0:00:00.080,0:00:03.050
假设你是一个交通工程师

0:00:03.050,0:00:06.080
想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数

0:00:06.080,0:00:08.030
想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数

0:00:08.030,0:00:10.020
想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率

0:00:10.020,0:00:14.000
想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率

0:00:14.000,0:00:15.080
最好的方式是先定义一个相关的随机变量

0:00:15.080,0:00:20.050
最好的方式是先定义一个相关的随机变量

0:00:20.050,0:00:27.030
假设它表示一个小时内通过车辆数

0:00:27.030,0:00:30.040
假设它表示一个小时内通过车辆数

0:00:31.070,0:00:34.050
然后求出该随机变量的概率分布

0:00:34.050,0:00:37.000
然后求出该随机变量的概率分布

0:00:37.000,0:00:39.040
这就能很容易求出

0:00:39.040,0:00:41.070
一小时内100辆车

0:00:41.070,0:00:45.080
或者其它数量的车经过的概率了

0:00:45.080,0:00:48.020
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

0:00:48.020,0:00:50.050
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

0:00:50.050,0:00:52.020
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

0:00:52.020,0:00:54.060
也就是

0:00:54.060,0:00:58.070
街上此点任意时刻的情况没有差异

0:00:58.070,0:00:59.060
街上此点任意时刻的情况没有差异

0:00:59.060,0:01:01.030
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

0:01:01.030,0:01:03.070
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

0:01:03.070,0:01:06.060
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

0:01:06.060,0:01:08.060
也许不用一小时 用一天更现实一点

0:01:08.060,0:01:12.070
也许不用一小时 用一天更现实一点

0:01:12.070,0:01:14.010
算了 不这么说

0:01:14.010,0:01:17.070
这里假设任意时刻

0:01:17.070,0:01:19.060
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

0:01:19.060,0:01:22.090
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

0:01:22.090,0:01:25.080
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

0:01:25.080,0:01:27.480
这是一种简化假设

0:01:27.480,0:01:32.020
虽然不真实 但不妨就认为是这样

0:01:32.020,0:01:34.010
另一个假设是

0:01:34.010,0:01:36.060
一段时间的车流量对另一段时间没有影响

0:01:36.060,0:01:37.080
一段时间的车流量对另一段时间没有影响

0:01:37.080,0:01:40.060
就算一段时间的车流量少

0:01:40.060,0:01:44.080
不会影响到下一段时间的车流量

0:01:44.080,0:01:47.030
也就是说具有独立性

0:01:47.030,0:01:50.060
这样 我们就能用所学知识

0:01:50.060,0:01:53.040
对这种分布进行建模了

0:01:53.040,0:01:55.070
对于任何分布 我们可以首先估计均值

0:01:55.070,0:01:59.000
对于任何分布 我们可以首先估计均值

0:01:59.000,0:02:03.000
我们可以坐在路边 观察几个小时的车流量

0:02:03.000,0:02:05.010
然后平均起来

0:02:05.010,0:02:08.080
这也许就是总体均值的很好估计值了

0:02:08.080,0:02:09.650
这也许就是总体均值的很好估计值了

0:02:09.650,0:02:13.000
这是一个随机变量 所以也就是期望值

0:02:13.000,0:02:16.060
假设期望值的最好估计值是λ

0:02:16.060,0:02:24.080
假设期望值的最好估计值是λ

0:02:24.080,0:02:27.030
它可能是9辆车/小时

0:02:27.030,0:02:30.010
或者9.3辆车/小时

0:02:30.010,0:02:32.060
你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值

0:02:32.060,0:02:34.050
你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值

0:02:34.050,0:02:37.020
得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值

0:02:37.020,0:02:40.000
得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值

0:02:40.000,0:02:45.050
而我们已经知道二项分布

0:02:45.050,0:02:50.060
二项分布的期望值我们已经知道

0:02:50.060,0:02:55.020
它等于试验的次数n…

0:02:55.020,0:02:57.040
这是随机变量的基本组成

0:02:57.040,0:02:59.040
之前的视频中 我们用抛硬币的例子

0:02:59.040,0:03:00.050
之前的视频中 我们用抛硬币的例子

0:03:00.050,0:03:03.000
n也就是抛硬币的次数

0:03:03.000,0:03:07.020
乘以每一次成功的概率p

0:03:07.020,0:03:09.000
这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模

0:03:09.000,0:03:12.070
这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模

0:03:12.070,0:03:15.040
这是一小时内经过的车辆数

0:03:15.040,0:03:24.030
也许我们可以说 λ辆车/小时等于…

0:03:26.080,0:03:29.080
假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币

0:03:29.080,0:03:31.070
假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币

0:03:31.070,0:03:40.080
那么一小时有60分钟 总共60次试验

0:03:40.080,0:03:43.010
然后每一次成功的概率

0:03:43.010,0:03:46.090
由于这是二项分布

0:03:46.090,0:03:54.040
所以是λ/60辆车/分钟

0:03:54.040,0:03:55.060
前面这是n 后面是概率p

0:03:55.060,0:03:58.060
前面这是n 后面是概率p

0:03:58.060,0:04:00.020
前面这是n 后面是概率p

0:04:00.020,0:04:04.000
这也许并非很糟糕的近似

0:04:04.000,0:04:07.380
由于是二项分布

0:04:07.380,0:04:12.090
随机变量得到某个k值的概率

0:04:12.090,0:04:16.010
比如一小时内经过3辆车的概率

0:04:16.010,0:04:21.080
这也就是n… 也就是60

0:04:21.080,0:04:27.010
n选k 比如刚讲的3辆车经过 乘以成功概率

0:04:27.010,0:04:29.050
即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60

0:04:29.050,0:04:35.090
即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60

0:04:35.090,0:04:41.060
该概率的k次方 乘以不成功

0:04:41.060,0:04:46.050
或者说无车经过的概率 的n-k次方

0:04:46.050,0:04:50.020
k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过

0:04:50.020,0:04:52.090
k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过

0:04:52.090,0:04:55.020
分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似

0:04:55.020,0:04:58.050
分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似

0:04:58.050,0:05:00.030
结果可能很合理 不过有个核心问题

0:05:00.030,0:05:02.060
结果可能很合理 不过有个核心问题

0:05:02.060,0:05:06.050
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

0:05:06.050,0:05:09.090
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

0:05:09.090,0:05:11.060
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

0:05:11.060,0:05:14.020
之前我们把有一辆车通过叫成功

0:05:14.020,0:05:15.030
之前我们把有一辆车通过叫成功

0:05:15.030,0:05:18.070
但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况

0:05:18.070,0:05:21.010
但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况

0:05:21.010,0:05:23.030
解决办法是 分更多的区间

0:05:23.030,0:05:26.000
解决办法是 分更多的区间

0:05:26.000,0:05:31.000
如果分钟不行 我可以分成秒

0:05:31.000,0:05:36.020
这样区间就不是60个 而是3600个

0:05:36.020,0:05:39.080
这样区间就不是60个 而是3600个

0:05:39.080,0:05:43.010
k次成功的概率

0:05:43.010,0:05:48.060
成功也就是某一秒有车通过

0:05:48.060,0:05:52.010
这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…

0:05:52.010,0:05:54.020
这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…

0:05:54.020,0:05:57.090
也就是一小时内车通过的期望数量λ

0:05:57.090,0:06:02.090
除以一小时内的秒数 然后有k次成功

0:06:02.090,0:06:06.020
然后还有失败 失败概率是这么多

0:06:06.020,0:06:12.000
总共是3600-k次失败

0:06:12.000,0:06:13.090
这是更好的近似

0:06:13.090,0:06:16.070
这是更好的近似

0:06:16.070,0:06:19.090
但也有可能一秒钟开过2辆车

0:06:19.090,0:06:21.090
你可能会说 继续进行区间分割不就行了

0:06:21.090,0:06:23.060
你可能会说 继续进行区间分割不就行了

0:06:23.060,0:06:27.030
让这个数字越来越大 这种直观感觉很对

0:06:27.030,0:06:28.090
让这个数字越来越大 这种直观感觉很对

0:06:28.090,0:06:33.080
一直下去就能得到泊松分布

0:06:33.080,0:06:35.060
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

0:06:35.060,0:06:38.060
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

0:06:38.060,0:06:40.040
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

0:06:40.040,0:06:43.020
而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布

0:06:43.020,0:06:45.070
而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布

0:06:45.070,0:06:48.050
而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头

0:06:48.050,0:06:50.050
而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头

0:06:50.050,0:06:53.070
在我证明… 先换个颜色

0:06:53.070,0:06:55.060
在我证明… 先换个颜色

0:06:55.060,0:06:58.040
在我证明区间个数趋近于无穷大时

0:06:58.040,0:07:01.020
在我证明区间个数趋近于无穷大时

0:07:01.020,0:07:04.550
这就是泊松分布之前

0:07:04.550,0:07:09.010
首先来复习一下手头的数学工具

0:07:09.010,0:07:12.070
首先这个你们可能比较熟悉 也就是

0:07:12.070,0:07:15.080
首先这个你们可能比较熟悉 也就是

0:07:15.080,0:07:25.060
x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方

0:07:25.060,0:07:31.000
x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方

0:07:31.000,0:07:38.000
为了证明这一点 我做一点简单换元

0:07:38.000,0:07:39.020
为了证明这一点 我做一点简单换元

0:07:39.020,0:07:47.080
令1/n=a/x

0:07:47.080,0:07:52.080
于是x=na

0:07:52.080,0:07:55.020
x?1=na

0:07:55.020,0:08:02.000
因此x趋于无穷大时 n趋于什么

0:08:02.000,0:08:04.090
因此x趋于无穷大时 n趋于什么

0:08:04.090,0:08:08.070
n=x/a 所以n也趋于无穷

0:08:08.070,0:08:10.080
因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞

0:08:10.080,0:08:16.040
因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞

0:08:16.040,0:08:21.030
1+… a/x替换为1/n

0:08:21.030,0:08:26.070
而x则替换为na

0:08:26.070,0:08:30.050
于是这等价于 n趋于∞时

0:08:30.050,0:08:39.030
(1+1/n)的n次方的a次方的极限

0:08:39.030,0:08:41.070
a中不含n 所以也就是这个极限的a次方

0:08:41.070,0:08:43.040
a中不含n 所以也就是这个极限的a次方

0:08:43.040,0:08:47.060
也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方

0:08:47.060,0:08:53.070
也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方

0:08:53.070,0:08:58.000
(1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过

0:08:58.000,0:09:00.080
(1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过

0:09:00.080,0:09:02.540
你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e

0:09:02.540,0:09:07.020
你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e

0:09:07.020,0:09:12.000
里面这个等于e 然后取a次幂

0:09:12.000,0:09:14.000
也就是e的a次方

0:09:14.000,0:09:16.020
因此这个极限等于e的a次方

0:09:16.020,0:09:17.080
因此这个极限等于e的a次方

0:09:17.080,0:09:19.080
另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明

0:09:19.080,0:09:22.030
另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明

0:09:22.030,0:09:32.090
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

0:09:32.090,0:09:42.080
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

0:09:42.080,0:09:50.000
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

0:09:50.000,0:09:51.080
我们做过很多次 但没有写得这么抽象过

0:09:51.080,0:09:53.000
我们做过很多次 但没有写得这么抽象过

0:09:53.000,0:09:55.050
这里正好是k项

0:09:55.050,0:09:57.030
这里正好是k项

0:09:57.030,0:10:01.070
1 2 3一直到第k项

0:10:01.070,0:10:04.030
1 2 3一直到第k项

0:10:04.030,0:10:07.020
这对泊松分布的推导很重要

0:10:07.020,0:10:09.010
这对泊松分布的推导很重要

0:10:09.010,0:10:16.480
我举个实际例子 比如7!/(7-2)!

0:10:16.480,0:10:24.000
这等于7?6?5?4?3?2?1

0:10:24.000,0:10:28.090
除以5的阶乘

0:10:28.090,0:10:33.050
即除以5?4?3?2?1

0:10:33.050,0:10:37.010
约去后只剩下7?6

0:10:37.010,0:10:47.000
首先是7 最后项是7-2+1 即6

0:10:47.050,0:10:51.020
此时k=2 正好2项

0:10:51.020,0:10:53.020
下一节再来推导泊松分布 再见

0:10:53.020,0:10:55.070
下一节再来推导泊松分布 再见

0:10:55.070,0:10:59.090
下一节再来推导泊松分布 再见

0:00:01.000,0:00:15.000
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0:00:17.070,0:00:25.070
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0:00:30.070,0:00:45.070
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