Processo de Poisson 1

Introdução aos processos de Poisson e à distribuição de Poisson.

Vamos supor que você seja alguém como um engenheiro de tráfego e

que você está tentando resolver isso, quantos carros passam por

um determinado ponto da estrada em um determinado período de tempo?

E você está tentando descobrir a probabilidade de que

100 carros passem ou 5 carros passem em uma dada hora.

Então um bom modo de começar é justamente definir uma variável

aleatória que essencialmente representará o foco do seu problema.

Então digamos o número de carros que passa em certo

período de tempo, digamos, em uma hora.

E o seu objetivo é determinar a distribuição de probabilidades

desta variável aleatória e uma vez que você conhecer a

distribuição de probabilidades então você poderá determinar

qual a probabilidade de que 100 carros passem em 1 hora ou a probabilidade

de que nenhum carro passe em uma hora e você será demais!

E um pouco fora do assunto, apenas para avançar com este

vídeo, porquê há duas pressuposições que nós teremos que fazer porquê

nós estamos estudando a distribuição de Possion.

E para estudá-la há duas pressuposições que

nós precisamos fazer:

Que em qualquer horário neste ponto da estrada não há

diferença para qualquer outro horário.

E nós sabemos o quanto esta pressuposição é falsa.

Durante o horário de pico você provavelmente terá

muito mais carros do que em qualquer outro horário.

E você sabe, se você quiser ser mais realista provavelmente

você o fará por dia dia porquê em um dia qualquer período de tempo --

neste caso, não.

Eu não poderia fazer por dia.

Nós teremos que assumir que cada hora é exatamente como

qualquer outra hora e neste caso, mesmo dentro de uma hora

que não existe nenhuma diferença de um segundo para outro em

termos das probabilidades de que passe um carro.

Isso é uma hipótese simplificora muito forte que

provavelmente não se aplica ao tráfego, mas eu penso

que teremos que fazer esta presunção.

E outra coisa que nós teremos que presumir é a de que se

um bocado de carros passar em determinada hora isso não significará que menos

carros passarão na próxima.

De que de nenhuma maneira o número de carros que passa em um período

afeta ou está relacionado ou de alguma maneira influencia o número de carros

que passará no próximo.

Que eles sejam realmente independentes.

Dado isso, nós podemos ao menos tentar usar a proficiência

que temos para modelar algum tipo de distribuição.

A primeira coisa que eu faço é recomendar que você proceda assim para qualquer

distribuição é que talvez nós possamos estimar a média.

Vamos nos ater nesta curva e mensurar quanto é o valor desta variável

depois de um bocado de horas e depois tirar a média disso, e isso será

um ótimo estimador para a média existente

da nossa população.

Ou, uma vez que isto é uma variável aleatória, o valor da esperança

desta variável aleatória.

Digamos que você fez isso e que você obteve que melhor estimativa para o

valor da esperança da sua variável aleatória é -- eu usarei

a letra [grega] lambda.

Você sabe, isso podem ser 9 carros por hora.

Você se sentou lá -- isso pode ser 9,3 carros por hora.

Você se sentou lá por horas e você apenas contou

o número de carros há cada hora e você tirou a média disso tudo.

Você diz, na média, são 9,3 carros por hora e você sente

que esta é uma estimativa bastante boa.

Então é isso que você tem aqui.

E vamos dizer que isso nós possamos fazer.

Nós conhecemos da distribuição binomial.

A distribuição binomial nos diz que o valor de esperança de

uma variável aleatória é igual ao número de tentativas da qual

esta variável aleatória é composta por, correto?

Antes, em vídeos anteriores nós estivemos contando o número

de caras em lançamentos de moedas.

Então isso poderia ser o número de lançamentos de moedas, vezes

a probabilidade de sucesso em cada lançamento.

E isso é o que nós fizemos na distribuição binomial.

Então talvez nós possamos modelar nossa situação de tráfego

de uma maneira similar.

Este é o número de carros que passa em uma hora.

Então talvez possamos dizer lambda carros por hora é igual

a -- eu não sei.

Vamos fazer cada experimento ou cada lançamento da moeda igual a

quando passar um carro em um dado minuto.

Então como há 60 minutos numa hora, então

haverão 60 tentativas.

E então, a probabilidade que nós tenhamos sucesso em cada uma

dessas tentativas, se nós modelarmos isso como uma distribuição binomial

será lambda sobre 60 carros por minuto.

E isso poderá ser uma probabilidade.

Isso poderá ser n, e isso poderá ser a probabilidade, se dissermos

que isso é uma distribuição binomial.

E esta probabilidade não poderá ser uma aproximação tão má assim.

Se você neste caso disser, oh, esta é uma distribuição

binomial, então a probabilidade da nossa variável

aleatória irá ser igual a algum valor dado, k.

Você sabe, a probabilidade de que 3 carros, exatamente 3 carros passem

em uma dada hora, nós poderíamos igualar isso a n.

Então n seria 60.

Escolhido k, e como você sabe, eu tenho 3 carros vezes a

probabilidade de sucesso.

Então é a probabilidade de que um carro passe em qualquer minuto.

Então isso será lambda sobre 60 elevado ao número de

sussessos que nós precisamos.

Então à potência de k, vezes a probabilidade de não haver sucesso ou

de que nenhum carro passe, elevado a n menos k.

Se nós tivermos k sucessos nós teremos 60 menos k insucessos.

Haverá 60 menos k minutos nos quais nenhum carro passou.

Isso realmente não será nada mal para uma aproximação na qual

você possui 60 intervalos e você afirma que isso é uma distribuição

binomial.

E você provavelmente terá resultados razoáveis.

Mas á uma questão chave aqui.

Neste modelo em que nos a modelamos como uma distribuição binomial,

o que acontece se mais de um carro passar em determinada hora?

Ou se mais de um carro passar em determinado minuto?

Uma maneira que nós temos agora é chamar de sucesso se um

carro passar em um determinado minuto.

E você terá que realizar uma contagem do tipo, um sucesso mesmo

que 5 carros passarem naquele minuto.

Então você dirá, ok, OK Sal, eu sei a solução aqui.

Eu apenas tenho que trabalhar com grãos mais finos.

Ao invés de dividir por minutos porquê eu não

divido isso por segundos?

Então a probabilidade de que eu tenha k sucessos -- ao invés de 60

intervalos, eu terei agora 3.600 intervalos.

Então a probabilidade de k segundos com sucesso, então em um segundo

ocorreu de um carro passar naquele instante entre 3.600 segundos.

Então isto é 3.600 escolhido k, vezes a probabilidade de que um carro

passou em qualquer dado segundo.

Isso será o número esperado de carros numa hora dividido por

tantos segundos em uma hora.

Nós iremos ter k sucessos.

E isso são os insucessos, a probabilidade de um insucesso

e nós iremos ter 3.600 menos k insucessos.

E isso será uma aproximação ainda melhor.

Isso aqui não será tão ruim assim, mas ainda, você terá esta

situação na qual 2 carros podem vir num intervalo de meio

segundo um do outro.

E você irá dizer, oh, OK Sal, eu vejo o padrão aqui.

Nós apenas temos que tornar isso mais e mais granular.

Nós apenas temos que tornar este número grande e

sempre maior e maior.

E a sua intuição está correta.

E o que você terá no final será a

distribuição de Poisson.

E isso é realmente interessante porque por muitas vezes o pessoal

lhe dará a fórmula da distribuição de Poisson e você

poderá fazer algo como acrescentar os números a a utilizar.

Mas é muito interessante saber que isso é realmente apenas a distribuição

binomial e a distribuição binomial realmente vem

de algo como o senso comum de lançar moedas.

É disso que tudo isso está vindo.

Mas antes disso fizemos uma prova de como trabalhar com limites

de maneira a -- deixe-me mudar de cor.

Anteriormente nós provamos que se pegássemos o limite como este número

aqui, o número de intervalos aproxima o infinito

e isso se torna a distribuição de Poisson.

Estou me assegurando de que temos um bocado de ferramentas

matemátcas no nosso cinto de trabalho.

Assim a primeira é algo que você já está razoavelmente

familiarizado, mas eu apenas gostaria de assegurar que

o limite quando x se aproxima do infinito de 1 mais a/x à potência de x é

igual a e elevado a ax -- não, desculpe-me.

É igual a e elevado a a e agora apenas para provar isso para você,

deixe-me fazer uma pequena substituição aqui.

Digamos que este n é igual a -- deixe-me dizer 1 sobre

n é igual a a sobre x.

E isso então será x que irá equivaler a na.

x vezes 1 é igual a n vezes a.

E então o limite com x convergindo ao infinito,

o que a converge?

a é -- desculpe-me.

Com x indo ao infinito para onde n converge?

Bem n é x dividido por a.

Então n pode também convergir ao infinito.

Então isso será a mesma coisa que simplesmente fazer nossa

substituição do limite com n aproximando o infinito de 1

mais -- a/x, eu fiz a substituição como 1/n.

E x é, por esta substituição, n vezes a.

E isso está para ser a mesma cosa que o limete com n

indo ao infinito de 1 mais 1/n elevado a n, tudo

isso elevado a a.

E uma vez que não há n aqui nós podemos simplesmente pegar o limite

disso e então pegar isso à potência de a.

Então isso irá ser igual ao limite com n indo ao

infinito de 1 mais 1/n elevado à enésima potência, tudo

isso elevado a a.

E essa é a nossa definição, ou uma das maneiras de se chegar a

se você for assistir aos vídeos de interesse composto e tudo isso.

Isso é como nós chegamos ao e.

E se você testar isso na sua calculadora, apenas tente n´s

maiores e maiores aqui e você chegará a e.

Esta parte interna é igual a e, e nós elevamos isso à potência

de a, então isso será igual a e elevado a a.

Então espero que você fique bastante satisfeito de que este

limite seja igual a e elevado a a.

E então uma outra ferramenta que eu gostaria de colocar no seu cinto de trabalho, e eu irei

provavelmente realizar a prova no próximo vídeo.

A outra ferramenta é reconhecer que x fatorial sobre

x menos k fatorial é igual a x vezes x menos 1 vezes x

menos 2, por todo o caminho de vezes x menos k mais 1.

E nós fizemos isso por muitas vezes, mas isso é da maneira

mais abstrata que nós já escrevemos.

Eu posso lhe dar um bocado de -- e apenas para você saber,

haverão exatamente k termos aqui.

1, 2, 3 -- Então o primeiro termo, o segundo termo, o terceiro termo, por todo

sempre, e este é o k-gésimo termo.

E isso é importante para nossa dedução da

distribuição de Poisson.

Mas apenas para fazer isso em números reais, se eu tiver 7 fatorial

sobre 7 menos 2 fatorila, isso será igual a 7 vezes 6

vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.

Sobre 2 vezes -- não desculpe-me.

7 menos 2, isso é 5.

Então iso sobre 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.

Isso se cancela e você terá apenas 7 vezes 6.

E então isso são 7 e então o último termo é 7 menos

2 mais 1, que é 6.

Neste exemplo, k era 2 e você teve exatamente 2 termos.

E uma vez que nós saibamos estas duas coisas agora estamos

prontos para deduizir a distribuição de Possion e isso eu farei

no próximo vídeo.

O vejo em breve.