0:00:00.860,0:00:03.540
Скажімо, що ви є проектувальником[br]шляхів і вам

0:00:03.540,0:00:06.810
треба з’ясувати скільки автівок проходить[br]крізь певну

0:00:06.810,0:00:08.320
ділянку вулиці у будь-який конкретний проміжок[br]часу

0:00:08.320,0:00:10.210
І ви хочете з’ясувати ймовірність того,

0:00:10.210,0:00:14.010
що сотня чи тільки п'ять автівок пройде [br]за дану годину.

0:00:14.010,0:00:15.810
Отож, гарним початком буде просто[br]визначити випадкову

0:00:15.810,0:00:20.530
змінну, що по суті являє собою те, що[br]вас цікавить.

0:00:20.530,0:00:27.350
Отже, скажімо це - кількість автівок, що[br]проїхали за певний проміжок

0:00:27.350,0:00:30.407
часу, скажімо, за годину.

0:00:31.710,0:00:34.510
І вашою метою є з’ясувати розподіл[br]ймовірності

0:00:34.510,0:00:37.050
цієї випадкової змінної і коли ви вже[br]знатимете цей розподіл

0:00:37.050,0:00:39.450
ймовірності, тоді ви зможете з’ясувати[br]чому дорівнює

0:00:39.450,0:00:41.790
ймовірність того, що 100 автівок проїдуть[br]або ймовірність того,

0:00:41.790,0:00:45.890
що жодної автівки не проїде протягом[br]години і ви будете невпинні.

0:00:45.890,0:00:48.290
Трохи відхиляючись від теми, просто аби[br]заглянути наперед

0:00:48.290,0:00:50.540
цього відео, є два припущення[br]які нам слід зробити,

0:00:50.540,0:00:52.235
оскільки ми збираємося вивчати розподіл[br]Пуассона.

0:00:52.235,0:00:54.110
І відповідно до вивчення цього нам слід[br]зробити

0:00:54.110,0:00:54.630
два припущення:

0:00:54.630,0:00:58.770
Перше - що жодна година на цій ділянці[br]вулиці не відрізняється

0:00:58.770,0:00:59.650
від будь-якої іншої години.

0:00:59.650,0:01:01.340
І ми знаємо, що це ймовірно хиба.

0:01:01.340,0:01:03.750
Протягом однієї години пік у [br]справжньому житті ви, ймовірно,

0:01:03.750,0:01:06.640
матимете за цю годину більше автівок,[br]ніж протягом інших годин.

0:01:06.640,0:01:08.640
І ви знаєте, якщо ви бажаєте бути більш[br]реалістичними, то, можливо,

0:01:08.640,0:01:12.370
варто робити це для доби, а не години,[br]оскільки за добу проходить будь-який період часу...

0:01:12.370,0:01:12.750
насправді, ні.

0:01:12.750,0:01:14.120
Я не маю робити це для доби.

0:01:14.120,0:01:17.750
Ми маємо припустити, що кожна година[br]є цілковито такою самою,

0:01:17.750,0:01:19.650
як і будь-яка інша година і, насправді,[br]навіть протягом цієї години

0:01:19.650,0:01:22.990
немає насправді жодної відмінності[br]між різними періодами щодо

0:01:22.990,0:01:25.820
даної ймовірності, що з’явиться автівка.

0:01:25.820,0:01:27.950
Це, певного роду, спрощуюче припущення, яке,

0:01:27.950,0:01:29.950
можливо, й не буде реалістичним для [br]справжнього дорожнього руху,

0:01:29.950,0:01:32.270
але ми гадаємо, що ми можемо зробити[br]таке припущення.

0:01:32.270,0:01:34.160
А тоді іншим припущенням, яке нам слід[br]зробити, буде

0:01:34.160,0:01:36.690
низка автівок, які проїжджають протягом однієї[br]години, то це не означає, що

0:01:36.690,0:01:37.820
наступної години проїде менше автівок.

0:01:37.820,0:01:40.630
При цьому, немає жодного такого способу,[br]згідно якого кількість автівок, що [br]проїжджає

0:01:40.630,0:01:44.860
протягом одного періоду часу впливатиме[br]якимось чином на кількість автівок

0:01:44.860,0:01:46.420
що проїзджатиме протягом наступного[br]періоду часу.

0:01:46.420,0:01:47.370
Ці події є цілком незалежними.

0:01:47.370,0:01:50.670
Маючи ці припущення, тепер ми в змозі,[br]принаймні, спробувати використати наші

0:01:50.670,0:01:53.480
навички аби змоделювати певний тип[br]розподілу.

0:01:53.480,0:01:55.770
Першою річчю, яку ми зробимо і я радив[br]робити це для будь-якого

0:01:55.770,0:01:59.090
розподілу, це буде оцінка даного [br]середнього значення.

0:01:59.090,0:02:03.040
Давайте зупинимось на цьому узбіччі та [br]виміряємо чому дорівнює ця змінна

0:02:03.040,0:02:05.170
протягом низки годин, а тоді знайдемо[br]середню величину цього, а це буде

0:02:05.170,0:02:08.890
доволі гарною оцінкою для даного[br]справжнього середнього значення

0:02:08.890,0:02:09.880
нашої загальної сукупності.

0:02:09.880,0:02:12.270
Або, оскільки це випадкова змінна, [br]це очікувана величина

0:02:12.270,0:02:13.010
цієї випадкової змінної.

0:02:13.010,0:02:16.660
Скажімо, ви зробили це і отримали вашу[br]найкращу оціку даної

0:02:16.660,0:02:22.270
очікуваної величини для цієї випадкової[br]змінної... я використаю

0:02:22.270,0:02:24.850
літеру лямбда.

0:02:24.850,0:02:27.380
Це могло б бути 9 автівок за годину.

0:02:27.380,0:02:30.190
Ви сідили тут... Це могло бути 9,3 автівки[br]за годину.

0:02:30.190,0:02:32.670
Ви просиділи тут понад сотню годин і [br]просто рахували

0:02:32.670,0:02:34.590
кількість автівок кожної години і ви [br]знаходили при цьому їх середню кількість.

0:02:34.590,0:02:37.250
Ми сказали, що всередньому це 9,3 автівки[br]за годину і ми

0:02:37.250,0:02:38.680
вважаємо, що це доволі гарна оцінка.

0:02:38.680,0:02:40.080
Отож, ось що ми маємо тут.

0:02:40.080,0:02:42.000
І давайте гляньмо, що ми можемо зробити.

0:02:42.000,0:02:45.560
Ми знаємо двочленний розподіл.

0:02:45.560,0:02:50.650
Двочленний розподіл каже нам, що дана[br]очікувана величина для

0:02:50.650,0:02:55.220
випадкової змінної дорівнює кількості[br]випробувань, з яких ця

0:02:55.220,0:02:57.460
випадкова змінна певним чином [br]складається, правильно?

0:02:57.460,0:02:59.490
Раніше, у попередніх відео ми рахували[br]кількість

0:02:59.490,0:03:00.500
лицьових боків при підкиданні монети.

0:03:00.500,0:03:03.070
Отож, це могла б бути кількість підкидань[br]монети помножена

0:03:03.070,0:03:07.290
на ймовірність успіху при кожному [br]підкиданні.

0:03:07.290,0:03:09.000
Це те, що ми робили при двочленному[br]розподілі.

0:03:09.000,0:03:11.670
Отож, можливо, ми зможемо змоделювати[br]наш випадок з дорожнім рухом

0:03:11.670,0:03:12.780
якимось схожим чином.

0:03:12.780,0:03:15.400
Це дана кількість автівок, що проїзджають[br]за годину.

0:03:15.400,0:03:22.800
Отож, можливо ми могли б сказати, що[br]лямбда автівок за годину дорівнює...

0:03:22.800,0:03:24.330
я не знаю.

0:03:26.850,0:03:29.880
Нумо зробимо так, щоб кожен дослід або[br]кожне підкидання монети дорівнювало

0:03:29.880,0:03:31.780
тому, що автівка проїжджає повз протягом[br]даної хвилини.

0:03:31.780,0:03:37.980
Отож, у годині є 60 хвилин, отож має

0:03:37.980,0:03:40.870
бути 60 випробувань.

0:03:40.870,0:03:43.190
А тоді, ймовірність, що ми матимемо успіх[br]при кожному

0:03:43.190,0:03:46.990
з цих випробувань, якщо б ми [br]змоделювали це як двочленний розподіл,

0:03:46.990,0:03:54.450
могла б дорівнювати лямбда поділити[br]на 60 автівок за хвилину.

0:03:54.450,0:03:55.660
І це - могла б бути ймовірність.

0:03:55.660,0:03:58.640
Це могло б бути n, а це могло бути даною[br]ймовірністю, якщо б нам сказали,

0:03:58.640,0:04:00.270
що це - двочленний розподіл.

0:04:00.270,0:04:04.030
І це, ймовірно, було б не таким вже й[br]поганим наближенням.

0:04:04.030,0:04:06.130
Якщо б ми, насправді, сказали, що[br]це - двочленний

0:04:06.130,0:04:10.380
розподіл, то ця ймовірність[br]нашої випадкової

0:04:10.380,0:04:12.940
змінної дорівнює певній величині k.

0:04:12.940,0:04:16.170
Ви ж знаєте, ймовірність, що 3 автівки,[br]саме 3 автівки проїжджають

0:04:16.170,0:04:19.750
протягом даної години, це могло б тоді[br]дорівнювати n.

0:04:19.750,0:04:21.890
Отож, n могло б бути 60.

0:04:21.890,0:04:26.010
Обираємо при цьому k автівок, отож,[br]я маю 3 автівки помножити

0:04:26.010,0:04:27.190
на ймовірність успіху.

0:04:27.190,0:04:29.570
Отож, це ймовірність, що проїде автівка[br]протягом будь-якої хвилини.

0:04:29.570,0:04:34.770
І це буде лямбда поділити на 60 у[br]степені рівній кількості

0:04:34.770,0:04:35.980
успіхів, які нам треба.

0:04:35.980,0:04:41.660
Отож, у k-тому степені, помножити на[br]ймовірність неуспіху або

0:04:41.660,0:04:46.560
що не проїде жодна автівка і це у[br]степені n мінус k.

0:04:46.560,0:04:50.230
Якщо ми маємо k успіхів, то ми маємо[br]60 мінус k хиб.

0:04:50.230,0:04:52.950
При цьому є 60 мінус k хвилин за які жодна[br]автівка не проїзджає.

0:04:52.950,0:04:55.270
Це, насправді, буде не таким вже й поганим[br]наближенням

0:04:55.270,0:04:57.250
де ви матимете 60 проміжків і скажете,[br]що це - двочленний

0:04:57.250,0:04:58.560
розподіл.

0:04:58.560,0:05:00.310
І, можливо, ви й отримаєте обґрунтовані[br]результати.

0:05:00.310,0:05:02.600
Але тут криється суттєва проблема.

0:05:02.600,0:05:06.580
У цій моделі ми моделюємо це як[br]двочленний розподіл,

0:05:06.580,0:05:09.980
що ж відбудеться якщо більше ніж одна[br]автівка проїде протягом години?

0:05:09.980,0:05:11.630
Або більше ніж одна автівка проїде[br]протягом хвилини?

0:05:11.630,0:05:14.270
Зараз же ми визначаємо успіх, якщо одна

0:05:14.270,0:05:15.320
автівка проїзджає протягом хвилини.

0:05:15.320,0:05:18.790
І якщо ви певним чином прораховуєте це, то[br]це рахується як один успіх, навіть

0:05:18.790,0:05:21.190
якщо 5 автівок проїдуть протягом хвилини.

0:05:21.190,0:05:23.390
Зрештою ви скажете: "Гаразд, Сале. Я знаю[br]як вирішити це.

0:05:23.390,0:05:26.040
Я маю обрати більш дрібні[br]проміжки."

0:05:26.040,0:05:28.870
Замість розподілу цього по хвилинах,[br]

0:05:28.870,0:05:31.050
чому б не розподілити це по секундах?

0:05:31.050,0:05:36.210
Зрештою,ймовірність того, що я матиму k[br]успіхів... замість 60 проміжків

0:05:36.210,0:05:39.820
я зроблю 3600 проміжків.

0:05:39.820,0:05:43.170
Ймовірність k успішних секунд, тобто[br]секунд

0:05:43.170,0:05:48.610
коли проїжджає автівка з-поміж усіх[br]3600 секунд.

0:05:48.610,0:05:52.190
Тобто з усіх 3600 обирають k помножити на[br]ймовірність того, що автівка

0:05:52.190,0:05:55.210
проїде будь-якої даної секунди.

0:05:55.210,0:05:57.930
Це - очікувана кількість автівок за годину[br]поділити

0:05:57.930,0:06:00.430
на кількість секунд у годині.

0:06:00.430,0:06:01.403
Ми збираємося отримати k успіхів.

0:06:03.990,0:06:06.270
А це є хиби, ймовірність хиби

0:06:06.270,0:06:12.050
і ми матимемо 3600 мінус k хиб.

0:06:12.050,0:06:13.910
І це буде навіть краще наближення.

0:06:13.910,0:06:16.770
Це, насправді, буде не так вже й погано,[br]але все ще ви матимете цей

0:06:16.770,0:06:19.100
випадок коли 2 автівки можуть[br]проїхати

0:06:19.100,0:06:19.980
протягом півсекунди кожна.

0:06:19.980,0:06:21.910
І ви скажете: "Гаразд, Сале. Я бачу цю[br]систему тут."

0:06:21.910,0:06:23.650
Ми просто маємо брати все більш і більш[br]дрібні проміжки.

0:06:23.650,0:06:26.170
Ми просто маємо робити цю кількість[br]все більшою,

0:06:26.170,0:06:27.400
і більшою, і більшою.

0:06:27.400,0:06:28.950
І це інтуїтивне розуміння є правильним.

0:06:28.950,0:06:31.340
І якщо ви зробите так, то закінчиться це[br]усе тим, що ви отримаєте

0:06:31.340,0:06:33.860
розподіл Пуассона.

0:06:33.860,0:06:35.620
І це, насправді, є цікаво, оскільки багато[br]разів

0:06:35.620,0:06:38.600
вам дають формулу для розподілу [br]Пуассона і ви

0:06:38.600,0:06:40.420
можете просто вставити[br]ці числа і використати формулу.

0:06:40.420,0:06:43.250
Але важливо знати, що це, насправді,[br]просто двочленний

0:06:43.250,0:06:45.790
розподіл і цей двочленний розподіл[br]походить

0:06:45.790,0:06:48.590
з певного роду загального розуміння[br]наслідків підкидання монети.

0:06:48.590,0:06:50.500
Ось звідки усе це походить.

0:06:50.500,0:06:53.710
Але перш ніж ми доведемо це, якщо[br]ми візьмемо дану межу як...

0:06:53.710,0:06:55.670
(зміню кольори)

0:06:55.670,0:06:58.470
Перш ніж ми доведемо це, ми візьмемо[br]дану межу як це число ось тут,

0:06:58.470,0:07:01.270
це число проміжків, що прямує до [br]нескінченості,

0:07:01.270,0:07:04.070
щоб це стало нашим розподілом Пуассона.

0:07:04.070,0:07:07.290
Я збираюся переконатися, що ми маємо[br]двійко математичних

0:07:07.290,0:07:09.150
знарядь напоготові.

0:07:09.150,0:07:12.760
Отож, першим буде те з чим ви вже[br]ймовірно доволі добре

0:07:12.760,0:07:15.860
знайомі, але я просто бажаю переконатися[br]що

0:07:15.860,0:07:25.680
дана межа, коли х прямує до нескінченості[br]1 плюс а/х у степені х

0:07:25.680,0:07:31.020
це дорівнює е у степені ах...ні, вибачте.

0:07:31.020,0:07:38.020
Це дорівнює е у степені а і тепер я просто[br]доведу це вам,

0:07:38.020,0:07:39.260
давайте підставимо тут щось.

0:07:39.260,0:07:43.640
Скажімо, що n дорівнює, наприклад,

0:07:43.640,0:07:47.880
1 поділити на n дорівнюватиме а поділити[br]на х.

0:07:47.880,0:07:52.890
А тоді чому дорівнюватиме х? [br]х дорівнюватиме na.

0:07:52.890,0:07:55.290
х помножити на 1 дорівнює n помножити[br]на а.

0:07:55.290,0:08:00.050
Отже, дана межа, коли х прямує до [br]нескінченості,

0:08:00.050,0:08:02.045
до чого ж прямує а?

0:08:02.045,0:08:02.885
а... вибачте.

0:08:02.885,0:08:04.920
Коли х прямує до нескінченості, тоді[br]до чого прямує n?

0:08:04.920,0:08:07.350
n це х поділене на а.

0:08:07.350,0:08:08.710
Отож n також буде прямувати до [br]нескінченості.

0:08:08.710,0:08:10.810
Тож ця річ не зміниться, оскільки я просто[br]зробив

0:08:10.810,0:08:16.460
таку підстановку, що дана межа коли[br]n прямує до нескінченості

0:08:16.460,0:08:21.390
1 плюс... а/х, я зробив підстановку 1/n.

0:08:21.390,0:08:26.720
А х це, згідно цієї підстановки, це n[br]помножене на а.

0:08:26.720,0:08:30.500
І це буде такою самою річчю, що й[br]дана межа, коли n

0:08:30.500,0:08:36.090
прямує до нескінченості, 1 плюс 1/n у[br]степені n,

0:08:36.090,0:08:39.390
і усе це у степені а.

0:08:39.390,0:08:41.760
І оскільки тут немає жодного n, то ми[br]могли б просто знайти цю межу

0:08:41.760,0:08:43.450
цього і тоді піднести це до степеня а.

0:08:43.450,0:08:47.690
Отож, це буде дорівнювати даній межі,[br]коли n прямує

0:08:47.690,0:08:52.600
до нескінченості, 1 плюс 1/n у[br]n-му степені,

0:08:52.600,0:08:53.780
і усе це у степені а.

0:08:53.780,0:08:58.040
І це є нашим визначенням або одним зі[br]шляхів дістатися е, якщо ви

0:08:58.040,0:09:00.820
дивилися наші відео про складні відсотки[br]і усе таке.

0:09:00.820,0:09:01.880
Ось як ми дісталися е.

0:09:01.880,0:09:03.460
І якщо ви спробуєте це на вашому [br]калькуляторі, просто спробуйте збільшувати

0:09:03.460,0:09:07.260
і збільшувати n тут і ви отримаєте е.

0:09:07.260,0:09:12.010
Ця внутрішня частина дорівнює е,[br]і ми збільшили її до степеня а,

0:09:12.010,0:09:14.060
отож це дорівнює е у степені а.

0:09:14.060,0:09:16.240
Тож, сподіваюся, що ви цілком задоволені[br]тим, що ця межа

0:09:16.240,0:09:17.860
дорівнює е у степені а.

0:09:17.860,0:09:19.860
А тепер ще одне знаряддя, яке я прагну[br]мати напоготові,

0:09:19.860,0:09:22.340
і я, насправді, можливо, зроблю це [br]доведення у наступному відео.

0:09:22.340,0:09:32.950
Іншим даним знаряддям є усвідомлення[br]того, що х факторіал поділити на

0:09:32.950,0:09:42.860
х мінус k факторіал дорівнює х помножити[br]на х мінус 1 помножити

0:09:42.860,0:09:50.030
на х мінус 2 і так далі аж до помножити[br]на х мінус k плюс 1.

0:09:50.030,0:09:51.880
І ми робили це багато разів, але це є

0:09:51.880,0:09:53.060
найбільш абстрактним з усього будь-коли[br]записаного нами.

0:09:53.060,0:09:55.580
Я можу надати вам двійко... і просто щоб[br]ви розуміли,

0:09:55.580,0:09:57.330
це буде саме k складові тут.

0:09:57.330,0:10:01.700
1, 2, 3... Отож перша складова, друга [br]складова і так

0:10:01.700,0:10:04.310
далі аж до цієї k-тої складової.

0:10:04.310,0:10:07.210
І це дуже важливо для даного виведення[br]формули

0:10:07.210,0:10:09.160
розподілу Пуассона.

0:10:09.160,0:10:13.870
Але просто аби втілити це у дійсних [br]числах, якщо я маю 7 факторіал

0:10:13.870,0:10:20.110
поділити на 7 мінус 2 факторіал, то це[br]дорівнює 7 помножити на 6 помножити

0:10:20.110,0:10:24.070
на 5 помножити на 4 помножити на 3[br]помножити на 2 помножити на 1.

0:10:24.070,0:10:27.360
Поділити на 2 помножити... ні, вибачте.

0:10:27.360,0:10:28.940
7 мінус 2 це 5.

0:10:28.940,0:10:33.500
Отже поділити на 5 помножити на 4[br]помножити на 3 помножити на 2 [br]помножити на 1.

0:10:33.500,0:10:37.190
Це скорочується і ви отримуєте просто[br]7 помножити на 6.

0:10:37.190,0:10:40.990
Отже, це 7 і тоді ця остання складова[br]це 7 мінус

0:10:40.990,0:10:43.045
2 плюс 1, що дорівнює 6.

0:10:47.560,0:10:51.290
У цьому прикладі, k було 2 і ми мали[br]саме 2 складові.

0:10:51.290,0:10:53.230
Отож, оскільки ми знаємо ці дві речі, то[br]тепер ми готові

0:10:53.230,0:10:55.710
вивести формулу розподілу Пуассона та

0:10:55.710,0:10:58.415
я зроблю це у наступному відео.

0:10:58.415,0:10:59.980
Невдовзі побачимося.