於無窮大時

132
00:07:01,020 --> 00:07:04,550
這就是泊松分布之前

133
00:07:04,550 --> 00:07:09,010
首先來複習一下手頭的數學工具

134
00:07:09,010 --> 00:07:12,070
首先這個你們可能比較熟悉 也就是

135
00:07:12,070 --> 00:07:15,080
首先這個你們可能比較熟悉 也就是

136
00:07:15,080 --> 00:07:25,060
x趨於無窮大時 (1+a/x)的x次方極限是e的a次方

137
00:07:25,060 --> 00:07:31,000
x趨於無窮大時 (1+a/x)的x次方極限是e的a次方

138
00:07:31,000 --> 00:07:38,000
爲了證明這一點 我做一點簡單換元

139
00:07:38,000 --> 00:07:39,020
爲了證明這一點 我做一點簡單換元

140
00:07:39,020 --> 00:07:47,080
令1/n=a/x

141
00:07:47,080 --> 00:07:52,080
於是x=na

142
00:07:52,080 --> 00:07:55,020
x?1=na

143
00:07:55,020 --> 00:08:02,000
因此x趨於無窮大時 n趨於什麽

144
00:08:02,000 --> 00:08:04,090
因此x趨於無窮大時 n趨於什麽

145
00:08:04,090 --> 00:08:08,070
n=x/a 所以n也趨於無窮

146
00:08:08,070 --> 00:08:10,080
因此換元後 這等價於 求極限 n趨於∞

147
00:08:10,080 --> 00:08:16,040
因此換元後 這等價於 求極限 n趨於∞

148
00:08:16,040 --> 00:08:21,030
1+… a/x替換爲1/n

149
00:08:21,030 --> 00:08:26,070
而x則替換爲na

150
00:08:26,070 --> 00:08:30,050
於是這等價於 n趨於∞時

151
00:08:30,050 --> 00:08:39,030
(1+1/n)的n次方的a次方的極限

152
00:08:39,030 --> 00:08:41,070
a中不含n 所以也就是這個極限的a次方

153
00:08:41,070 --> 00:08:43,040
a中不含n 所以也就是這個極限的a次方

154
00:08:43,040 --> 00:08:47,060
也就是n趨於∞時(1+1/n)?的極限的a次方

155
00:08:47,060 --> 00:08:53,070
也就是n趨於∞時(1+1/n)?的極限的a次方

156
00:08:53,070 --> 00:08:58,000
(1+1/n)?的極限就是e的定義 講複利時我講過

157
00:08:58,000 --> 00:09:00,080
(1+1/n)?的極限就是e的定義 講複利時我講過

158
00:09:00,080 --> 00:09:02,540
你可以用計算器試試很大的n值 看是否得到e

159
00:09:02,540 --> 00:09:07,020
你可以用計算器試試很大的n值 看是否得到e

160
00:09:07,020 --> 00:09:12,000
裏面這個等於e 然後取a次冪

161
00:09:12,000 --> 00:09:14,000
也就是e的a次方

162
00:09:14,000 --> 00:09:16,020
因此這個極限等於e的a次方

163
00:09:16,020 --> 00:09:17,080
因此這個極限等於e的a次方

164
00:09:17,080 --> 00:09:19,080
另外一個我要講的工具也許要在下一節才能證明

165
00:09:19,080 --> 00:09:22,030
另外一個我要講的工具也許要在下一節才能證明

166
00:09:22,030 --> 00:09:32,090
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

167
00:09:32,090 --> 00:09:42,080
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

168
00:09:42,080 --> 00:09:50,000
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

169
00:09:50,000 --> 00:09:51,080
我們做過很多次 但沒有寫得這麽抽象過

170
00:09:51,080 --> 00:09:53,000
我們做過很多次 但沒有寫得這麽抽象過

171
00:09:53,000 --> 00:09:55,050
這裡正好是k項

172
00:09:55,050 --> 00:09:57,030
這裡正好是k項

173
00:09:57,030 --> 00:10:01,070
1 2 3一直到第k項

174
00:10:01,070 --> 00:10:04,030
1 2 3一直到第k項

175
00:10:04,030 --> 00:10:07,020
這對泊松分布的推導很重要

176
00:10:07,020 --> 00:10:09,010
這對泊松分布的推導很重要

177
00:10:09,010 --> 00:10:16,480
我舉個實際例子 比如7!/(7-2)!

178
00:10:16,480 --> 00:10:24,000
這等於7?6?5?4?3?2?1

179
00:10:24,000 --> 00:10:28,090
除以5的階乘

180
00:10:28,090 --> 00:10:33,050
即除以5?4?3?2?1

181
00:10:33,050 --> 00:10:37,010
約去後只剩下7?6

182
00:10:37,010 --> 00:10:47,000
首先是7 最後項是7-2+1 即6

183
00:10:47,050 --> 00:10:51,020
此時k=2 正好2項

184
00:10:51,020 --> 00:10:53,020
下一節再來推導泊松分布 再見

185
00:10:53,020 --> 00:10:55,070
下一節再來推導泊松分布 再見

186
00:10:55,070 --> 00:10:59,090
下一節再來推導泊松分布 再見

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00:00:01,000 --> 00:00:15,000
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