1
00:00:00,860 --> 00:00:03,540
Vamos supor que você seja alguém como um engenheiro de tráfego e

2
00:00:03,540 --> 00:00:06,810
que você está tentando resolver isso, quantos carros passam por

3
00:00:06,810 --> 00:00:08,320
um determinado ponto da estrada em um determinado período de tempo?

4
00:00:08,320 --> 00:00:10,210
E você está tentando descobrir a probabilidade de que

5
00:00:10,210 --> 00:00:14,010
100 carros passem ou 5 carros passem em uma dada hora.

6
00:00:14,010 --> 00:00:15,810
Então um bom modo de começar é justamente definir uma variável

7
00:00:15,810 --> 00:00:20,530
aleatória que essencialmente representará o foco do seu problema.

8
00:00:20,530 --> 00:00:27,350
Então digamos o número de carros que passa em certo

9
00:00:27,350 --> 00:00:30,407
período de tempo, digamos, em uma hora.

10
00:00:31,710 --> 00:00:34,510
E o seu objetivo é determinar a distribuição de probabilidades

11
00:00:34,510 --> 00:00:37,050
desta variável aleatória e uma vez que você conhecer a

12
00:00:37,050 --> 00:00:39,450
distribuição de probabilidades então você poderá determinar

13
00:00:39,450 --> 00:00:41,790
qual a probabilidade de que 100 carros passem em 1 hora ou a probabilidade

14
00:00:41,790 --> 00:00:45,890
de que nenhum carro passe em uma hora e você será demais!

15
00:00:45,890 --> 00:00:48,290
E um pouco fora do assunto, apenas para avançar com este

16
00:00:48,290 --> 00:00:50,540
vídeo, porquê há duas pressuposições que nós teremos que fazer porquê

17
00:00:50,540 --> 00:00:52,235
nós estamos estudando a distribuição de Possion.

18
00:00:52,235 --> 00:00:54,110
E para estudá-la há duas pressuposições que

19
00:00:54,110 --> 00:00:54,630
nós precisamos fazer:

20
00:00:54,630 --> 00:00:58,770
Que em qualquer horário neste ponto da estrada não há

21
00:00:58,770 --> 00:00:59,650
diferença para qualquer outro horário.

22
00:00:59,650 --> 00:01:01,340
E nós sabemos o quanto esta pressuposição é falsa.

23
00:01:01,340 --> 00:01:03,750
Durante o horário de pico você provavelmente terá

24
00:01:03,750 --> 00:01:06,640
muito mais carros do que em qualquer outro horário.

25
00:01:06,640 --> 00:01:08,640
E você sabe, se você quiser ser mais realista provavelmente

26
00:01:08,640 --> 00:01:12,370
você o fará por dia dia porquê em um dia qualquer período de tempo --

27
00:01:12,370 --> 00:01:12,750
neste caso, não.

28
00:01:12,750 --> 00:01:14,120
Eu não poderia fazer por dia.

29
00:01:14,120 --> 00:01:17,750
Nós teremos que assumir que cada hora é exatamente como

30
00:01:17,750 --> 00:01:19,650
qualquer outra hora e neste caso, mesmo dentro de uma hora

31
00:01:19,650 --> 00:01:22,990
que não existe nenhuma diferença de um segundo para outro em

32
00:01:22,990 --> 00:01:25,820
termos das probabilidades de que passe um carro.

33
00:01:25,820 --> 00:01:27,950
Isso é uma hipótese simplificora muito forte que

34
00:01:27,950 --> 00:01:29,950
provavelmente não se aplica ao tráfego, mas eu penso

35
00:01:29,950 --> 00:01:32,270
que teremos que fazer esta presunção.

36
00:01:32,270 --> 00:01:34,160
E outra coisa que nós teremos que presumir é a de que se

37
00:01:34,160 --> 00:01:36,690
um bocado de carros passar em determinada hora isso não significará que menos

38
00:01:36,690 --> 00:01:37,820
carros passarão na próxima.

39
00:01:37,820 --> 00:01:40,630
De que de nenhuma maneira o número de carros que passa em um período

40
00:01:40,630 --> 00:01:44,860
afeta ou está relacionado ou de alguma maneira influencia o número de carros

41
00:01:44,860 --> 00:01:45,380
que passará no próximo.

42
00:01:45,380 --> 00:01:47,370
Que eles sejam realmente independentes.

43
00:01:47,370 --> 00:01:50,670
Dado isso, nós podemos ao menos tentar usar a proficiência

44
00:01:50,670 --> 00:01:53,480
que temos para modelar algum tipo de distribuição.

45
00:01:53,480 --> 00:01:55,770
A primeira coisa que eu faço é recomendar que você proceda assim para qualquer

46
00:01:55,770 --> 00:01:59,090
distribuição é que talvez nós possamos estimar a média.

47
00:01:59,090 --> 00:02:03,040
Vamos nos ater nesta curva e mensurar quanto é o valor desta variável

48
00:02:03,040 --> 00:02:05,170
depois de um bocado de horas e depois tirar a média disso, e isso será

49
00:02:05,170 --> 00:02:08,890
um ótimo estimador para a média existente

50
00:02:08,890 --> 00:02:09,880
da nossa população.

51
00:02:09,880 --> 00:02:12,270
Ou, uma vez que isto é uma variável aleatória, o valor da esperança

52
00:02:12,270 --> 00:02:13,010
desta variável aleatória.

53
00:02:13,010 --> 00:02:16,660
Digamos que você fez isso e que você obteve que melhor estimativa para o

54
00:02:16,660 --> 00:02:22,270
valor da esperança da sua variável aleatória é -- eu usarei

55
00:02:22,270 --> 00:02:24,850
a letra [grega] lambda.

56
00:02:24,850 --> 00:02:27,380
Você sabe, isso podem ser 9 carros por hora.

57
00:02:27,380 --> 00:02:30,190
Você se sentou lá -- isso pode ser 9,3 carros por hora.

58
00:02:30,190 --> 00:02:32,670
Você se sentou lá por horas e você apenas contou

59
00:02:32,670 --> 00:02:34,590
o número de carros há cada hora e você tirou a média disso tudo.

60
00:02:34,590 --> 00:02:37,250
Você diz, na média, são 9,3 carros por hora e você sente

61
00:02:37,250 --> 00:02:38,680
que esta é uma estimativa bastante boa.

62
00:02:38,680 --> 00:02:40,080
Então é isso que você tem aqui.

63
00:02:40,080 --> 00:02:42,000
E vamos dizer que isso nós possamos fazer.

64
00:02:42,000 --> 00:02:45,560
Nós conhecemos da distribuição binomial.

65
00:02:45,560 --> 00:02:50,650
A distribuição binomial nos diz que o valor de esperança de

66
00:02:50,650 --> 00:02:55,220
uma variável aleatória é igual ao número de tentativas da qual

67
00:02:55,220 --> 00:02:57,460
esta variável aleatória é composta por, correto?

68
00:02:57,460 --> 00:02:59,490
Antes, em vídeos anteriores nós estivemos contando o número

69
00:02:59,490 --> 00:03:00,500
de caras em lançamentos de moedas.

70
00:03:00,500 --> 00:03:03,070
Então isso poderia ser o número de lançamentos de moedas, vezes

71
00:03:03,070 --> 00:03:07,290
a probabilidade de sucesso em cada lançamento.

72
00:03:07,290 --> 00:03:09,000
E isso é o que nós fizemos na distribuição binomial.

73
00:03:09,000 --> 00:03:11,670
Então talvez nós possamos modelar nossa situação de tráfego

74
00:03:11,670 --> 00:03:12,780
de uma maneira similar.

75
00:03:12,780 --> 00:03:15,400
Este é o número de carros que passa em uma hora.

76
00:03:15,400 --> 00:03:22,800
Então talvez possamos dizer lambda carros por hora é igual

77
00:03:22,800 --> 00:03:24,330
a -- eu não sei.

78
00:03:26,850 --> 00:03:29,880
Vamos fazer cada experimento ou cada lançamento da moeda igual a

79
00:03:29,880 --> 00:03:31,780
quando passar um carro em um dado minuto.

80
00:03:31,780 --> 00:03:37,980
Então como há 60 minutos numa hora, então

81
00:03:37,980 --> 00:03:40,870
haverão 60 tentativas.

82
00:03:40,870 --> 00:03:43,190
E então, a probabilidade que nós tenhamos sucesso em cada uma

83
00:03:43,190 --> 00:03:46,990
dessas tentativas, se nós modelarmos isso como uma distribuição binomial

84
00:03:46,990 --> 00:03:54,450
será lambda sobre 60 carros por minuto.

85
00:03:54,450 --> 00:03:55,660
E isso poderá ser uma probabilidade.

86
00:03:55,660 --> 00:03:58,640
Isso poderá ser n, e isso poderá ser a probabilidade, se dissermos

87
00:03:58,640 --> 00:04:00,270
que isso é uma distribuição binomial.

88
00:04:00,270 --> 00:04:04,030
E esta probabilidade não poderá ser uma aproximação tão má assim.

89
00:04:04,030 --> 00:04:06,130
Se você neste caso disser, oh, esta é uma distribuição

90
00:04:06,130 --> 00:04:10,380
binomial, então a probabilidade da nossa variável

91
00:04:10,380 --> 00:04:12,940
aleatória irá ser igual a algum valor dado, k.

92
00:04:12,940 --> 00:04:16,170
Você sabe, a probabilidade de que 3 carros, exatamente 3 carros passem

93
00:04:16,170 --> 00:04:19,750
em uma dada hora, nós poderíamos igualar isso a n.

94
00:04:19,750 --> 00:04:21,890
Então n seria 60.

95
00:04:21,890 --> 00:04:26,010
Escolhido k, e como você sabe, eu tenho 3 carros vezes a

96
00:04:26,010 --> 00:04:27,190
probabilidade de sucesso.

97
00:04:27,190 --> 00:04:29,570
Então é a probabilidade de que um carro passe em qualquer minuto.

98
00:04:29,570 --> 00:04:34,770
Então isso será lambda sobre 60 elevado ao número de

99
00:04:34,770 --> 00:04:35,980
sussessos que nós precisamos.

100
00:04:35,980 --> 00:04:41,660
Então à potência de k, vezes a probabilidade de não haver sucesso ou

101
00:04:41,660 --> 00:04:46,560
de que nenhum carro passe, elevado a n menos k.

102
00:04:46,560 --> 00:04:50,230
Se nós tivermos k sucessos nós teremos 60 menos k insucessos.

103
00:04:50,230 --> 00:04:52,950
Haverá 60 menos k minutos nos quais nenhum carro passou.

104
00:04:52,950 --> 00:04:55,270
Isso realmente não será nada mal para uma aproximação na qual

105
00:04:55,270 --> 00:04:57,250
você possui 60 intervalos e você afirma que isso é uma distribuição

106
00:04:57,250 --> 00:04:58,560
binomial.

107
00:04:58,560 --> 00:05:00,310
E você provavelmente terá resultados razoáveis.

108
00:05:00,310 --> 00:05:02,600
Mas á uma questão chave aqui.

109
00:05:02,600 --> 00:05:06,580
Neste modelo em que nos a modelamos como uma distribuição binomial,

110
00:05:06,580 --> 00:05:09,980
o que acontece se mais de um carro passar em determinada hora?

111
00:05:09,980 --> 00:05:11,630
Ou se mais de um carro passar em determinado minuto?

112
00:05:11,630 --> 00:05:14,270
Uma maneira que nós temos agora é chamar de sucesso se um

113
00:05:14,270 --> 00:05:15,320
carro passar em um determinado minuto.

114
00:05:15,320 --> 00:05:18,790
E você terá que realizar uma contagem do tipo, um sucesso mesmo

115
00:05:18,790 --> 00:05:21,190
que 5 carros passarem naquele minuto.

116
00:05:21,190 --> 00:05:23,390
Então você dirá, ok, OK Sal, eu sei a solução aqui.

117
00:05:23,390 --> 00:05:26,040
Eu apenas tenho que trabalhar com grãos mais finos.

118
00:05:26,040 --> 00:05:28,870
Ao invés de dividir por minutos porquê eu não

119
00:05:28,870 --> 00:05:31,050
divido isso por segundos?

120
00:05:31,050 --> 00:05:36,210
Então a probabilidade de que eu tenha k sucessos -- ao invés de 60

121
00:05:36,210 --> 00:05:39,820
intervalos, eu terei agora 3.600 intervalos.

122
00:05:39,820 --> 00:05:43,170
Então a probabilidade de k segundos com sucesso, então em um segundo

123
00:05:43,170 --> 00:05:48,610
ocorreu de um carro passar naquele instante entre 3.600 segundos.

124
00:05:48,610 --> 00:05:52,190
Então isto é 3.600 escolhido k, vezes a probabilidade de que um carro

125
00:05:52,190 --> 00:05:55,210
passou em qualquer dado segundo.

126
00:05:55,210 --> 00:05:57,930
Isso será o número esperado de carros numa hora dividido por

127
00:05:57,930 --> 00:06:00,430
tantos segundos em uma hora.

128
00:06:00,430 --> 00:06:01,403
Nós iremos ter k sucessos.

129
00:06:03,990 --> 00:06:06,270
E isso são os insucessos, a probabilidade de um insucesso

130
00:06:06,270 --> 00:06:12,050
e nós iremos ter 3.600 menos k insucessos.

131
00:06:12,050 --> 00:06:13,910
E isso será uma aproximação ainda melhor.

132
00:06:13,910 --> 00:06:16,770
Isso aqui não será tão ruim assim, mas ainda, você terá esta

133
00:06:16,770 --> 00:06:19,100
situação na qual 2 carros podem vir num intervalo de meio

134
00:06:19,100 --> 00:06:19,980
segundo um do outro.

135
00:06:19,980 --> 00:06:21,910
E você irá dizer, oh, OK Sal, eu vejo o padrão aqui.

136
00:06:21,910 --> 00:06:23,650
Nós apenas temos que tornar isso mais e mais granular.

137
00:06:23,650 --> 00:06:26,170
Nós apenas temos que tornar este número grande e

138
00:06:26,170 --> 00:06:27,400
sempre maior e maior.

139
00:06:27,400 --> 00:06:28,950
E a sua intuição está correta.

140
00:06:28,950 --> 00:06:31,340
E o que você terá no final será a

141
00:06:31,340 --> 00:06:33,860
distribuição de Poisson.

142
00:06:33,860 --> 00:06:35,620
E isso é realmente interessante porque por muitas vezes o pessoal

143
00:06:35,620 --> 00:06:38,600
lhe dará a fórmula da distribuição de Poisson e você

144
00:06:38,600 --> 00:06:40,420
poderá fazer algo como acrescentar os números a a utilizar.

145
00:06:40,420 --> 00:06:43,250
Mas é muito interessante saber que isso é realmente apenas a distribuição

146
00:06:43,250 --> 00:06:45,790
binomial e a distribuição binomial realmente vem

147
00:06:45,790 --> 00:06:48,590
de algo como o senso comum de lançar moedas.

148
00:06:48,590 --> 00:06:50,500
É disso que tudo isso está vindo.

149
00:06:50,500 --> 00:06:53,710
Mas antes disso fizemos uma prova de como trabalhar com limites

150
00:06:53,710 --> 00:06:55,670
de maneira a -- deixe-me mudar de cor.

151
00:06:55,670 --> 00:06:58,470
Anteriormente nós provamos que se pegássemos o limite como este número

152
00:06:58,470 --> 00:07:01,270
aqui, o número de intervalos aproxima o infinito

153
00:07:01,270 --> 00:07:04,070
e isso se torna a distribuição de Poisson.

154
00:07:04,070 --> 00:07:07,290
Estou me assegurando de que temos um bocado de ferramentas

155
00:07:07,290 --> 00:07:09,150
matemátcas no nosso cinto de trabalho.

156
00:07:09,150 --> 00:07:12,760
Assim a primeira é algo que você já está razoavelmente

157
00:07:12,760 --> 00:07:15,860
familiarizado, mas eu apenas gostaria de assegurar que

158
00:07:15,860 --> 00:07:25,680
o limite quando x se aproxima do infinito de 1 mais a/x à potência de x é

159
00:07:25,680 --> 00:07:31,020
igual a e elevado a ax -- não, desculpe-me.

160
00:07:31,020 --> 00:07:38,020
É igual a e elevado a a e agora apenas para provar isso para você,

161
00:07:38,020 --> 00:07:39,260
deixe-me fazer uma pequena substituição aqui.

162
00:07:39,260 --> 00:07:43,640
Digamos que este n é igual a -- deixe-me dizer 1 sobre

163
00:07:43,640 --> 00:07:47,880
n é igual a a sobre x.

164
00:07:47,880 --> 00:07:52,890
E isso então será x que irá equivaler a na.

165
00:07:52,890 --> 00:07:55,290
x vezes 1 é igual a n vezes a.

166
00:07:55,290 --> 00:08:00,050
E então o limite com x convergindo ao infinito,

167
00:08:00,050 --> 00:08:02,045
o que a converge?

168
00:08:02,045 --> 00:08:02,885
a é -- desculpe-me.

169
00:08:02,885 --> 00:08:04,920
Com x indo ao infinito para onde n converge?

170
00:08:04,920 --> 00:08:07,350
Bem n é x dividido por a.

171
00:08:07,350 --> 00:08:08,710
Então n pode também convergir ao infinito.

172
00:08:08,710 --> 00:08:10,810
Então isso será a mesma coisa que simplesmente fazer nossa

173
00:08:10,810 --> 00:08:16,460
substituição do limite com n aproximando o infinito de 1

174
00:08:16,460 --> 00:08:21,390
mais -- a/x, eu fiz a substituição como 1/n.

175
00:08:21,390 --> 00:08:26,720
E x é, por esta substituição, n vezes a.

176
00:08:26,720 --> 00:08:30,500
E isso está para ser a mesma cosa que o limete com n

177
00:08:30,500 --> 00:08:36,090
indo ao infinito de 1 mais 1/n elevado a n, tudo

178
00:08:36,090 --> 00:08:39,390
isso elevado a a.

179
00:08:39,390 --> 00:08:41,760
E uma vez que não há n aqui nós podemos simplesmente pegar o limite

180
00:08:41,760 --> 00:08:43,450
disso e então pegar isso à potência de a.

181
00:08:43,450 --> 00:08:47,690
Então isso irá ser igual ao limite com n indo ao

182
00:08:47,690 --> 00:08:52,600
infinito de 1 mais 1/n elevado à enésima potência, tudo

183
00:08:52,600 --> 00:08:53,780
isso elevado a a.

184
00:08:53,780 --> 00:08:58,040
E essa é a nossa definição, ou uma das maneiras de se chegar a

185
00:08:58,040 --> 00:09:00,820
se você for assistir aos vídeos de interesse composto e tudo isso.

186
00:09:00,820 --> 00:09:01,880
Isso é como nós chegamos ao e.

187
00:09:01,880 --> 00:09:03,460
E se você testar isso na sua calculadora, apenas tente n´s

188
00:09:03,460 --> 00:09:07,260
maiores e maiores aqui e você chegará a e.

189
00:09:07,260 --> 00:09:12,010
Esta parte interna é igual a e, e nós elevamos isso à potência

190
00:09:12,010 --> 00:09:14,060
de a, então isso será igual a e elevado a a.

191
00:09:14,060 --> 00:09:16,240
Então espero que você fique bastante satisfeito de que este

192
00:09:16,240 --> 00:09:17,860
limite seja igual a e elevado a a.

193
00:09:17,860 --> 00:09:19,860
E então uma outra ferramenta que eu gostaria de colocar no seu cinto de trabalho, e eu irei

194
00:09:19,860 --> 00:09:22,340
provavelmente realizar a prova no próximo vídeo.

195
00:09:22,340 --> 00:09:32,950
A outra ferramenta é reconhecer que x fatorial sobre

196
00:09:32,950 --> 00:09:42,860
x menos k fatorial é igual a x vezes x menos 1 vezes x

197
00:09:42,860 --> 00:09:50,030
menos 2, por todo o caminho de vezes x menos k mais 1.

198
00:09:50,030 --> 00:09:51,880
E nós fizemos isso por muitas vezes, mas isso é da maneira

199
00:09:51,880 --> 00:09:53,060
mais abstrata que nós já escrevemos.

200
00:09:53,060 --> 00:09:55,580
Eu posso lhe dar um bocado de -- e apenas para você saber,

201
00:09:55,580 --> 00:09:57,330
haverão exatamente k termos aqui.

202
00:09:57,330 --> 00:10:01,700
1, 2, 3 -- Então o primeiro termo, o segundo termo, o terceiro termo, por todo

203
00:10:01,700 --> 00:10:04,310
sempre, e este é o k-gésimo termo.

204
00:10:04,310 --> 00:10:07,210
E isso é importante para nossa dedução da

205
00:10:07,210 --> 00:10:09,160
distribuição de Poisson.

206
00:10:09,160 --> 00:10:13,870
Mas apenas para fazer isso em números reais, se eu tiver 7 fatorial

207
00:10:13,870 --> 00:10:20,110
sobre 7 menos 2 fatorila, isso será igual a 7 vezes 6

208
00:10:20,110 --> 00:10:24,070
vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.

209
00:10:24,070 --> 00:10:27,360
Sobre 2 vezes -- não desculpe-me.

210
00:10:27,360 --> 00:10:28,940
7 menos 2, isso é 5.

211
00:10:28,940 --> 00:10:33,500
Então iso sobre 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.

212
00:10:33,500 --> 00:10:37,190
Isso se cancela e você terá apenas 7 vezes 6.

213
00:10:37,190 --> 00:10:40,990
E então isso são 7 e então o último termo é 7 menos

214
00:10:40,990 --> 00:10:43,045
2 mais 1, que é 6.

215
00:10:47,560 --> 00:10:51,290
Neste exemplo, k era 2 e você teve exatamente 2 termos.

216
00:10:51,290 --> 00:10:53,230
E uma vez que nós saibamos estas duas coisas agora estamos

217
00:10:53,230 --> 00:10:55,710
prontos para deduizir a distribuição de Possion e isso eu farei

218
00:10:55,710 --> 00:10:58,415
no próximo vídeo.

219
00:10:58,415 --> 00:10:59,980
O vejo em breve.