Vamos supor que você seja alguém como um engenheiro de tráfego e
que você está tentando resolver isso, quantos carros passam por
um determinado ponto da estrada em um determinado período de tempo?
E você está tentando descobrir a probabilidade de que
100 carros passem ou 5 carros passem em uma dada hora.
Então um bom modo de começar é justamente definir uma variável
aleatória que essencialmente representará o foco do seu problema.
Então digamos o número de carros que passa em certo
período de tempo, digamos, em uma hora.
E o seu objetivo é determinar a distribuição de probabilidades
desta variável aleatória e uma vez que você conhecer a
distribuição de probabilidades então você poderá determinar
qual a probabilidade de que 100 carros passem em 1 hora ou a probabilidade
de que nenhum carro passe em uma hora e você será demais!
E um pouco fora do assunto, apenas para avançar com este
vídeo, porquê há duas pressuposições que nós teremos que fazer porquê
nós estamos estudando a distribuição de Possion.
E para estudá-la há duas pressuposições que
nós precisamos fazer:
Que em qualquer horário neste ponto da estrada não há
diferença para qualquer outro horário.
E nós sabemos o quanto esta pressuposição é falsa.
Durante o horário de pico você provavelmente terá
muito mais carros do que em qualquer outro horário.
E você sabe, se você quiser ser mais realista provavelmente
você o fará por dia dia porquê em um dia qualquer período de tempo --
neste caso, não.
Eu não poderia fazer por dia.
Nós teremos que assumir que cada hora é exatamente como
qualquer outra hora e neste caso, mesmo dentro de uma hora
que não existe nenhuma diferença de um segundo para outro em
termos das probabilidades de que passe um carro.
Isso é uma hipótese simplificora muito forte que
provavelmente não se aplica ao tráfego, mas eu penso
que teremos que fazer esta presunção.
E outra coisa que nós teremos que presumir é a de que se
um bocado de carros passar em determinada hora isso não significará que menos
carros passarão na próxima.
De que de nenhuma maneira o número de carros que passa em um período
afeta ou está relacionado ou de alguma maneira influencia o número de carros
que passará no próximo.
Que eles sejam realmente independentes.
Dado isso, nós podemos ao menos tentar usar a proficiência
que temos para modelar algum tipo de distribuição.
A primeira coisa que eu faço é recomendar que você proceda assim para qualquer
distribuição é que talvez nós possamos estimar a média.
Vamos nos ater nesta curva e mensurar quanto é o valor desta variável
depois de um bocado de horas e depois tirar a média disso, e isso será
um ótimo estimador para a média existente
da nossa população.
Ou, uma vez que isto é uma variável aleatória, o valor da esperança
desta variável aleatória.
Digamos que você fez isso e que você obteve que melhor estimativa para o
valor da esperança da sua variável aleatória é -- eu usarei
a letra [grega] lambda.
Você sabe, isso podem ser 9 carros por hora.
Você se sentou lá -- isso pode ser 9,3 carros por hora.
Você se sentou lá por horas e você apenas contou
o número de carros há cada hora e você tirou a média disso tudo.
Você diz, na média, são 9,3 carros por hora e você sente
que esta é uma estimativa bastante boa.
Então é isso que você tem aqui.
E vamos dizer que isso nós possamos fazer.
Nós conhecemos da distribuição binomial.
A distribuição binomial nos diz que o valor de esperança de
uma variável aleatória é igual ao número de tentativas da qual
esta variável aleatória é composta por, correto?
Antes, em vídeos anteriores nós estivemos contando o número
de caras em lançamentos de moedas.
Então isso poderia ser o número de lançamentos de moedas, vezes
a probabilidade de sucesso em cada lançamento.
E isso é o que nós fizemos na distribuição binomial.
Então talvez nós possamos modelar nossa situação de tráfego
de uma maneira similar.
Este é o número de carros que passa em uma hora.
Então talvez possamos dizer lambda carros por hora é igual
a -- eu não sei.
Vamos fazer cada experimento ou cada lançamento da moeda igual a
quando passar um carro em um dado minuto.
Então como há 60 minutos numa hora, então
haverão 60 tentativas.
E então, a probabilidade que nós tenhamos sucesso em cada uma
dessas tentativas, se nós modelarmos isso como uma distribuição binomial
será lambda sobre 60 carros por minuto.
E isso poderá ser uma probabilidade.
Isso poderá ser n, e isso poderá ser a probabilidade, se dissermos
que isso é uma distribuição binomial.
E esta probabilidade não poderá ser uma aproximação tão má assim.
Se você neste caso disser, oh, esta é uma distribuição
binomial, então a probabilidade da nossa variável
aleatória irá ser igual a algum valor dado, k.
Você sabe, a probabilidade de que 3 carros, exatamente 3 carros passem
em uma dada hora, nós poderíamos igualar isso a n.
Então n seria 60.
Escolhido k, e como você sabe, eu tenho 3 carros vezes a
probabilidade de sucesso.
Então é a probabilidade de que um carro passe em qualquer minuto.
Então isso será lambda sobre 60 elevado ao número de
sussessos que nós precisamos.
Então à potência de k, vezes a probabilidade de não haver sucesso ou
de que nenhum carro passe, elevado a n menos k.
Se nós tivermos k sucessos nós teremos 60 menos k insucessos.
Haverá 60 menos k minutos nos quais nenhum carro passou.
Isso realmente não será nada mal para uma aproximação na qual
você possui 60 intervalos e você afirma que isso é uma distribuição
binomial.
E você provavelmente terá resultados razoáveis.
Mas á uma questão chave aqui.
Neste modelo em que nos a modelamos como uma distribuição binomial,
o que acontece se mais de um carro passar em determinada hora?
Ou se mais de um carro passar em determinado minuto?
Uma maneira que nós temos agora é chamar de sucesso se um
carro passar em um determinado minuto.
E você terá que realizar uma contagem do tipo, um sucesso mesmo
que 5 carros passarem naquele minuto.
Então você dirá, ok, OK Sal, eu sei a solução aqui.
Eu apenas tenho que trabalhar com grãos mais finos.
Ao invés de dividir por minutos porquê eu não
divido isso por segundos?
Então a probabilidade de que eu tenha k sucessos -- ao invés de 60
intervalos, eu terei agora 3.600 intervalos.
Então a probabilidade de k segundos com sucesso, então em um segundo
ocorreu de um carro passar naquele instante entre 3.600 segundos.
Então isto é 3.600 escolhido k, vezes a probabilidade de que um carro
passou em qualquer dado segundo.
Isso será o número esperado de carros numa hora dividido por
tantos segundos em uma hora.
Nós iremos ter k sucessos.
E isso são os insucessos, a probabilidade de um insucesso
e nós iremos ter 3.600 menos k insucessos.
E isso será uma aproximação ainda melhor.
Isso aqui não será tão ruim assim, mas ainda, você terá esta
situação na qual 2 carros podem vir num intervalo de meio
segundo um do outro.
E você irá dizer, oh, OK Sal, eu vejo o padrão aqui.
Nós apenas temos que tornar isso mais e mais granular.
Nós apenas temos que tornar este número grande e
sempre maior e maior.
E a sua intuição está correta.
E o que você terá no final será a
distribuição de Poisson.
E isso é realmente interessante porque por muitas vezes o pessoal
lhe dará a fórmula da distribuição de Poisson e você
poderá fazer algo como acrescentar os números a a utilizar.
Mas é muito interessante saber que isso é realmente apenas a distribuição
binomial e a distribuição binomial realmente vem
de algo como o senso comum de lançar moedas.
É disso que tudo isso está vindo.
Mas antes disso fizemos uma prova de como trabalhar com limites
de maneira a -- deixe-me mudar de cor.
Anteriormente nós provamos que se pegássemos o limite como este número
aqui, o número de intervalos aproxima o infinito
e isso se torna a distribuição de Poisson.
Estou me assegurando de que temos um bocado de ferramentas
matemátcas no nosso cinto de trabalho.
Assim a primeira é algo que você já está razoavelmente
familiarizado, mas eu apenas gostaria de assegurar que
o limite quando x se aproxima do infinito de 1 mais a/x à potência de x é
igual a e elevado a ax -- não, desculpe-me.
É igual a e elevado a a e agora apenas para provar isso para você,
deixe-me fazer uma pequena substituição aqui.
Digamos que este n é igual a -- deixe-me dizer 1 sobre
n é igual a a sobre x.
E isso então será x que irá equivaler a na.
x vezes 1 é igual a n vezes a.
E então o limite com x convergindo ao infinito,
o que a converge?
a é -- desculpe-me.
Com x indo ao infinito para onde n converge?
Bem n é x dividido por a.
Então n pode também convergir ao infinito.
Então isso será a mesma coisa que simplesmente fazer nossa
substituição do limite com n aproximando o infinito de 1
mais -- a/x, eu fiz a substituição como 1/n.
E x é, por esta substituição, n vezes a.
E isso está para ser a mesma cosa que o limete com n
indo ao infinito de 1 mais 1/n elevado a n, tudo
isso elevado a a.
E uma vez que não há n aqui nós podemos simplesmente pegar o limite
disso e então pegar isso à potência de a.
Então isso irá ser igual ao limite com n indo ao
infinito de 1 mais 1/n elevado à enésima potência, tudo
isso elevado a a.
E essa é a nossa definição, ou uma das maneiras de se chegar a
se você for assistir aos vídeos de interesse composto e tudo isso.
Isso é como nós chegamos ao e.
E se você testar isso na sua calculadora, apenas tente n´s
maiores e maiores aqui e você chegará a e.
Esta parte interna é igual a e, e nós elevamos isso à potência
de a, então isso será igual a e elevado a a.
Então espero que você fique bastante satisfeito de que este
limite seja igual a e elevado a a.
E então uma outra ferramenta que eu gostaria de colocar no seu cinto de trabalho, e eu irei
provavelmente realizar a prova no próximo vídeo.
A outra ferramenta é reconhecer que x fatorial sobre
x menos k fatorial é igual a x vezes x menos 1 vezes x
menos 2, por todo o caminho de vezes x menos k mais 1.
E nós fizemos isso por muitas vezes, mas isso é da maneira
mais abstrata que nós já escrevemos.
Eu posso lhe dar um bocado de -- e apenas para você saber,
haverão exatamente k termos aqui.
1, 2, 3 -- Então o primeiro termo, o segundo termo, o terceiro termo, por todo
sempre, e este é o k-gésimo termo.
E isso é importante para nossa dedução da
distribuição de Poisson.
Mas apenas para fazer isso em números reais, se eu tiver 7 fatorial
sobre 7 menos 2 fatorila, isso será igual a 7 vezes 6
vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.
Sobre 2 vezes -- não desculpe-me.
7 menos 2, isso é 5.
Então iso sobre 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.
Isso se cancela e você terá apenas 7 vezes 6.
E então isso são 7 e então o último termo é 7 menos
2 mais 1, que é 6.
Neste exemplo, k era 2 e você teve exatamente 2 termos.
E uma vez que nós saibamos estas duas coisas agora estamos
prontos para deduizir a distribuição de Possion e isso eu farei
no próximo vídeo.
O vejo em breve.