1
00:00:00,860 --> 00:00:03,540
Скажімо, що ви є проектувальником
шляхів і вам

2
00:00:03,540 --> 00:00:06,810
треба з’ясувати скільки автівок проходить
крізь певну

3
00:00:06,810 --> 00:00:08,320
ділянку вулиці у будь-який конкретний проміжок
часу

4
00:00:08,320 --> 00:00:10,210
І ви хочете з’ясувати ймовірність того,

5
00:00:10,210 --> 00:00:14,010
що сотня чи тільки п'ять автівок пройде 
за дану годину.

6
00:00:14,010 --> 00:00:15,810
Отож, гарним початком буде просто
визначити випадкову

7
00:00:15,810 --> 00:00:20,530
змінну, що по суті являє собою те, що
вас цікавить.

8
00:00:20,530 --> 00:00:27,350
Отже, скажімо це - кількість автівок, що
проїхали за певний проміжок

9
00:00:27,350 --> 00:00:30,407
часу, скажімо, за годину.

10
00:00:31,710 --> 00:00:34,510
І вашою метою є з’ясувати розподіл
ймовірності

11
00:00:34,510 --> 00:00:37,050
цієї випадкової змінної і коли ви вже
знатимете цей розподіл

12
00:00:37,050 --> 00:00:39,450
ймовірності, тоді ви зможете з’ясувати
чому дорівнює

13
00:00:39,450 --> 00:00:41,790
ймовірність того, що 100 автівок проїдуть
або ймовірність того,

14
00:00:41,790 --> 00:00:45,890
що жодної автівки не проїде протягом
години і ви будете невпинні.

15
00:00:45,890 --> 00:00:48,290
Трохи відхиляючись від теми, просто аби
заглянути наперед

16
00:00:48,290 --> 00:00:50,540
цього відео, є два припущення
які нам слід зробити,

17
00:00:50,540 --> 00:00:52,235
оскільки ми збираємося вивчати розподіл
Пуассона.

18
00:00:52,235 --> 00:00:54,110
І відповідно до вивчення цього нам слід
зробити

19
00:00:54,110 --> 00:00:54,630
два припущення:

20
00:00:54,630 --> 00:00:58,770
Перше - що жодна година на цій ділянці
вулиці не відрізняється

21
00:00:58,770 --> 00:00:59,650
від будь-якої іншої години.

22
00:00:59,650 --> 00:01:01,340
І ми знаємо, що це ймовірно хиба.

23
00:01:01,340 --> 00:01:03,750
Протягом однієї години пік у 
справжньому житті ви, ймовірно,

24
00:01:03,750 --> 00:01:06,640
матимете за цю годину більше автівок,
ніж протягом інших годин.

25
00:01:06,640 --> 00:01:08,640
І ви знаєте, якщо ви бажаєте бути більш
реалістичними, то, можливо,

26
00:01:08,640 --> 00:01:12,370
варто робити це для доби, а не години,
оскільки за добу проходить будь-який період часу...

27
00:01:12,370 --> 00:01:12,750
насправді, ні.

28
00:01:12,750 --> 00:01:14,120
Я не маю робити це для доби.

29
00:01:14,120 --> 00:01:17,750
Ми маємо припустити, що кожна година
є цілковито такою самою,

30
00:01:17,750 --> 00:01:19,650
як і будь-яка інша година і, насправді,
навіть протягом цієї години

31
00:01:19,650 --> 00:01:22,990
немає насправді жодної відмінності
між різними періодами щодо

32
00:01:22,990 --> 00:01:25,820
даної ймовірності, що з’явиться автівка.

33
00:01:25,820 --> 00:01:27,950
Це, певного роду, спрощуюче припущення, яке,

34
00:01:27,950 --> 00:01:29,950
можливо, й не буде реалістичним для 
справжнього дорожнього руху,

35
00:01:29,950 --> 00:01:32,270
але ми гадаємо, що ми можемо зробити
таке припущення.

36
00:01:32,270 --> 00:01:34,160
А тоді іншим припущенням, яке нам слід
зробити, буде

37
00:01:34,160 --> 00:01:36,690
низка автівок, які проїжджають протягом однієї
години, то це не означає, що

38
00:01:36,690 --> 00:01:37,820
наступної години проїде менше автівок.

39
00:01:37,820 --> 00:01:40,630
При цьому, немає жодного такого способу,
згідно якого кількість автівок, що 
проїжджає

40
00:01:40,630 --> 00:01:44,860
протягом одного періоду часу впливатиме
якимось чином на кількість автівок

41
00:01:44,860 --> 00:01:46,420
що проїзджатиме протягом наступного
періоду часу.

42
00:01:46,420 --> 00:01:47,370
Ці події є цілком незалежними.

43
00:01:47,370 --> 00:01:50,670
Маючи ці припущення, тепер ми в змозі,
принаймні, спробувати використати наші

44
00:01:50,670 --> 00:01:53,480
навички аби змоделювати певний тип
розподілу.

45
00:01:53,480 --> 00:01:55,770
Першою річчю, яку ми зробимо і я радив
робити це для будь-якого

46
00:01:55,770 --> 00:01:59,090
розподілу, це буде оцінка даного 
середнього значення.

47
00:01:59,090 --> 00:02:03,040
Давайте зупинимось на цьому узбіччі та 
виміряємо чому дорівнює ця змінна

48
00:02:03,040 --> 00:02:05,170
протягом низки годин, а тоді знайдемо
середню величину цього, а це буде

49
00:02:05,170 --> 00:02:08,890
доволі гарною оцінкою для даного
справжнього середнього значення

50
00:02:08,890 --> 00:02:09,880
нашої загальної сукупності.

51
00:02:09,880 --> 00:02:12,270
Або, оскільки це випадкова змінна, 
це очікувана величина

52
00:02:12,270 --> 00:02:13,010
цієї випадкової змінної.

53
00:02:13,010 --> 00:02:16,660
Скажімо, ви зробили це і отримали вашу
найкращу оціку даної

54
00:02:16,660 --> 00:02:22,270
очікуваної величини для цієї випадкової
змінної... я використаю

55
00:02:22,270 --> 00:02:24,850
літеру лямбда.

56
00:02:24,850 --> 00:02:27,380
Це могло б бути 9 автівок за годину.

57
00:02:27,380 --> 00:02:30,190
Ви сідили тут... Це могло бути 9,3 автівки
за годину.

58
00:02:30,190 --> 00:02:32,670
Ви просиділи тут понад сотню годин і 
просто рахували

59
00:02:32,670 --> 00:02:34,590
кількість автівок кожної години і ви 
знаходили при цьому їх середню кількість.

60
00:02:34,590 --> 00:02:37,250
Ми сказали, що всередньому це 9,3 автівки
за годину і ми

61
00:02:37,250 --> 00:02:38,680
вважаємо, що це доволі гарна оцінка.

62
00:02:38,680 --> 00:02:40,080
Отож, ось що ми маємо тут.

63
00:02:40,080 --> 00:02:42,000
І давайте гляньмо, що ми можемо зробити.

64
00:02:42,000 --> 00:02:45,560
Ми знаємо двочленний розподіл.

65
00:02:45,560 --> 00:02:50,650
Двочленний розподіл каже нам, що дана
очікувана величина для

66
00:02:50,650 --> 00:02:55,220
випадкової змінної дорівнює кількості
випробувань, з яких ця

67
00:02:55,220 --> 00:02:57,460
випадкова змінна певним чином 
складається, правильно?

68
00:02:57,460 --> 00:02:59,490
Раніше, у попередніх відео ми рахували
кількість

69
00:02:59,490 --> 00:03:00,500
лицьових боків при підкиданні монети.

70
00:03:00,500 --> 00:03:03,070
Отож, це могла б бути кількість підкидань
монети помножена

71
00:03:03,070 --> 00:03:07,290
на ймовірність успіху при кожному 
підкиданні.

72
00:03:07,290 --> 00:03:09,000
Це те, що ми робили при двочленному
розподілі.

73
00:03:09,000 --> 00:03:11,670
Отож, можливо, ми зможемо змоделювати
наш випадок з дорожнім рухом

74
00:03:11,670 --> 00:03:12,780
якимось схожим чином.

75
00:03:12,780 --> 00:03:15,400
Це дана кількість автівок, що проїзджають
за годину.

76
00:03:15,400 --> 00:03:22,800
Отож, можливо ми могли б сказати, що
лямбда автівок за годину дорівнює...

77
00:03:22,800 --> 00:03:24,330
я не знаю.

78
00:03:26,850 --> 00:03:29,880
Нумо зробимо так, щоб кожен дослід або
кожне підкидання монети дорівнювало

79
00:03:29,880 --> 00:03:31,780
тому, що автівка проїжджає повз протягом
даної хвилини.

80
00:03:31,780 --> 00:03:37,980
Отож, у годині є 60 хвилин, отож має

81
00:03:37,980 --> 00:03:40,870
бути 60 випробувань.

82
00:03:40,870 --> 00:03:43,190
А тоді, ймовірність, що ми матимемо успіх
при кожному

83
00:03:43,190 --> 00:03:46,990
з цих випробувань, якщо б ми 
змоделювали це як двочленний розподіл,

84
00:03:46,990 --> 00:03:54,450
могла б дорівнювати лямбда поділити
на 60 автівок за хвилину.

85
00:03:54,450 --> 00:03:55,660
І це - могла б бути ймовірність.

86
00:03:55,660 --> 00:03:58,640
Це могло б бути n, а це могло бути даною
ймовірністю, якщо б нам сказали,

87
00:03:58,640 --> 00:04:00,270
що це - двочленний розподіл.

88
00:04:00,270 --> 00:04:04,030
І це, ймовірно, було б не таким вже й
поганим наближенням.

89
00:04:04,030 --> 00:04:06,130
Якщо б ми, насправді, сказали, що
це - двочленний

90
00:04:06,130 --> 00:04:10,380
розподіл, то ця ймовірність
нашої випадкової

91
00:04:10,380 --> 00:04:12,940
змінної дорівнює певній величині k.

92
00:04:12,940 --> 00:04:16,170
Ви ж знаєте, ймовірність, що 3 автівки,
саме 3 автівки проїжджають

93
00:04:16,170 --> 00:04:19,750
протягом даної години, це могло б тоді
дорівнювати n.

94
00:04:19,750 --> 00:04:21,890
Отож, n могло б бути 60.

95
00:04:21,890 --> 00:04:26,010
Обираємо при цьому k автівок, отож,
я маю 3 автівки помножити

96
00:04:26,010 --> 00:04:27,190
на ймовірність успіху.

97
00:04:27,190 --> 00:04:29,570
Отож, це ймовірність, що проїде автівка
протягом будь-якої хвилини.

98
00:04:29,570 --> 00:04:34,770
І це буде лямбда поділити на 60 у
степені рівній кількості

99
00:04:34,770 --> 00:04:35,980
успіхів, які нам треба.

100
00:04:35,980 --> 00:04:41,660
Отож, у k-тому степені, помножити на
ймовірність неуспіху або

101
00:04:41,660 --> 00:04:46,560
що не проїде жодна автівка і це у
степені n мінус k.

102
00:04:46,560 --> 00:04:50,230
Якщо ми маємо k успіхів, то ми маємо
60 мінус k хиб.

103
00:04:50,230 --> 00:04:52,950
При цьому є 60 мінус k хвилин за які жодна
автівка не проїзджає.

104
00:04:52,950 --> 00:04:55,270
Це, насправді, буде не таким вже й поганим
наближенням

105
00:04:55,270 --> 00:04:57,250
де ви матимете 60 проміжків і скажете,
що це - двочленний

106
00:04:57,250 --> 00:04:58,560
розподіл.

107
00:04:58,560 --> 00:05:00,310
І, можливо, ви й отримаєте обґрунтовані
результати.

108
00:05:00,310 --> 00:05:02,600
Але тут криється суттєва проблема.

109
00:05:02,600 --> 00:05:06,580
У цій моделі ми моделюємо це як
двочленний розподіл,

110
00:05:06,580 --> 00:05:09,980
що ж відбудеться якщо більше ніж одна
автівка проїде протягом години?

111
00:05:09,980 --> 00:05:11,630
Або більше ніж одна автівка проїде
протягом хвилини?

112
00:05:11,630 --> 00:05:14,270
Зараз же ми визначаємо успіх, якщо одна

113
00:05:14,270 --> 00:05:15,320
автівка проїзджає протягом хвилини.

114
00:05:15,320 --> 00:05:18,790
І якщо ви певним чином прораховуєте це, то
це рахується як один успіх, навіть

115
00:05:18,790 --> 00:05:21,190
якщо 5 автівок проїдуть протягом хвилини.

116
00:05:21,190 --> 00:05:23,390
Зрештою ви скажете: "Гаразд, Сале. Я знаю
як вирішити це.

117
00:05:23,390 --> 00:05:26,040
Я маю обрати більш дрібні
проміжки."

118
00:05:26,040 --> 00:05:28,870
Замість розподілу цього по хвилинах,


119
00:05:28,870 --> 00:05:31,050
чому б не розподілити це по секундах?

120
00:05:31,050 --> 00:05:36,210
Зрештою,ймовірність того, що я матиму k
успіхів... замість 60 проміжків

121
00:05:36,210 --> 00:05:39,820
я зроблю 3600 проміжків.

122
00:05:39,820 --> 00:05:43,170
Ймовірність k успішних секунд, тобто
секунд

123
00:05:43,170 --> 00:05:48,610
коли проїжджає автівка з-поміж усіх
3600 секунд.

124
00:05:48,610 --> 00:05:52,190
Тобто з усіх 3600 обирають k помножити на
ймовірність того, що автівка

125
00:05:52,190 --> 00:05:55,210
проїде будь-якої даної секунди.

126
00:05:55,210 --> 00:05:57,930
Це - очікувана кількість автівок за годину
поділити

127
00:05:57,930 --> 00:06:00,430
на кількість секунд у годині.

128
00:06:00,430 --> 00:06:01,403
Ми збираємося отримати k успіхів.

129
00:06:03,990 --> 00:06:06,270
А це є хиби, ймовірність хиби

130
00:06:06,270 --> 00:06:12,050
і ми матимемо 3600 мінус k хиб.

131
00:06:12,050 --> 00:06:13,910
І це буде навіть краще наближення.

132
00:06:13,910 --> 00:06:16,770
Це, насправді, буде не так вже й погано,
але все ще ви матимете цей

133
00:06:16,770 --> 00:06:19,100
випадок коли 2 автівки можуть
проїхати

134
00:06:19,100 --> 00:06:19,980
протягом півсекунди кожна.

135
00:06:19,980 --> 00:06:21,910
І ви скажете: "Гаразд, Сале. Я бачу цю
систему тут."

136
00:06:21,910 --> 00:06:23,650
Ми просто маємо брати все більш і більш
дрібні проміжки.

137
00:06:23,650 --> 00:06:26,170
Ми просто маємо робити цю кількість
все більшою,

138
00:06:26,170 --> 00:06:27,400
і більшою, і більшою.

139
00:06:27,400 --> 00:06:28,950
І це інтуїтивне розуміння є правильним.

140
00:06:28,950 --> 00:06:31,340
І якщо ви зробите так, то закінчиться це
усе тим, що ви отримаєте

141
00:06:31,340 --> 00:06:33,860
розподіл Пуассона.

142
00:06:33,860 --> 00:06:35,620
І це, насправді, є цікаво, оскільки багато
разів

143
00:06:35,620 --> 00:06:38,600
вам дають формулу для розподілу 
Пуассона і ви

144
00:06:38,600 --> 00:06:40,420
можете просто вставити
ці числа і використати формулу.

145
00:06:40,420 --> 00:06:43,250
Але важливо знати, що це, насправді,
просто двочленний

146
00:06:43,250 --> 00:06:45,790
розподіл і цей двочленний розподіл
походить

147
00:06:45,790 --> 00:06:48,590
з певного роду загального розуміння
наслідків підкидання монети.

148
00:06:48,590 --> 00:06:50,500
Ось звідки усе це походить.

149
00:06:50,500 --> 00:06:53,710
Але перш ніж ми доведемо це, якщо
ми візьмемо дану межу як...

150
00:06:53,710 --> 00:06:55,670
(зміню кольори)

151
00:06:55,670 --> 00:06:58,470
Перш ніж ми доведемо це, ми візьмемо
дану межу як це число ось тут,

152
00:06:58,470 --> 00:07:01,270
це число проміжків, що прямує до 
нескінченості,

153
00:07:01,270 --> 00:07:04,070
щоб це стало нашим розподілом Пуассона.

154
00:07:04,070 --> 00:07:07,290
Я збираюся переконатися, що ми маємо
двійко математичних

155
00:07:07,290 --> 00:07:09,150
знарядь напоготові.

156
00:07:09,150 --> 00:07:12,760
Отож, першим буде те з чим ви вже
ймовірно доволі добре

157
00:07:12,760 --> 00:07:15,860
знайомі, але я просто бажаю переконатися
що

158
00:07:15,860 --> 00:07:25,680
дана межа, коли х прямує до нескінченості
1 плюс а/х у степені х

159
00:07:25,680 --> 00:07:31,020
це дорівнює е у степені ах...ні, вибачте.

160
00:07:31,020 --> 00:07:38,020
Це дорівнює е у степені а і тепер я просто
доведу це вам,

161
00:07:38,020 --> 00:07:39,260
давайте підставимо тут щось.

162
00:07:39,260 --> 00:07:43,640
Скажімо, що n дорівнює, наприклад,

163
00:07:43,640 --> 00:07:47,880
1 поділити на n дорівнюватиме а поділити
на х.

164
00:07:47,880 --> 00:07:52,890
А тоді чому дорівнюватиме х? 
х дорівнюватиме na.

165
00:07:52,890 --> 00:07:55,290
х помножити на 1 дорівнює n помножити
на а.

166
00:07:55,290 --> 00:08:00,050
Отже, дана межа, коли х прямує до 
нескінченості,

167
00:08:00,050 --> 00:08:02,045
до чого ж прямує а?

168
00:08:02,045 --> 00:08:02,885
а... вибачте.

169
00:08:02,885 --> 00:08:04,920
Коли х прямує до нескінченості, тоді
до чого прямує n?

170
00:08:04,920 --> 00:08:07,350
n це х поділене на а.

171
00:08:07,350 --> 00:08:08,710
Отож n також буде прямувати до 
нескінченості.

172
00:08:08,710 --> 00:08:10,810
Тож ця річ не зміниться, оскільки я просто
зробив

173
00:08:10,810 --> 00:08:16,460
таку підстановку, що дана межа коли
n прямує до нескінченості

174
00:08:16,460 --> 00:08:21,390
1 плюс... а/х, я зробив підстановку 1/n.

175
00:08:21,390 --> 00:08:26,720
А х це, згідно цієї підстановки, це n
помножене на а.

176
00:08:26,720 --> 00:08:30,500
І це буде такою самою річчю, що й
дана межа, коли n

177
00:08:30,500 --> 00:08:36,090
прямує до нескінченості, 1 плюс 1/n у
степені n,

178
00:08:36,090 --> 00:08:39,390
і усе це у степені а.

179
00:08:39,390 --> 00:08:41,760
І оскільки тут немає жодного n, то ми
могли б просто знайти цю межу

180
00:08:41,760 --> 00:08:43,450
цього і тоді піднести це до степеня а.

181
00:08:43,450 --> 00:08:47,690
Отож, це буде дорівнювати даній межі,
коли n прямує

182
00:08:47,690 --> 00:08:52,600
до нескінченості, 1 плюс 1/n у
n-му степені,

183
00:08:52,600 --> 00:08:53,780
і усе це у степені а.

184
00:08:53,780 --> 00:08:58,040
І це є нашим визначенням або одним зі
шляхів дістатися е, якщо ви

185
00:08:58,040 --> 00:09:00,820
дивилися наші відео про складні відсотки
і усе таке.

186
00:09:00,820 --> 00:09:01,880
Ось як ми дісталися е.

187
00:09:01,880 --> 00:09:03,460
І якщо ви спробуєте це на вашому 
калькуляторі, просто спробуйте збільшувати

188
00:09:03,460 --> 00:09:07,260
і збільшувати n тут і ви отримаєте е.

189
00:09:07,260 --> 00:09:12,010
Ця внутрішня частина дорівнює е,
і ми збільшили її до степеня а,

190
00:09:12,010 --> 00:09:14,060
отож це дорівнює е у степені а.

191
00:09:14,060 --> 00:09:16,240
Тож, сподіваюся, що ви цілком задоволені
тим, що ця межа

192
00:09:16,240 --> 00:09:17,860
дорівнює е у степені а.

193
00:09:17,860 --> 00:09:19,860
А тепер ще одне знаряддя, яке я прагну
мати напоготові,

194
00:09:19,860 --> 00:09:22,340
і я, насправді, можливо, зроблю це 
доведення у наступному відео.

195
00:09:22,340 --> 00:09:32,950
Іншим даним знаряддям є усвідомлення
того, що х факторіал поділити на

196
00:09:32,950 --> 00:09:42,860
х мінус k факторіал дорівнює х помножити
на х мінус 1 помножити

197
00:09:42,860 --> 00:09:50,030
на х мінус 2 і так далі аж до помножити
на х мінус k плюс 1.

198
00:09:50,030 --> 00:09:51,880
І ми робили це багато разів, але це є

199
00:09:51,880 --> 00:09:53,060
найбільш абстрактним з усього будь-коли
записаного нами.

200
00:09:53,060 --> 00:09:55,580
Я можу надати вам двійко... і просто щоб
ви розуміли,

201
00:09:55,580 --> 00:09:57,330
це буде саме k складові тут.

202
00:09:57,330 --> 00:10:01,700
1, 2, 3... Отож перша складова, друга 
складова і так

203
00:10:01,700 --> 00:10:04,310
далі аж до цієї k-тої складової.

204
00:10:04,310 --> 00:10:07,210
І це дуже важливо для даного виведення
формули

205
00:10:07,210 --> 00:10:09,160
розподілу Пуассона.

206
00:10:09,160 --> 00:10:13,870
Але просто аби втілити це у дійсних 
числах, якщо я маю 7 факторіал

207
00:10:13,870 --> 00:10:20,110
поділити на 7 мінус 2 факторіал, то це
дорівнює 7 помножити на 6 помножити

208
00:10:20,110 --> 00:10:24,070
на 5 помножити на 4 помножити на 3
помножити на 2 помножити на 1.

209
00:10:24,070 --> 00:10:27,360
Поділити на 2 помножити... ні, вибачте.

210
00:10:27,360 --> 00:10:28,940
7 мінус 2 це 5.

211
00:10:28,940 --> 00:10:33,500
Отже поділити на 5 помножити на 4
помножити на 3 помножити на 2 
помножити на 1.

212
00:10:33,500 --> 00:10:37,190
Це скорочується і ви отримуєте просто
7 помножити на 6.

213
00:10:37,190 --> 00:10:40,990
Отже, це 7 і тоді ця остання складова
це 7 мінус

214
00:10:40,990 --> 00:10:43,045
2 плюс 1, що дорівнює 6.

215
00:10:47,560 --> 00:10:51,290
У цьому прикладі, k було 2 і ми мали
саме 2 складові.

216
00:10:51,290 --> 00:10:53,230
Отож, оскільки ми знаємо ці дві речі, то
тепер ми готові

217
00:10:53,230 --> 00:10:55,710
вивести формулу розподілу Пуассона та

218
00:10:55,710 --> 00:10:58,415
я зроблю це у наступному відео.

219
00:10:58,415 --> 00:10:59,980
Невдовзі побачимося.