WEBVTT

00:00:00.080 --> 00:00:03.050
假设你是一个交通工程师

00:00:03.050 --> 00:00:06.080
想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数

00:00:06.080 --> 00:00:08.030
想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数

00:00:08.030 --> 00:00:10.020
想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率

00:00:10.020 --> 00:00:14.000
想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率

00:00:14.000 --> 00:00:15.080
最好的方式是先定义一个相关的随机变量

00:00:15.080 --> 00:00:20.050
最好的方式是先定义一个相关的随机变量

00:00:20.050 --> 00:00:27.030
假设它表示一个小时内通过车辆数

00:00:27.030 --> 00:00:30.040
假设它表示一个小时内通过车辆数

00:00:31.070 --> 00:00:34.050
然后求出该随机变量的概率分布

00:00:34.050 --> 00:00:37.000
然后求出该随机变量的概率分布

00:00:37.000 --> 00:00:39.040
这就能很容易求出

00:00:39.040 --> 00:00:41.070
一小时内100辆车

00:00:41.070 --> 00:00:45.080
或者其它数量的车经过的概率了

00:00:45.080 --> 00:00:48.020
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

00:00:48.020 --> 00:00:50.050
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

00:00:50.050 --> 00:00:52.020
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

00:00:52.020 --> 00:00:54.060
也就是

00:00:54.060 --> 00:00:58.070
街上此点任意时刻的情况没有差异

00:00:58.070 --> 00:00:59.060
街上此点任意时刻的情况没有差异

00:00:59.060 --> 00:01:01.030
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

00:01:01.030 --> 00:01:03.070
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

00:01:03.070 --> 00:01:06.060
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

00:01:06.060 --> 00:01:08.060
也许不用一小时 用一天更现实一点

00:01:08.060 --> 00:01:12.070
也许不用一小时 用一天更现实一点

00:01:12.070 --> 00:01:14.010
算了 不这么说

00:01:14.010 --> 00:01:17.070
这里假设任意时刻

00:01:17.070 --> 00:01:19.060
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

00:01:19.060 --> 00:01:22.090
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

00:01:22.090 --> 00:01:25.080
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

00:01:25.080 --> 00:01:27.480
这是一种简化假设

00:01:27.480 --> 00:01:32.020
虽然不真实 但不妨就认为是这样

00:01:32.020 --> 00:01:34.010
另一个假设是

00:01:34.010 --> 00:01:36.060
一段时间的车流量对另一段时间没有影响

00:01:36.060 --> 00:01:37.080
一段时间的车流量对另一段时间没有影响

00:01:37.080 --> 00:01:40.060
就算一段时间的车流量少

00:01:40.060 --> 00:01:44.080
不会影响到下一段时间的车流量

00:01:44.080 --> 00:01:47.030
也就是说具有独立性

00:01:47.030 --> 00:01:50.060
这样 我们就能用所学知识

00:01:50.060 --> 00:01:53.040
对这种分布进行建模了

00:01:53.040 --> 00:01:55.070
对于任何分布 我们可以首先估计均值

00:01:55.070 --> 00:01:59.000
对于任何分布 我们可以首先估计均值

00:01:59.000 --> 00:02:03.000
我们可以坐在路边 观察几个小时的车流量

00:02:03.000 --> 00:02:05.010
然后平均起来

00:02:05.010 --> 00:02:08.080
这也许就是总体均值的很好估计值了

00:02:08.080 --> 00:02:09.650
这也许就是总体均值的很好估计值了

00:02:09.650 --> 00:02:13.000
这是一个随机变量 所以也就是期望值

00:02:13.000 --> 00:02:16.060
假设期望值的最好估计值是λ

00:02:16.060 --> 00:02:24.080
假设期望值的最好估计值是λ

00:02:24.080 --> 00:02:27.030
它可能是9辆车/小时

00:02:27.030 --> 00:02:30.010
或者9.3辆车/小时

00:02:30.010 --> 00:02:32.060
你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值

00:02:32.060 --> 00:02:34.050
你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值

00:02:34.050 --> 00:02:37.020
得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值

00:02:37.020 --> 00:02:40.000
得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值

00:02:40.000 --> 00:02:45.050
而我们已经知道二项分布

00:02:45.050 --> 00:02:50.060
二项分布的期望值我们已经知道

00:02:50.060 --> 00:02:55.020
它等于试验的次数n…

00:02:55.020 --> 00:02:57.040
这是随机变量的基本组成

00:02:57.040 --> 00:02:59.040
之前的视频中 我们用抛硬币的例子

00:02:59.040 --> 00:03:00.050
之前的视频中 我们用抛硬币的例子

00:03:00.050 --> 00:03:03.000
n也就是抛硬币的次数

00:03:03.000 --> 00:03:07.020
乘以每一次成功的概率p

00:03:07.020 --> 00:03:09.000
这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模

00:03:09.000 --> 00:03:12.070
这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模

00:03:12.070 --> 00:03:15.040
这是一小时内经过的车辆数

00:03:15.040 --> 00:03:24.030
也许我们可以说 λ辆车/小时等于…

00:03:26.080 --> 00:03:29.080
假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币

00:03:29.080 --> 00:03:31.070
假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币

00:03:31.070 --> 00:03:40.080
那么一小时有60分钟 总共60次试验

00:03:40.080 --> 00:03:43.010
然后每一次成功的概率

00:03:43.010 --> 00:03:46.090
由于这是二项分布

00:03:46.090 --> 00:03:54.040
所以是λ/60辆车/分钟

00:03:54.040 --> 00:03:55.060
前面这是n 后面是概率p

00:03:55.060 --> 00:03:58.060
前面这是n 后面是概率p

00:03:58.060 --> 00:04:00.020
前面这是n 后面是概率p

00:04:00.020 --> 00:04:04.000
这也许并非很糟糕的近似

00:04:04.000 --> 00:04:07.380
由于是二项分布

00:04:07.380 --> 00:04:12.090
随机变量得到某个k值的概率

00:04:12.090 --> 00:04:16.010
比如一小时内经过3辆车的概率

00:04:16.010 --> 00:04:21.080
这也就是n… 也就是60

00:04:21.080 --> 00:04:27.010
n选k 比如刚讲的3辆车经过 乘以成功概率

00:04:27.010 --> 00:04:29.050
即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60

00:04:29.050 --> 00:04:35.090
即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60

00:04:35.090 --> 00:04:41.060
该概率的k次方 乘以不成功

00:04:41.060 --> 00:04:46.050
或者说无车经过的概率 的n-k次方

00:04:46.050 --> 00:04:50.020
k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过

00:04:50.020 --> 00:04:52.090
k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过

00:04:52.090 --> 00:04:55.020
分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似

00:04:55.020 --> 00:04:58.050
分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似

00:04:58.050 --> 00:05:00.030
结果可能很合理 不过有个核心问题

00:05:00.030 --> 00:05:02.060
结果可能很合理 不过有个核心问题

00:05:02.060 --> 00:05:06.050
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

00:05:06.050 --> 00:05:09.090
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

00:05:09.090 --> 00:05:11.060
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

00:05:11.060 --> 00:05:14.020
之前我们把有一辆车通过叫成功

00:05:14.020 --> 00:05:15.030
之前我们把有一辆车通过叫成功

00:05:15.030 --> 00:05:18.070
但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况

00:05:18.070 --> 00:05:21.010
但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况

00:05:21.010 --> 00:05:23.030
解决办法是 分更多的区间

00:05:23.030 --> 00:05:26.000
解决办法是 分更多的区间

00:05:26.000 --> 00:05:31.000
如果分钟不行 我可以分成秒

00:05:31.000 --> 00:05:36.020
这样区间就不是60个 而是3600个

00:05:36.020 --> 00:05:39.080
这样区间就不是60个 而是3600个

00:05:39.080 --> 00:05:43.010
k次成功的概率

00:05:43.010 --> 00:05:48.060
成功也就是某一秒有车通过

00:05:48.060 --> 00:05:52.010
这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…

00:05:52.010 --> 00:05:54.020
这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…

00:05:54.020 --> 00:05:57.090
也就是一小时内车通过的期望数量λ

00:05:57.090 --> 00:06:02.090
除以一小时内的秒数 然后有k次成功

00:06:02.090 --> 00:06:06.020
然后还有失败 失败概率是这么多

00:06:06.020 --> 00:06:12.000
总共是3600-k次失败

00:06:12.000 --> 00:06:13.090
这是更好的近似

00:06:13.090 --> 00:06:16.070
这是更好的近似

00:06:16.070 --> 00:06:19.090
但也有可能一秒钟开过2辆车

00:06:19.090 --> 00:06:21.090
你可能会说 继续进行区间分割不就行了

00:06:21.090 --> 00:06:23.060
你可能会说 继续进行区间分割不就行了

00:06:23.060 --> 00:06:27.030
让这个数字越来越大 这种直观感觉很对

00:06:27.030 --> 00:06:28.090
让这个数字越来越大 这种直观感觉很对

00:06:28.090 --> 00:06:33.080
一直下去就能得到泊松分布

00:06:33.080 --> 00:06:35.060
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

00:06:35.060 --> 00:06:38.060
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

00:06:38.060 --> 00:06:40.040
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

00:06:40.040 --> 00:06:43.020
而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布

00:06:43.020 --> 00:06:45.070
而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布

00:06:45.070 --> 00:06:48.050
而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头

00:06:48.050 --> 00:06:50.050
而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头

00:06:50.050 --> 00:06:53.070
在我证明… 先换个颜色

00:06:53.070 --> 00:06:55.060
在我证明… 先换个颜色

00:06:55.060 --> 00:06:58.040
在我证明区间个数趋近于无穷大时

00:06:58.040 --> 00:07:01.020
在我证明区间个数趋近于无穷大时

00:07:01.020 --> 00:07:04.550
这就是泊松分布之前

00:07:04.550 --> 00:07:09.010
首先来复习一下手头的数学工具

00:07:09.010 --> 00:07:12.070
首先这个你们可能比较熟悉 也就是

00:07:12.070 --> 00:07:15.080
首先这个你们可能比较熟悉 也就是

00:07:15.080 --> 00:07:25.060
x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方

00:07:25.060 --> 00:07:31.000
x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方

00:07:31.000 --> 00:07:38.000
为了证明这一点 我做一点简单换元

00:07:38.000 --> 00:07:39.020
为了证明这一点 我做一点简单换元

00:07:39.020 --> 00:07:47.080
令1/n=a/x

00:07:47.080 --> 00:07:52.080
于是x=na

00:07:52.080 --> 00:07:55.020
x?1=na

00:07:55.020 --> 00:08:02.000
因此x趋于无穷大时 n趋于什么

00:08:02.000 --> 00:08:04.090
因此x趋于无穷大时 n趋于什么

00:08:04.090 --> 00:08:08.070
n=x/a 所以n也趋于无穷

00:08:08.070 --> 00:08:10.080
因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞

00:08:10.080 --> 00:08:16.040
因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞

00:08:16.040 --> 00:08:21.030
1+… a/x替换为1/n

00:08:21.030 --> 00:08:26.070
而x则替换为na

00:08:26.070 --> 00:08:30.050
于是这等价于 n趋于∞时

00:08:30.050 --> 00:08:39.030
(1+1/n)的n次方的a次方的极限

00:08:39.030 --> 00:08:41.070
a中不含n 所以也就是这个极限的a次方

00:08:41.070 --> 00:08:43.040
a中不含n 所以也就是这个极限的a次方

00:08:43.040 --> 00:08:47.060
也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方

00:08:47.060 --> 00:08:53.070
也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方

00:08:53.070 --> 00:08:58.000
(1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过

00:08:58.000 --> 00:09:00.080
(1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过

00:09:00.080 --> 00:09:02.540
你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e

00:09:02.540 --> 00:09:07.020
你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e

00:09:07.020 --> 00:09:12.000
里面这个等于e 然后取a次幂

00:09:12.000 --> 00:09:14.000
也就是e的a次方

00:09:14.000 --> 00:09:16.020
因此这个极限等于e的a次方

00:09:16.020 --> 00:09:17.080
因此这个极限等于e的a次方

00:09:17.080 --> 00:09:19.080
另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明

00:09:19.080 --> 00:09:22.030
另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明

00:09:22.030 --> 00:09:32.090
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

00:09:32.090 --> 00:09:42.080
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

00:09:42.080 --> 00:09:50.000
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

00:09:50.000 --> 00:09:51.080
我们做过很多次 但没有写得这么抽象过

00:09:51.080 --> 00:09:53.000
我们做过很多次 但没有写得这么抽象过

00:09:53.000 --> 00:09:55.050
这里正好是k项

00:09:55.050 --> 00:09:57.030
这里正好是k项

00:09:57.030 --> 00:10:01.070
1 2 3一直到第k项

00:10:01.070 --> 00:10:04.030
1 2 3一直到第k项

00:10:04.030 --> 00:10:07.020
这对泊松分布的推导很重要

00:10:07.020 --> 00:10:09.010
这对泊松分布的推导很重要

00:10:09.010 --> 00:10:16.480
我举个实际例子 比如7!/(7-2)!

00:10:16.480 --> 00:10:24.000
这等于7?6?5?4?3?2?1

00:10:24.000 --> 00:10:28.090
除以5的阶乘

00:10:28.090 --> 00:10:33.050
即除以5?4?3?2?1

00:10:33.050 --> 00:10:37.010
约去后只剩下7?6

00:10:37.010 --> 00:10:47.000
首先是7 最后项是7-2+1 即6

00:10:47.050 --> 00:10:51.020
此时k=2 正好2项

00:10:51.020 --> 00:10:53.020
下一节再来推导泊松分布 再见

00:10:53.020 --> 00:10:55.070
下一节再来推导泊松分布 再见

00:10:55.070 --> 00:10:59.090
下一节再来推导泊松分布 再见

00:00:01.000 --> 00:00:15.000
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00:00:17.070 --> 00:00:25.070
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00:00:30.070 --> 00:00:45.070
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