WEBVTT

00:00:00.080 --> 00:00:03.050
假設你是一個交通工程師

00:00:03.050 --> 00:00:06.080
想知道任意時刻通過街上某一點的車輛數

00:00:06.080 --> 00:00:08.030
想知道任意時刻通過街上某一點的車輛數

00:00:08.030 --> 00:00:10.020
想確定某一小時內100輛車或5輛車通過的機率

00:00:10.020 --> 00:00:14.000
想確定某一小時內100輛車或5輛車通過的機率

00:00:14.000 --> 00:00:15.080
最好的方式是先定義一個相關的隨機變數

00:00:15.080 --> 00:00:20.050
最好的方式是先定義一個相關的隨機變數

00:00:20.050 --> 00:00:27.030
假設它表示一個小時內通過車輛數

00:00:27.030 --> 00:00:30.040
假設它表示一個小時內通過車輛數

00:00:31.070 --> 00:00:34.050
然後求出該隨機變數的機率分布

00:00:34.050 --> 00:00:37.000
然後求出該隨機變數的機率分布

00:00:37.000 --> 00:00:39.040
這就能很容易求出

00:00:39.040 --> 00:00:41.070
一小時內100輛車

00:00:41.070 --> 00:00:45.080
或者其它數量的車經過的機率了

00:00:45.080 --> 00:00:48.020
在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下

00:00:48.020 --> 00:00:50.050
在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下

00:00:50.050 --> 00:00:52.020
在具體講泊松分布之前 有兩個假設要講一下

00:00:52.020 --> 00:00:54.060
也就是

00:00:54.060 --> 00:00:58.070
街上此點任意時刻的情況沒有差異

00:00:58.070 --> 00:00:59.060
街上此點任意時刻的情況沒有差異

00:00:59.060 --> 00:01:01.030
這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多

00:01:01.030 --> 00:01:03.070
這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多

00:01:03.070 --> 00:01:06.060
這顯然不是真實情況 高峰時間肯定比一般時間車多

00:01:06.060 --> 00:01:08.060
也許不用一小時 用一天更現實一點

00:01:08.060 --> 00:01:12.070
也許不用一小時 用一天更現實一點

00:01:12.070 --> 00:01:14.010
算了 不這麽說

00:01:14.010 --> 00:01:17.070
這裡假設任意時刻

00:01:17.070 --> 00:01:19.060
甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的

00:01:19.060 --> 00:01:22.090
甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的

00:01:22.090 --> 00:01:25.080
甚至每分每秒 在車流量方面都是沒有差異的

00:01:25.080 --> 00:01:27.480
這是一種簡化假設

00:01:27.480 --> 00:01:32.020
雖然不真實 但不妨就認爲是這樣

00:01:32.020 --> 00:01:34.010
另一個假設是

00:01:34.010 --> 00:01:36.060
一段時間的車流量對另一段時間沒有影響

00:01:36.060 --> 00:01:37.080
一段時間的車流量對另一段時間沒有影響

00:01:37.080 --> 00:01:40.060
就算一段時間的車流量少

00:01:40.060 --> 00:01:44.080
不會影響到下一段時間的車流量

00:01:44.080 --> 00:01:47.030
也就是說具有獨立性

00:01:47.030 --> 00:01:50.060
這樣 我們就能用所學知識

00:01:50.060 --> 00:01:53.040
對這種分布進行建模了

00:01:53.040 --> 00:01:55.070
對於任何分布 我們可以首先估計均值

00:01:55.070 --> 00:01:59.000
對於任何分布 我們可以首先估計均值

00:01:59.000 --> 00:02:03.000
我們可以坐在路邊 觀察幾個小時的車流量

00:02:03.000 --> 00:02:05.010
然後平均起來

00:02:05.010 --> 00:02:08.080
這也許就是總體均值的很好估計值了

00:02:08.080 --> 00:02:09.650
這也許就是總體均值的很好估計值了

00:02:09.650 --> 00:02:13.000
這是一個隨機變數 所以也就是預定值

00:02:13.000 --> 00:02:16.060
假設預定值的最好估計值是λ

00:02:16.060 --> 00:02:24.080
假設預定值的最好估計值是λ

00:02:24.080 --> 00:02:27.030
它可能是9輛車/小時

00:02:27.030 --> 00:02:30.010
或者9.3輛車/小時

00:02:30.010 --> 00:02:32.060
你可以在守候數百個小時 然後計數 取均值

00:02:32.060 --> 00:02:34.050
你可以在守候數百個小時 然後計數 取均值

00:02:34.050 --> 00:02:37.020
得到均值是9.3輛車/小時 這也許是很好的估計值

00:02:37.020 --> 00:02:40.000
得到均值是9.3輛車/小時 這也許是很好的估計值

00:02:40.000 --> 00:02:45.050
而我們已經知道二項分布

00:02:45.050 --> 00:02:50.060
二項分布的預定值我們已經知道

00:02:50.060 --> 00:02:55.020
它等於試驗的次數n…

00:02:55.020 --> 00:02:57.040
這是隨機變數的基本組成

00:02:57.040 --> 00:02:59.040
之前的影片中 我們用抛硬幣的例子

00:02:59.040 --> 00:03:00.050
之前的影片中 我們用抛硬幣的例子

00:03:00.050 --> 00:03:03.000
n也就是抛硬幣的次數

00:03:03.000 --> 00:03:07.020
乘以每一次成功的機率p

00:03:07.020 --> 00:03:09.000
這是二項式分布 也許交通情況也可以類似建模

00:03:09.000 --> 00:03:12.070
這是二項式分布 也許交通情況也可以類似建模

00:03:12.070 --> 00:03:15.040
這是一小時內經過的車輛數

00:03:15.040 --> 00:03:24.030
也許我們可以說 λ輛車/小時等於…

00:03:26.080 --> 00:03:29.080
假設試驗是每分鍾內是否有車通過 就像投硬幣

00:03:29.080 --> 00:03:31.070
假設試驗是每分鍾內是否有車通過 就像投硬幣

00:03:31.070 --> 00:03:40.080
那麽一小時有60分鍾 總共60次試驗

00:03:40.080 --> 00:03:43.010
然後每一次成功的機率

00:03:43.010 --> 00:03:46.090
由於這是二項分布

00:03:46.090 --> 00:03:54.040
所以是λ/60輛車/分鍾

00:03:54.040 --> 00:03:55.060
前面這是n 後面是機率p

00:03:55.060 --> 00:03:58.060
前面這是n 後面是機率p

00:03:58.060 --> 00:04:00.020
前面這是n 後面是機率p

00:04:00.020 --> 00:04:04.000
這也許並非很糟糕的近似

00:04:04.000 --> 00:04:07.380
由於是二項分布

00:04:07.380 --> 00:04:12.090
隨機變數得到某個k值的機率

00:04:12.090 --> 00:04:16.010
比如一小時內經過3輛車的機率

00:04:16.010 --> 00:04:21.080
這也就是n… 也就是60

00:04:21.080 --> 00:04:27.010
n選k 比如剛講的3輛車經過 乘以成功機率

00:04:27.010 --> 00:04:29.050
即每分鍾內有車經過的機率 也就是λ/60

00:04:29.050 --> 00:04:35.090
即每分鍾內有車經過的機率 也就是λ/60

00:04:35.090 --> 00:04:41.060
該機率的k次方 乘以不成功

00:04:41.060 --> 00:04:46.050
或者說無車經過的機率 的n-k次方

00:04:46.050 --> 00:04:50.020
k次成功對應60-k次失敗 或者說無車經過

00:04:50.020 --> 00:04:52.090
k次成功對應60-k次失敗 或者說無車經過

00:04:52.090 --> 00:04:55.020
分成60個區間 然後看成二項分布是不錯的近似

00:04:55.020 --> 00:04:58.050
分成60個區間 然後看成二項分布是不錯的近似

00:04:58.050 --> 00:05:00.030
結果可能很合理 不過有個核心問題

00:05:00.030 --> 00:05:02.060
結果可能很合理 不過有個核心問題

00:05:02.060 --> 00:05:06.050
也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦

00:05:06.050 --> 00:05:09.090
也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦

00:05:09.090 --> 00:05:11.060
也就是 如果一分鍾內不止一輛車通過怎麽辦

00:05:11.060 --> 00:05:14.020
之前我們把有一輛車通過叫成功

00:05:14.020 --> 00:05:15.030
之前我們把有一輛車通過叫成功

00:05:15.030 --> 00:05:18.070
但沒有考慮到一分鍾內同時5車通過這樣的情況

00:05:18.070 --> 00:05:21.010
但沒有考慮到一分鍾內同時5車通過這樣的情況

00:05:21.010 --> 00:05:23.030
解決辦法是 分更多的區間

00:05:23.030 --> 00:05:26.000
解決辦法是 分更多的區間

00:05:26.000 --> 00:05:31.000
如果分鍾不行 我可以分成秒

00:05:31.000 --> 00:05:36.020
這樣區間就不是60個 而是3600個

00:05:36.020 --> 00:05:39.080
這樣區間就不是60個 而是3600個

00:05:39.080 --> 00:05:43.010
k次成功的機率

00:05:43.010 --> 00:05:48.060
成功也就是某一秒有車通過

00:05:48.060 --> 00:05:52.010
這等於3600選k乘以某一秒有車通過的幾率…

00:05:52.010 --> 00:05:54.020
這等於3600選k乘以某一秒有車通過的幾率…

00:05:54.020 --> 00:05:57.090
也就是一小時內車通過的期望數量λ

00:05:57.090 --> 00:06:02.090
除以一小時內的秒數 然後有k次成功

00:06:02.090 --> 00:06:06.020
然後還有失敗 失敗機率是這麽多

00:06:06.020 --> 00:06:12.000
總共是3600-k次失敗

00:06:12.000 --> 00:06:13.090
這是更好的近似

00:06:13.090 --> 00:06:16.070
這是更好的近似

00:06:16.070 --> 00:06:19.090
但也有可能一秒鍾開過2輛車

00:06:19.090 --> 00:06:21.090
你可能會說 繼續進行區間分割不就行了

00:06:21.090 --> 00:06:23.060
你可能會說 繼續進行區間分割不就行了

00:06:23.060 --> 00:06:27.030
讓這個數字越來越大 這種直觀感覺很對

00:06:27.030 --> 00:06:28.090
讓這個數字越來越大 這種直觀感覺很對

00:06:28.090 --> 00:06:33.080
一直下去就能得到泊松分布

00:06:33.080 --> 00:06:35.060
一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套

00:06:35.060 --> 00:06:38.060
一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套

00:06:38.060 --> 00:06:40.040
一般而言 書本只會給出泊松分布的公式讓你套

00:06:40.040 --> 00:06:43.020
而我這裡告訴你們 它其實就是來自二項分布

00:06:43.020 --> 00:06:45.070
而我這裡告訴你們 它其實就是來自二項分布

00:06:45.070 --> 00:06:48.050
而二項分布就是某種抛硬幣 這是一切的源頭

00:06:48.050 --> 00:06:50.050
而二項分布就是某種抛硬幣 這是一切的源頭

00:06:50.050 --> 00:06:53.070
在我證明… 先換個顏色

00:06:53.070 --> 00:06:55.060
在我證明… 先換個顏色

00:06:55.060 --> 00:06:58.040
在我證明區間個數趨近於無窮大時

00:06:58.040 --> 00:07:01.020
在我證明區間個數趨近於無窮大時

00:07:01.020 --> 00:07:04.550
這就是泊松分布之前

00:07:04.550 --> 00:07:09.010
首先來複習一下手頭的數學工具

00:07:09.010 --> 00:07:12.070
首先這個你們可能比較熟悉 也就是

00:07:12.070 --> 00:07:15.080
首先這個你們可能比較熟悉 也就是

00:07:15.080 --> 00:07:25.060
x趨於無窮大時 (1+a/x)的x次方極限是e的a次方

00:07:25.060 --> 00:07:31.000
x趨於無窮大時 (1+a/x)的x次方極限是e的a次方

00:07:31.000 --> 00:07:38.000
爲了證明這一點 我做一點簡單換元

00:07:38.000 --> 00:07:39.020
爲了證明這一點 我做一點簡單換元

00:07:39.020 --> 00:07:47.080
令1/n=a/x

00:07:47.080 --> 00:07:52.080
於是x=na

00:07:52.080 --> 00:07:55.020
x?1=na

00:07:55.020 --> 00:08:02.000
因此x趨於無窮大時 n趨於什麽

00:08:02.000 --> 00:08:04.090
因此x趨於無窮大時 n趨於什麽

00:08:04.090 --> 00:08:08.070
n=x/a 所以n也趨於無窮

00:08:08.070 --> 00:08:10.080
因此換元後 這等價於 求極限 n趨於∞

00:08:10.080 --> 00:08:16.040
因此換元後 這等價於 求極限 n趨於∞

00:08:16.040 --> 00:08:21.030
1+… a/x替換爲1/n

00:08:21.030 --> 00:08:26.070
而x則替換爲na

00:08:26.070 --> 00:08:30.050
於是這等價於 n趨於∞時

00:08:30.050 --> 00:08:39.030
(1+1/n)的n次方的a次方的極限

00:08:39.030 --> 00:08:41.070
a中不含n 所以也就是這個極限的a次方

00:08:41.070 --> 00:08:43.040
a中不含n 所以也就是這個極限的a次方

00:08:43.040 --> 00:08:47.060
也就是n趨於∞時(1+1/n)?的極限的a次方

00:08:47.060 --> 00:08:53.070
也就是n趨於∞時(1+1/n)?的極限的a次方

00:08:53.070 --> 00:08:58.000
(1+1/n)?的極限就是e的定義 講複利時我講過

00:08:58.000 --> 00:09:00.080
(1+1/n)?的極限就是e的定義 講複利時我講過

00:09:00.080 --> 00:09:02.540
你可以用計算器試試很大的n值 看是否得到e

00:09:02.540 --> 00:09:07.020
你可以用計算器試試很大的n值 看是否得到e

00:09:07.020 --> 00:09:12.000
裏面這個等於e 然後取a次冪

00:09:12.000 --> 00:09:14.000
也就是e的a次方

00:09:14.000 --> 00:09:16.020
因此這個極限等於e的a次方

00:09:16.020 --> 00:09:17.080
因此這個極限等於e的a次方

00:09:17.080 --> 00:09:19.080
另外一個我要講的工具也許要在下一節才能證明

00:09:19.080 --> 00:09:22.030
另外一個我要講的工具也許要在下一節才能證明

00:09:22.030 --> 00:09:32.090
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

00:09:32.090 --> 00:09:42.080
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

00:09:42.080 --> 00:09:50.000
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

00:09:50.000 --> 00:09:51.080
我們做過很多次 但沒有寫得這麽抽象過

00:09:51.080 --> 00:09:53.000
我們做過很多次 但沒有寫得這麽抽象過

00:09:53.000 --> 00:09:55.050
這裡正好是k項

00:09:55.050 --> 00:09:57.030
這裡正好是k項

00:09:57.030 --> 00:10:01.070
1 2 3一直到第k項

00:10:01.070 --> 00:10:04.030
1 2 3一直到第k項

00:10:04.030 --> 00:10:07.020
這對泊松分布的推導很重要

00:10:07.020 --> 00:10:09.010
這對泊松分布的推導很重要

00:10:09.010 --> 00:10:16.480
我舉個實際例子 比如7!/(7-2)!

00:10:16.480 --> 00:10:24.000
這等於7?6?5?4?3?2?1

00:10:24.000 --> 00:10:28.090
除以5的階乘

00:10:28.090 --> 00:10:33.050
即除以5?4?3?2?1

00:10:33.050 --> 00:10:37.010
約去後只剩下7?6

00:10:37.010 --> 00:10:47.000
首先是7 最後項是7-2+1 即6

00:10:47.050 --> 00:10:51.020
此時k=2 正好2項

00:10:51.020 --> 00:10:53.020
下一節再來推導泊松分布 再見

00:10:53.020 --> 00:10:55.070
下一節再來推導泊松分布 再見

00:10:55.070 --> 00:10:59.090
下一節再來推導泊松分布 再見

00:00:01.000 --> 00:00:15.000
本字幕由網易公開課提供，更多課程請到http//open.163.com

00:00:17.070 --> 00:00:25.070
網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open

00:00:30.070 --> 00:00:45.070
oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org