Процес Пуассона 1

Вступ до Процесів Пуассона та Розподілу Пуассона.

Скажімо, що ви є проектувальником
шляхів і вам

треба з’ясувати скільки автівок проходить
крізь певну

ділянку вулиці у будь-який конкретний проміжок
часу

І ви хочете з’ясувати ймовірність того,

що сотня чи тільки п'ять автівок пройде
за дану годину.

Отож, гарним початком буде просто
визначити випадкову

змінну, що по суті являє собою те, що
вас цікавить.

Отже, скажімо це - кількість автівок, що
проїхали за певний проміжок

часу, скажімо, за годину.

І вашою метою є з’ясувати розподіл
ймовірності

цієї випадкової змінної і коли ви вже
знатимете цей розподіл

ймовірності, тоді ви зможете з’ясувати
чому дорівнює

ймовірність того, що 100 автівок проїдуть
або ймовірність того,

що жодної автівки не проїде протягом
години і ви будете невпинні.

Трохи відхиляючись від теми, просто аби
заглянути наперед

цього відео, є два припущення
які нам слід зробити,

оскільки ми збираємося вивчати розподіл
Пуассона.

І відповідно до вивчення цього нам слід
зробити

два припущення:

Перше - що жодна година на цій ділянці
вулиці не відрізняється

від будь-якої іншої години.

І ми знаємо, що це ймовірно хиба.

Протягом однієї години пік у
справжньому житті ви, ймовірно,

матимете за цю годину більше автівок,
ніж протягом інших годин.

І ви знаєте, якщо ви бажаєте бути більш
реалістичними, то, можливо,

варто робити це для доби, а не години,
оскільки за добу проходить будь-який період часу...

насправді, ні.

Я не маю робити це для доби.

Ми маємо припустити, що кожна година
є цілковито такою самою,

як і будь-яка інша година і, насправді,
навіть протягом цієї години

немає насправді жодної відмінності
між різними періодами щодо

даної ймовірності, що з’явиться автівка.

Це, певного роду, спрощуюче припущення, яке,

можливо, й не буде реалістичним для
справжнього дорожнього руху,

але ми гадаємо, що ми можемо зробити
таке припущення.

А тоді іншим припущенням, яке нам слід
зробити, буде

низка автівок, які проїжджають протягом однієї
години, то це не означає, що

наступної години проїде менше автівок.

При цьому, немає жодного такого способу,
згідно якого кількість автівок, що
проїжджає

протягом одного періоду часу впливатиме
якимось чином на кількість автівок

що проїзджатиме протягом наступного
періоду часу.

Ці події є цілком незалежними.

Маючи ці припущення, тепер ми в змозі,
принаймні, спробувати використати наші

навички аби змоделювати певний тип
розподілу.

Першою річчю, яку ми зробимо і я радив
робити це для будь-якого

розподілу, це буде оцінка даного
середнього значення.

Давайте зупинимось на цьому узбіччі та
виміряємо чому дорівнює ця змінна

протягом низки годин, а тоді знайдемо
середню величину цього, а це буде

доволі гарною оцінкою для даного
справжнього середнього значення

нашої загальної сукупності.

Або, оскільки це випадкова змінна,
це очікувана величина

цієї випадкової змінної.

Скажімо, ви зробили це і отримали вашу
найкращу оціку даної

очікуваної величини для цієї випадкової
змінної... я використаю

літеру лямбда.

Це могло б бути 9 автівок за годину.

Ви сідили тут... Це могло бути 9,3 автівки
за годину.

Ви просиділи тут понад сотню годин і
просто рахували

кількість автівок кожної години і ви
знаходили при цьому їх середню кількість.

Ми сказали, що всередньому це 9,3 автівки
за годину і ми

вважаємо, що це доволі гарна оцінка.

Отож, ось що ми маємо тут.

І давайте гляньмо, що ми можемо зробити.

Ми знаємо двочленний розподіл.

Двочленний розподіл каже нам, що дана
очікувана величина для

випадкової змінної дорівнює кількості
випробувань, з яких ця

випадкова змінна певним чином
складається, правильно?

Раніше, у попередніх відео ми рахували
кількість

лицьових боків при підкиданні монети.

Отож, це могла б бути кількість підкидань
монети помножена

на ймовірність успіху при кожному
підкиданні.

Це те, що ми робили при двочленному
розподілі.

Отож, можливо, ми зможемо змоделювати
наш випадок з дорожнім рухом

якимось схожим чином.

Це дана кількість автівок, що проїзджають
за годину.

Отож, можливо ми могли б сказати, що
лямбда автівок за годину дорівнює...

я не знаю.

Нумо зробимо так, щоб кожен дослід або
кожне підкидання монети дорівнювало

тому, що автівка проїжджає повз протягом
даної хвилини.

Отож, у годині є 60 хвилин, отож має

бути 60 випробувань.

А тоді, ймовірність, що ми матимемо успіх
при кожному

з цих випробувань, якщо б ми
змоделювали це як двочленний розподіл,

могла б дорівнювати лямбда поділити
на 60 автівок за хвилину.

І це - могла б бути ймовірність.

Це могло б бути n, а це могло бути даною
ймовірністю, якщо б нам сказали,

що це - двочленний розподіл.

І це, ймовірно, було б не таким вже й
поганим наближенням.

Якщо б ми, насправді, сказали, що
це - двочленний

розподіл, то ця ймовірність
нашої випадкової

змінної дорівнює певній величині k.

Ви ж знаєте, ймовірність, що 3 автівки,
саме 3 автівки проїжджають

протягом даної години, це могло б тоді
дорівнювати n.

Отож, n могло б бути 60.

Обираємо при цьому k автівок, отож,
я маю 3 автівки помножити

на ймовірність успіху.

Отож, це ймовірність, що проїде автівка
протягом будь-якої хвилини.

І це буде лямбда поділити на 60 у
степені рівній кількості

успіхів, які нам треба.

Отож, у k-тому степені, помножити на
ймовірність неуспіху або

що не проїде жодна автівка і це у
степені n мінус k.

Якщо ми маємо k успіхів, то ми маємо
60 мінус k хиб.

При цьому є 60 мінус k хвилин за які жодна
автівка не проїзджає.

Це, насправді, буде не таким вже й поганим
наближенням

де ви матимете 60 проміжків і скажете,
що це - двочленний

розподіл.

І, можливо, ви й отримаєте обґрунтовані
результати.

Але тут криється суттєва проблема.

У цій моделі ми моделюємо це як
двочленний розподіл,

що ж відбудеться якщо більше ніж одна
автівка проїде протягом години?

Або більше ніж одна автівка проїде
протягом хвилини?

Зараз же ми визначаємо успіх, якщо одна

автівка проїзджає протягом хвилини.

І якщо ви певним чином прораховуєте це, то
це рахується як один успіх, навіть

якщо 5 автівок проїдуть протягом хвилини.

Зрештою ви скажете: "Гаразд, Сале. Я знаю
як вирішити це.

Я маю обрати більш дрібні
проміжки."

Замість розподілу цього по хвилинах,

чому б не розподілити це по секундах?

Зрештою,ймовірність того, що я матиму k
успіхів... замість 60 проміжків

я зроблю 3600 проміжків.

Ймовірність k успішних секунд, тобто
секунд

коли проїжджає автівка з-поміж усіх
3600 секунд.

Тобто з усіх 3600 обирають k помножити на
ймовірність того, що автівка

проїде будь-якої даної секунди.

Це - очікувана кількість автівок за годину
поділити

на кількість секунд у годині.

Ми збираємося отримати k успіхів.

А це є хиби, ймовірність хиби

і ми матимемо 3600 мінус k хиб.

І це буде навіть краще наближення.

Це, насправді, буде не так вже й погано,
але все ще ви матимете цей

випадок коли 2 автівки можуть
проїхати

протягом півсекунди кожна.

І ви скажете: "Гаразд, Сале. Я бачу цю
систему тут."

Ми просто маємо брати все більш і більш
дрібні проміжки.

Ми просто маємо робити цю кількість
все більшою,

і більшою, і більшою.

І це інтуїтивне розуміння є правильним.

І якщо ви зробите так, то закінчиться це
усе тим, що ви отримаєте

розподіл Пуассона.

І це, насправді, є цікаво, оскільки багато
разів

вам дають формулу для розподілу
Пуассона і ви

можете просто вставити
ці числа і використати формулу.

Але важливо знати, що це, насправді,
просто двочленний

розподіл і цей двочленний розподіл
походить

з певного роду загального розуміння
наслідків підкидання монети.

Ось звідки усе це походить.

Але перш ніж ми доведемо це, якщо
ми візьмемо дану межу як...

(зміню кольори)

Перш ніж ми доведемо це, ми візьмемо
дану межу як це число ось тут,

це число проміжків, що прямує до
нескінченості,

щоб це стало нашим розподілом Пуассона.

Я збираюся переконатися, що ми маємо
двійко математичних

знарядь напоготові.

Отож, першим буде те з чим ви вже
ймовірно доволі добре

знайомі, але я просто бажаю переконатися
що

дана межа, коли х прямує до нескінченості
1 плюс а/х у степені х

це дорівнює е у степені ах...ні, вибачте.

Це дорівнює е у степені а і тепер я просто
доведу це вам,

давайте підставимо тут щось.

Скажімо, що n дорівнює, наприклад,

1 поділити на n дорівнюватиме а поділити
на х.

А тоді чому дорівнюватиме х?
х дорівнюватиме na.

х помножити на 1 дорівнює n помножити
на а.

Отже, дана межа, коли х прямує до
нескінченості,

до чого ж прямує а?

а... вибачте.

Коли х прямує до нескінченості, тоді
до чого прямує n?

n це х поділене на а.

Отож n також буде прямувати до
нескінченості.

Тож ця річ не зміниться, оскільки я просто
зробив

таку підстановку, що дана межа коли
n прямує до нескінченості

1 плюс... а/х, я зробив підстановку 1/n.

А х це, згідно цієї підстановки, це n
помножене на а.

І це буде такою самою річчю, що й
дана межа, коли n

прямує до нескінченості, 1 плюс 1/n у
степені n,

і усе це у степені а.

І оскільки тут немає жодного n, то ми
могли б просто знайти цю межу

цього і тоді піднести це до степеня а.

Отож, це буде дорівнювати даній межі,
коли n прямує

до нескінченості, 1 плюс 1/n у
n-му степені,

і усе це у степені а.

І це є нашим визначенням або одним зі
шляхів дістатися е, якщо ви

дивилися наші відео про складні відсотки
і усе таке.

Ось як ми дісталися е.

І якщо ви спробуєте це на вашому
калькуляторі, просто спробуйте збільшувати

і збільшувати n тут і ви отримаєте е.

Ця внутрішня частина дорівнює е,
і ми збільшили її до степеня а,

отож це дорівнює е у степені а.

Тож, сподіваюся, що ви цілком задоволені
тим, що ця межа

дорівнює е у степені а.

А тепер ще одне знаряддя, яке я прагну
мати напоготові,

і я, насправді, можливо, зроблю це
доведення у наступному відео.

Іншим даним знаряддям є усвідомлення
того, що х факторіал поділити на

х мінус k факторіал дорівнює х помножити
на х мінус 1 помножити

на х мінус 2 і так далі аж до помножити
на х мінус k плюс 1.

І ми робили це багато разів, але це є

найбільш абстрактним з усього будь-коли
записаного нами.

Я можу надати вам двійко... і просто щоб
ви розуміли,

це буде саме k складові тут.

1, 2, 3... Отож перша складова, друга
складова і так

далі аж до цієї k-тої складової.

І це дуже важливо для даного виведення
формули

розподілу Пуассона.

Але просто аби втілити це у дійсних
числах, якщо я маю 7 факторіал

поділити на 7 мінус 2 факторіал, то це
дорівнює 7 помножити на 6 помножити

на 5 помножити на 4 помножити на 3
помножити на 2 помножити на 1.

Поділити на 2 помножити... ні, вибачте.

7 мінус 2 це 5.

Отже поділити на 5 помножити на 4
помножити на 3 помножити на 2
помножити на 1.

Це скорочується і ви отримуєте просто
7 помножити на 6.

Отже, це 7 і тоді ця остання складова
це 7 мінус

2 плюс 1, що дорівнює 6.

У цьому прикладі, k було 2 і ми мали
саме 2 складові.

Отож, оскільки ми знаємо ці дві речі, то
тепер ми готові

вивести формулу розподілу Пуассона та

я зроблю це у наступному відео.

Невдовзі побачимося.