1
00:00:00,080 --> 00:00:03,050
假设你是一个交通工程师

2
00:00:03,050 --> 00:00:06,080
想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数

3
00:00:06,080 --> 00:00:08,030
想知道任意时刻通过街上某一点的车辆数

4
00:00:08,030 --> 00:00:10,020
想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率

5
00:00:10,020 --> 00:00:14,000
想确定某一小时内100辆车或5辆车通过的概率

6
00:00:14,000 --> 00:00:15,080
最好的方式是先定义一个相关的随机变量

7
00:00:15,080 --> 00:00:20,050
最好的方式是先定义一个相关的随机变量

8
00:00:20,050 --> 00:00:27,030
假设它表示一个小时内通过车辆数

9
00:00:27,030 --> 00:00:30,040
假设它表示一个小时内通过车辆数

10
00:00:31,070 --> 00:00:34,050
然后求出该随机变量的概率分布

11
00:00:34,050 --> 00:00:37,000
然后求出该随机变量的概率分布

12
00:00:37,000 --> 00:00:39,040
这就能很容易求出

13
00:00:39,040 --> 00:00:41,070
一小时内100辆车

14
00:00:41,070 --> 00:00:45,080
或者其它数量的车经过的概率了

15
00:00:45,080 --> 00:00:48,020
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

16
00:00:48,020 --> 00:00:50,050
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

17
00:00:50,050 --> 00:00:52,020
在具体讲泊松分布之前 有两个假设要讲一下

18
00:00:52,020 --> 00:00:54,060
也就是

19
00:00:54,060 --> 00:00:58,070
街上此点任意时刻的情况没有差异

20
00:00:58,070 --> 00:00:59,060
街上此点任意时刻的情况没有差异

21
00:00:59,060 --> 00:01:01,030
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

22
00:01:01,030 --> 00:01:03,070
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

23
00:01:03,070 --> 00:01:06,060
这显然不是真实情况 高峰时间肯定比一般时间车多

24
00:01:06,060 --> 00:01:08,060
也许不用一小时 用一天更现实一点

25
00:01:08,060 --> 00:01:12,070
也许不用一小时 用一天更现实一点

26
00:01:12,070 --> 00:01:14,010
算了 不这么说

27
00:01:14,010 --> 00:01:17,070
这里假设任意时刻

28
00:01:17,070 --> 00:01:19,060
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

29
00:01:19,060 --> 00:01:22,090
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

30
00:01:22,090 --> 00:01:25,080
甚至每分每秒 在车流量方面都是没有差异的

31
00:01:25,080 --> 00:01:27,480
这是一种简化假设

32
00:01:27,480 --> 00:01:32,020
虽然不真实 但不妨就认为是这样

33
00:01:32,020 --> 00:01:34,010
另一个假设是

34
00:01:34,010 --> 00:01:36,060
一段时间的车流量对另一段时间没有影响

35
00:01:36,060 --> 00:01:37,080
一段时间的车流量对另一段时间没有影响

36
00:01:37,080 --> 00:01:40,060
就算一段时间的车流量少

37
00:01:40,060 --> 00:01:44,080
不会影响到下一段时间的车流量

38
00:01:44,080 --> 00:01:47,030
也就是说具有独立性

39
00:01:47,030 --> 00:01:50,060
这样 我们就能用所学知识

40
00:01:50,060 --> 00:01:53,040
对这种分布进行建模了

41
00:01:53,040 --> 00:01:55,070
对于任何分布 我们可以首先估计均值

42
00:01:55,070 --> 00:01:59,000
对于任何分布 我们可以首先估计均值

43
00:01:59,000 --> 00:02:03,000
我们可以坐在路边 观察几个小时的车流量

44
00:02:03,000 --> 00:02:05,010
然后平均起来

45
00:02:05,010 --> 00:02:08,080
这也许就是总体均值的很好估计值了

46
00:02:08,080 --> 00:02:09,650
这也许就是总体均值的很好估计值了

47
00:02:09,650 --> 00:02:13,000
这是一个随机变量 所以也就是期望值

48
00:02:13,000 --> 00:02:16,060
假设期望值的最好估计值是λ

49
00:02:16,060 --> 00:02:24,080
假设期望值的最好估计值是λ

50
00:02:24,080 --> 00:02:27,030
它可能是9辆车/小时

51
00:02:27,030 --> 00:02:30,010
或者9.3辆车/小时

52
00:02:30,010 --> 00:02:32,060
你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值

53
00:02:32,060 --> 00:02:34,050
你可以在守候数百个小时 然后计数 取均值

54
00:02:34,050 --> 00:02:37,020
得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值

55
00:02:37,020 --> 00:02:40,000
得到均值是9.3辆车/小时 这也许是很好的估计值

56
00:02:40,000 --> 00:02:45,050
而我们已经知道二项分布

57
00:02:45,050 --> 00:02:50,060
二项分布的期望值我们已经知道

58
00:02:50,060 --> 00:02:55,020
它等于试验的次数n…

59
00:02:55,020 --> 00:02:57,040
这是随机变量的基本组成

60
00:02:57,040 --> 00:02:59,040
之前的视频中 我们用抛硬币的例子

61
00:02:59,040 --> 00:03:00,050
之前的视频中 我们用抛硬币的例子

62
00:03:00,050 --> 00:03:03,000
n也就是抛硬币的次数

63
00:03:03,000 --> 00:03:07,020
乘以每一次成功的概率p

64
00:03:07,020 --> 00:03:09,000
这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模

65
00:03:09,000 --> 00:03:12,070
这是二项式分布 也许交通情况也可以类似建模

66
00:03:12,070 --> 00:03:15,040
这是一小时内经过的车辆数

67
00:03:15,040 --> 00:03:24,030
也许我们可以说 λ辆车/小时等于…

68
00:03:26,080 --> 00:03:29,080
假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币

69
00:03:29,080 --> 00:03:31,070
假设试验是每分钟内是否有车通过 就像投硬币

70
00:03:31,070 --> 00:03:40,080
那么一小时有60分钟 总共60次试验

71
00:03:40,080 --> 00:03:43,010
然后每一次成功的概率

72
00:03:43,010 --> 00:03:46,090
由于这是二项分布

73
00:03:46,090 --> 00:03:54,040
所以是λ/60辆车/分钟

74
00:03:54,040 --> 00:03:55,060
前面这是n 后面是概率p

75
00:03:55,060 --> 00:03:58,060
前面这是n 后面是概率p

76
00:03:58,060 --> 00:04:00,020
前面这是n 后面是概率p

77
00:04:00,020 --> 00:04:04,000
这也许并非很糟糕的近似

78
00:04:04,000 --> 00:04:07,380
由于是二项分布

79
00:04:07,380 --> 00:04:12,090
随机变量得到某个k值的概率

80
00:04:12,090 --> 00:04:16,010
比如一小时内经过3辆车的概率

81
00:04:16,010 --> 00:04:21,080
这也就是n… 也就是60

82
00:04:21,080 --> 00:04:27,010
n选k 比如刚讲的3辆车经过 乘以成功概率

83
00:04:27,010 --> 00:04:29,050
即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60

84
00:04:29,050 --> 00:04:35,090
即每分钟内有车经过的概率 也就是λ/60

85
00:04:35,090 --> 00:04:41,060
该概率的k次方 乘以不成功

86
00:04:41,060 --> 00:04:46,050
或者说无车经过的概率 的n-k次方

87
00:04:46,050 --> 00:04:50,020
k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过

88
00:04:50,020 --> 00:04:52,090
k次成功对应60-k次失败 或者说无车经过

89
00:04:52,090 --> 00:04:55,020
分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似

90
00:04:55,020 --> 00:04:58,050
分成60个区间 然后看成二项分布是不错的近似

91
00:04:58,050 --> 00:05:00,030
结果可能很合理 不过有个核心问题

92
00:05:00,030 --> 00:05:02,060
结果可能很合理 不过有个核心问题

93
00:05:02,060 --> 00:05:06,050
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

94
00:05:06,050 --> 00:05:09,090
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

95
00:05:09,090 --> 00:05:11,060
也就是 如果一分钟内不止一辆车通过怎么办

96
00:05:11,060 --> 00:05:14,020
之前我们把有一辆车通过叫成功

97
00:05:14,020 --> 00:05:15,030
之前我们把有一辆车通过叫成功

98
00:05:15,030 --> 00:05:18,070
但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况

99
00:05:18,070 --> 00:05:21,010
但没有考虑到一分钟内同时5车通过这样的情况

100
00:05:21,010 --> 00:05:23,030
解决办法是 分更多的区间

101
00:05:23,030 --> 00:05:26,000
解决办法是 分更多的区间

102
00:05:26,000 --> 00:05:31,000
如果分钟不行 我可以分成秒

103
00:05:31,000 --> 00:05:36,020
这样区间就不是60个 而是3600个

104
00:05:36,020 --> 00:05:39,080
这样区间就不是60个 而是3600个

105
00:05:39,080 --> 00:05:43,010
k次成功的概率

106
00:05:43,010 --> 00:05:48,060
成功也就是某一秒有车通过

107
00:05:48,060 --> 00:05:52,010
这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…

108
00:05:52,010 --> 00:05:54,020
这等于3600选k乘以某一秒有车通过的几率…

109
00:05:54,020 --> 00:05:57,090
也就是一小时内车通过的期望数量λ

110
00:05:57,090 --> 00:06:02,090
除以一小时内的秒数 然后有k次成功

111
00:06:02,090 --> 00:06:06,020
然后还有失败 失败概率是这么多

112
00:06:06,020 --> 00:06:12,000
总共是3600-k次失败

113
00:06:12,000 --> 00:06:13,090
这是更好的近似

114
00:06:13,090 --> 00:06:16,070
这是更好的近似

115
00:06:16,070 --> 00:06:19,090
但也有可能一秒钟开过2辆车

116
00:06:19,090 --> 00:06:21,090
你可能会说 继续进行区间分割不就行了

117
00:06:21,090 --> 00:06:23,060
你可能会说 继续进行区间分割不就行了

118
00:06:23,060 --> 00:06:27,030
让这个数字越来越大 这种直观感觉很对

119
00:06:27,030 --> 00:06:28,090
让这个数字越来越大 这种直观感觉很对

120
00:06:28,090 --> 00:06:33,080
一直下去就能得到泊松分布

121
00:06:33,080 --> 00:06:35,060
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

122
00:06:35,060 --> 00:06:38,060
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

123
00:06:38,060 --> 00:06:40,040
一般而言 书本只会给出泊松分布的公式让你套

124
00:06:40,040 --> 00:06:43,020
而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布

125
00:06:43,020 --> 00:06:45,070
而我这里告诉你们 它其实就是来自二项分布

126
00:06:45,070 --> 00:06:48,050
而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头

127
00:06:48,050 --> 00:06:50,050
而二项分布就是某种抛硬币 这是一切的源头

128
00:06:50,050 --> 00:06:53,070
在我证明… 先换个颜色

129
00:06:53,070 --> 00:06:55,060
在我证明… 先换个颜色

130
00:06:55,060 --> 00:06:58,040
在我证明区间个数趋近于无穷大时

131
00:06:58,040 --> 00:07:01,020
在我证明区间个数趋近于无穷大时

132
00:07:01,020 --> 00:07:04,550
这就是泊松分布之前

133
00:07:04,550 --> 00:07:09,010
首先来复习一下手头的数学工具

134
00:07:09,010 --> 00:07:12,070
首先这个你们可能比较熟悉 也就是

135
00:07:12,070 --> 00:07:15,080
首先这个你们可能比较熟悉 也就是

136
00:07:15,080 --> 00:07:25,060
x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方

137
00:07:25,060 --> 00:07:31,000
x趋于无穷大时 (1+a/x)的x次方极限是e的a次方

138
00:07:31,000 --> 00:07:38,000
为了证明这一点 我做一点简单换元

139
00:07:38,000 --> 00:07:39,020
为了证明这一点 我做一点简单换元

140
00:07:39,020 --> 00:07:47,080
令1/n=a/x

141
00:07:47,080 --> 00:07:52,080
于是x=na

142
00:07:52,080 --> 00:07:55,020
x?1=na

143
00:07:55,020 --> 00:08:02,000
因此x趋于无穷大时 n趋于什么

144
00:08:02,000 --> 00:08:04,090
因此x趋于无穷大时 n趋于什么

145
00:08:04,090 --> 00:08:08,070
n=x/a 所以n也趋于无穷

146
00:08:08,070 --> 00:08:10,080
因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞

147
00:08:10,080 --> 00:08:16,040
因此换元后 这等价于 求极限 n趋于∞

148
00:08:16,040 --> 00:08:21,030
1+… a/x替换为1/n

149
00:08:21,030 --> 00:08:26,070
而x则替换为na

150
00:08:26,070 --> 00:08:30,050
于是这等价于 n趋于∞时

151
00:08:30,050 --> 00:08:39,030
(1+1/n)的n次方的a次方的极限

152
00:08:39,030 --> 00:08:41,070
a中不含n 所以也就是这个极限的a次方

153
00:08:41,070 --> 00:08:43,040
a中不含n 所以也就是这个极限的a次方

154
00:08:43,040 --> 00:08:47,060
也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方

155
00:08:47,060 --> 00:08:53,070
也就是n趋于∞时(1+1/n)?的极限的a次方

156
00:08:53,070 --> 00:08:58,000
(1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过

157
00:08:58,000 --> 00:09:00,080
(1+1/n)?的极限就是e的定义 讲复利时我讲过

158
00:09:00,080 --> 00:09:02,540
你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e

159
00:09:02,540 --> 00:09:07,020
你可以用计算器试试很大的n值 看是否得到e

160
00:09:07,020 --> 00:09:12,000
里面这个等于e 然后取a次幂

161
00:09:12,000 --> 00:09:14,000
也就是e的a次方

162
00:09:14,000 --> 00:09:16,020
因此这个极限等于e的a次方

163
00:09:16,020 --> 00:09:17,080
因此这个极限等于e的a次方

164
00:09:17,080 --> 00:09:19,080
另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明

165
00:09:19,080 --> 00:09:22,030
另外一个我要讲的工具也许要在下一节才能证明

166
00:09:22,030 --> 00:09:32,090
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

167
00:09:32,090 --> 00:09:42,080
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

168
00:09:42,080 --> 00:09:50,000
也就是x!/(x-k)!=x(x-1)(x-2)一直乘到(x-k+1)

169
00:09:50,000 --> 00:09:51,080
我们做过很多次 但没有写得这么抽象过

170
00:09:51,080 --> 00:09:53,000
我们做过很多次 但没有写得这么抽象过

171
00:09:53,000 --> 00:09:55,050
这里正好是k项

172
00:09:55,050 --> 00:09:57,030
这里正好是k项

173
00:09:57,030 --> 00:10:01,070
1 2 3一直到第k项

174
00:10:01,070 --> 00:10:04,030
1 2 3一直到第k项

175
00:10:04,030 --> 00:10:07,020
这对泊松分布的推导很重要

176
00:10:07,020 --> 00:10:09,010
这对泊松分布的推导很重要

177
00:10:09,010 --> 00:10:16,480
我举个实际例子 比如7!/(7-2)!

178
00:10:16,480 --> 00:10:24,000
这等于7?6?5?4?3?2?1

179
00:10:24,000 --> 00:10:28,090
除以5的阶乘

180
00:10:28,090 --> 00:10:33,050
即除以5?4?3?2?1

181
00:10:33,050 --> 00:10:37,010
约去后只剩下7?6

182
00:10:37,010 --> 00:10:47,000
首先是7 最后项是7-2+1 即6

183
00:10:47,050 --> 00:10:51,020
此时k=2 正好2项

184
00:10:51,020 --> 00:10:53,020
下一节再来推导泊松分布 再见

185
00:10:53,020 --> 00:10:55,070
下一节再来推导泊松分布 再见

186
00:10:55,070 --> 00:10:59,090
下一节再来推导泊松分布 再见

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00:00:01,000 --> 00:00:15,000
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00:00:17,070 --> 00:00:25,070
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00:00:30,070 --> 00:00:45,070
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