< Return to Video

Poisson Process 1

  • 0:00 - 0:03
    假设你是一个交通工程师
  • 0:01 - 0:15
    本字幕由网易公开课提供，更多课程请到http//open.163.com
  • 0:03 - 0:06
    想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数
  • 0:06 - 0:08
    想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数
  • 0:08 - 0:10
    想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率
  • 0:10 - 0:14
    想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率
  • 0:14 - 0:15
    最好的方式是先定义一个相关的随机变量
  • 0:15 - 0:20
    最好的方式是先定义一个相关的随机变量
  • 0:17 - 0:25
    网易公开课官方微博 http://t.163.com/163open
  • 0:20 - 0:27
    假设它表示一个小时内通过车辆数
  • 0:27 - 0:30
    假设它表示一个小时内通过车辆数
  • 0:30 - 0:45
    oCourse字幕组翻译：只做公开课的字幕组 http://ocourse.org
  • 0:31 - 0:34
    然后求出该随机变量的概率分布
  • 0:34 - 0:37
    然后求出该随机变量的概率分布
  • 0:37 - 0:39
    这就能很容易求出
  • 0:39 - 0:41
    一小时内100辆车
  • 0:41 - 0:45
    或者其它数量的车经过的概率了
  • 0:45 - 0:48
    在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下
  • 0:48 - 0:50
    在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下
  • 0:50 - 0:52
    在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下
  • 0:52 - 0:54
    也就是
  • 0:54 - 0:58
    街上此点任意时刻的情况没有差异
  • 0:58 - 0:59
    街上此点任意时刻的情况没有差异
  • 0:59 - 1:01
    这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多
  • 1:01 - 1:03
    这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多
  • 1:03 - 1:06
    这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多
  • 1:06 - 1:08
    也许不用一小时 用一天更现实一点
  • 1:08 - 1:12
    也许不用一小时 用一天更现实一点
  • 1:12 - 1:14
    算了 不这么说
  • 1:14 - 1:17
    这里假设任意时刻
  • 1:17 - 1:19
    甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的
  • 1:19 - 1:22
    甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的
  • 1:22 - 1:25
    甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的
  • 1:25 - 1:27
    这是一种简化假设
  • 1:27 - 1:32
    虽然不真实 但不妨就认为是这样
  • 1:32 - 1:34
    另一个假设是
  • 1:34 - 1:36
    一段时间的车流量对另一段时间没有影响
  • 1:36 - 1:37
    一段时间的车流量对另一段时间没有影响
  • 1:37 - 1:40
    就算一段时间的车流量少
  • 1:40 - 1:44
    不会影响到下一段时间的车流量
  • 1:44 - 1:47
    也就是说具有独立性
  • 1:47 - 1:50
    这样 我们就能用所学知识
  • 1:50 - 1:53
    对这种分布进行建模了
  • 1:53 - 1:55
    对于任何分布 我们可以首先估计均值
  • 1:55 - 1:59
    对于任何分布 我们可以首先估计均值
  • 1:59 - 2:03
    我们可以坐在路边 观察几个小时的车流量
  • 2:03 - 2:05
    然后平均起来
  • 2:05 - 2:08
    这也许就是总体均值的很好估计值了
  • 2:08 - 2:10
    这也许就是总体均值的很好估计值了
  • 2:10 - 2:13
    这是一个随机变量 所以也就是期望值
  • 2:13 - 2:16
    假设期望值的最好估计值是λ
  • 2:16 - 2:24
    假设期望值的最好估计值是λ
  • 2:24 - 2:27
    它可能是9辆车/小时
  • 2:27 - 2:30
    或者9.3辆车/小时
  • 2:30 - 2:32
    你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值
  • 2:32 - 2:34
    你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值
  • 2:34 - 2:37
    得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值
  • 2:37 - 2:40
    得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值
  • 2:40 - 2:45
    而我们已经知道二项分布
  • 2:45 - 2:50
    二项分布的期望值我们已经知道
  • 2:50 - 2:55
    它等于试验的次数n…
  • 2:55 - 2:57
    这是随机变量的基本组成
  • 2:57 - 2:59
    之前的视频中 我们用抛硬币的例子
  • 2:59 - 3:00
    之前的视频中 我们用抛硬币的例子
  • 3:00 - 3:03
    n也就是抛硬币的次数
  • 3:03 - 3:07
    乘以每一次成功的概率p
  • 3:07 - 3:09
    这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模
  • 3:09 - 3:12
    这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模
  • 3:12 - 3:15
    这是一小时内经过的车辆数
  • 3:15 - 3:24
    也许我们可以说 λ辆车/小时等于…
  • 3:26 - 3:29
    假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币
  • 3:29 - 3:31
    假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币
  • 3:31 - 3:40
    那么一小时有60分钟 总共60次试验
  • 3:40 - 3:43
    然后每一次成功的概率
  • 3:43 - 3:46
    由于这是二项分布
  • 3:46 - 3:54
    所以是λ/60辆车/分钟
  • 3:54 - 3:55
    前面这是n 后面是概率p
  • 3:55 - 3:58
    前面这是n 后面是概率p
  • 3:58 - 4:00
    前面这是n 后面是概率p
  • 4:00 - 4:04
    这也许并非很糟糕的近似
  • 4:04 - 4:07
    由于是二项分布
  • 4:07 - 4:12
    随机变量得到某个k值的概率
  • 4:12 - 4:16
    比如一小时内经过3辆车的概率
  • 4:16 - 4:21
    这也就是n… 也就是60
  • 4:21 - 4:27
    n选k 比如刚讲的3辆车经过 乘以成功概率
  • 4:27 - 4:29
    即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60
  • 4:29 - 4:35
    即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60
  • 4:35 - 4:41
    该概率的k次方 乘以不成功
  • 4:41 - 4:46
    或者说无车经过的概率 的n-k次方
  • 4:46 - 4:50
    k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过
  • 4:50 - 4:52
    k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过
  • 4:52 - 4:55
    分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似
  • 4:55 - 4:58
    分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似
  • 4:58 - 5:00
    结果可能很合理 不过有个核心问题
  • 5:00 - 5:02
    结果可能很合理 不过有个核心问题
  • 5:02 - 5:06
    也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办
  • 5:06 - 5:09
    也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办
  • 5:09 - 5:11
    也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办
  • 5:11 - 5:14
    之前我们把有一辆车通过叫成功
  • 5:14 - 5:15
    之前我们把有一辆车通过叫成功
  • 5:15 - 5:18
    但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况
  • 5:18 - 5:21
    但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况
  • 5:21 - 5:23
    解决办法是 分更多的区间
  • 5:23 - 5:26
    解决办法是 分更多的区间
  • 5:26 - 5:31
    如果分钟不行 我可以分成秒
  • 5:31 - 5:36
    这样区间就不是60个 而是3600个
  • 5:36 - 5:39
    这样区间就不是60个 而是3600个
  • 5:39 - 5:43
    k次成功的概率
  • 5:43 - 5:48
    成功也就是某一秒有车通过
  • 5:48 - 5:52
    这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…
  • 5:52 - 5:54
    这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…
  • 5:54 - 5:57
    也就是一小时内车通过的期望数量λ
  • 5:57 - 6:02
    除以一小时内的秒数 然后有k次成功
  • 6:02 - 6:06
    然后还有失败 失败概率是这么多
  • 6:06 - 6:12
    总共是3600-k次失败
  • 6:12 - 6:13
    这是更好的近似
  • 6:13 - 6:16
    这是更好的近似
  • 6:16 - 6:19
    但也有可能一秒钟开过2辆车
  • 6:19 - 6:21
    你可能会说 继续进行区间分割不就行了
  • 6:21 - 6:23
    你可能会说 继续进行区间分割不就行了
  • 6:23 - 6:27
    让这个数字越来越大 这种直观感觉很对
  • 6:27 - 6:28
    让这个数字越来越大 这种直观感觉很对
  • 6:28 - 6:33
    一直下去就能得到泊松分布
  • 6:33 - 6:35
    一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套
  • 6:35 - 6:38
    一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套
  • 6:38 - 6:40
    一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套
  • 6:40 - 6:43
    而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布
  • 6:43 - 6:45
    而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布
  • 6:45 - 6:48
    而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头
  • 6:48 - 6:50
    而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头
  • 6:50 - 6:53
    在我证明… 先换个颜色
  • 6:53 - 6:55
    在我证明… 先换个颜色
  • 6:55 - 6:58
    在我证明区间个数趋近于无穷大时
  • 6:58 - 7:01
    在我证明区间个数趋近于无穷大时
  • 7:01 - 7:05
    这就是泊松分布之前
  • 7:05 - 7:09
    首先来复习一下手头的数学工具
  • 7:09 - 7:12
    首先这个你们可能比较熟悉 也就是
  • 7:12 - 7:15
    首先这个你们可能比较熟悉 也就是
  • 7:15 - 7:25
    x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方
  • 7:25 - 7:31
    x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方
  • 7:31 - 7:38
    为了证明这一点 我做一点简单换元
  • 7:38 - 7:39
    为了证明这一点 我做一点简单换元
  • 7:39 - 7:47
    令1/n=a/x
  • 7:47 - 7:52
    于是x=na
  • 7:52 - 7:55
    x?1=na
  • 7:55 - 8:02
    因此x趋于无穷大时 n趋于什么
  • 8:02 - 8:04
    因此x趋于无穷大时 n趋于什么
  • 8:04 - 8:08
    n=x/a 所以n也趋于无穷
  • 8:08 - 8:10
    因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞
  • 8:10 - 8:16
    因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞
  • 8:16 - 8:21
    1+… a/x替换为1/n
  • 8:21 - 8:26
    而x则替换为na
  • 8:26 - 8:30
    于是这等价于 n趋于∞时
  • 8:30 - 8:39
    (1+1/n)的n次方的a次方的极限
  • 8:39 - 8:41
    a中不含n 所以也就是这个极限的a次方
  • 8:41 - 8:43
    a中不含n 所以也就是这个极限的a次方
  • 8:43 - 8:47
    也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方
  • 8:47 - 8:53
    也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方
  • 8:53 - 8:58
    (1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过
  • 8:58 - 9:00
    (1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过
  • 9:00 - 9:03
    你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e
  • 9:03 - 9:07
    你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e
  • 9:07 - 9:12
    里面这个等于e 然后取a次幂
  • 9:12 - 9:14
    也就是e的a次方
  • 9:14 - 9:16
    因此这个极限等于e的a次方
  • 9:16 - 9:17
    因此这个极限等于e的a次方
  • 9:17 - 9:19
    另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明
  • 9:19 - 9:22
    另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明
  • 9:22 - 9:32
    也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)
  • 9:32 - 9:42
    也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)
  • 9:42 - 9:50
    也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)
  • 9:50 - 9:51
    我们做过很多次 但没有写得这么抽象过
  • 9:51 - 9:53
    我们做过很多次 但没有写得这么抽象过
  • 9:53 - 9:55
    这里正好是k项
  • 9:55 - 9:57
    这里正好是k项
  • 9:57 - 10:01
    1 2 3一直到第k项
  • 10:01 - 10:04
    1 2 3一直到第k项
  • 10:04 - 10:07
    这对泊松分布的推导很重要
  • 10:07 - 10:09
    这对泊松分布的推导很重要
  • 10:09 - 10:16
    我举个实际例子 比如7!/(7-2)!
  • 10:16 - 10:24
    这等于7?6?5?4?3?2?1
  • 10:24 - 10:28
    除以5的阶乘
  • 10:28 - 10:33
    即除以5?4?3?2?1
  • 10:33 - 10:37
    约去后只剩下7?6
  • 10:37 - 10:47
    首先是7 最后项是7-2+1 即6
  • 10:47 - 10:51
    此时k=2 正好2项
  • 10:51 - 10:53
    下一节再来推导泊松分布 再见
  • 10:53 - 10:55
    下一节再来推导泊松分布 再见
  • 10:55 - 10:59
    下一节再来推导泊松分布 再见
Title:
Poisson Process 1
Description:

Introduction to Poisson Processes and the Poisson Distribution.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:01
lvfengxing added a translation

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.