0:00:00.860,0:00:03.540 Vamos supor que você seja alguém como um engenheiro de tráfego e 0:00:03.540,0:00:06.810 que você está tentando resolver isso, quantos carros passam por 0:00:06.810,0:00:08.320 um determinado ponto da estrada em um determinado período de tempo? 0:00:08.320,0:00:10.210 E você está tentando descobrir a probabilidade de que 0:00:10.210,0:00:14.010 100 carros passem ou 5 carros passem em uma dada hora. 0:00:14.010,0:00:15.810 Então um bom modo de começar é justamente definir uma variável 0:00:15.810,0:00:20.530 aleatória que essencialmente representará o foco do seu problema. 0:00:20.530,0:00:27.350 Então digamos o número de carros que passa em certo 0:00:27.350,0:00:30.407 período de tempo, digamos, em uma hora. 0:00:31.710,0:00:34.510 E o seu objetivo é determinar a distribuição de probabilidades 0:00:34.510,0:00:37.050 desta variável aleatória e uma vez que você conhecer a 0:00:37.050,0:00:39.450 distribuição de probabilidades então você poderá determinar 0:00:39.450,0:00:41.790 qual a probabilidade de que 100 carros passem em 1 hora ou a probabilidade 0:00:41.790,0:00:45.890 de que nenhum carro passe em uma hora e você será demais! 0:00:45.890,0:00:48.290 E um pouco fora do assunto, apenas para avançar com este 0:00:48.290,0:00:50.540 vídeo, porquê há duas pressuposições que nós teremos que fazer porquê 0:00:50.540,0:00:52.235 nós estamos estudando a distribuição de Possion. 0:00:52.235,0:00:54.110 E para estudá-la há duas pressuposições que 0:00:54.110,0:00:54.630 nós precisamos fazer: 0:00:54.630,0:00:58.770 Que em qualquer horário neste ponto da estrada não há 0:00:58.770,0:00:59.650 diferença para qualquer outro horário. 0:00:59.650,0:01:01.340 E nós sabemos o quanto esta pressuposição é falsa. 0:01:01.340,0:01:03.750 Durante o horário de pico você provavelmente terá 0:01:03.750,0:01:06.640 muito mais carros do que em qualquer outro horário. 0:01:06.640,0:01:08.640 E você sabe, se você quiser ser mais realista provavelmente 0:01:08.640,0:01:12.370 você o fará por dia dia porquê em um dia qualquer período de tempo -- 0:01:12.370,0:01:12.750 neste caso, não. 0:01:12.750,0:01:14.120 Eu não poderia fazer por dia. 0:01:14.120,0:01:17.750 Nós teremos que assumir que cada hora é exatamente como 0:01:17.750,0:01:19.650 qualquer outra hora e neste caso, mesmo dentro de uma hora 0:01:19.650,0:01:22.990 que não existe nenhuma diferença de um segundo para outro em 0:01:22.990,0:01:25.820 termos das probabilidades de que passe um carro. 0:01:25.820,0:01:27.950 Isso é uma hipótese simplificora muito forte que 0:01:27.950,0:01:29.950 provavelmente não se aplica ao tráfego, mas eu penso 0:01:29.950,0:01:32.270 que teremos que fazer esta presunção. 0:01:32.270,0:01:34.160 E outra coisa que nós teremos que presumir é a de que se 0:01:34.160,0:01:36.690 um bocado de carros passar em determinada hora isso não significará que menos 0:01:36.690,0:01:37.820 carros passarão na próxima. 0:01:37.820,0:01:40.630 De que de nenhuma maneira o número de carros que passa em um período 0:01:40.630,0:01:44.860 afeta ou está relacionado ou de alguma maneira influencia o número de carros 0:01:44.860,0:01:45.380 que passará no próximo. 0:01:45.380,0:01:47.370 Que eles sejam realmente independentes. 0:01:47.370,0:01:50.670 Dado isso, nós podemos ao menos tentar usar a proficiência 0:01:50.670,0:01:53.480 que temos para modelar algum tipo de distribuição. 0:01:53.480,0:01:55.770 A primeira coisa que eu faço é recomendar que você proceda assim para qualquer 0:01:55.770,0:01:59.090 distribuição é que talvez nós possamos estimar a média. 0:01:59.090,0:02:03.040 Vamos nos ater nesta curva e mensurar quanto é o valor desta variável 0:02:03.040,0:02:05.170 depois de um bocado de horas e depois tirar a média disso, e isso será 0:02:05.170,0:02:08.890 um ótimo estimador para a média existente 0:02:08.890,0:02:09.880 da nossa população. 0:02:09.880,0:02:12.270 Ou, uma vez que isto é uma variável aleatória, o valor da esperança 0:02:12.270,0:02:13.010 desta variável aleatória. 0:02:13.010,0:02:16.660 Digamos que você fez isso e que você obteve que melhor estimativa para o 0:02:16.660,0:02:22.270 valor da esperança da sua variável aleatória é -- eu usarei 0:02:22.270,0:02:24.850 a letra [grega] lambda. 0:02:24.850,0:02:27.380 Você sabe, isso podem ser 9 carros por hora. 0:02:27.380,0:02:30.190 Você se sentou lá -- isso pode ser 9,3 carros por hora. 0:02:30.190,0:02:32.670 Você se sentou lá por horas e você apenas contou 0:02:32.670,0:02:34.590 o número de carros há cada hora e você tirou a média disso tudo. 0:02:34.590,0:02:37.250 Você diz, na média, são 9,3 carros por hora e você sente 0:02:37.250,0:02:38.680 que esta é uma estimativa bastante boa. 0:02:38.680,0:02:40.080 Então é isso que você tem aqui. 0:02:40.080,0:02:42.000 E vamos dizer que isso nós possamos fazer. 0:02:42.000,0:02:45.560 Nós conhecemos da distribuição binomial. 0:02:45.560,0:02:50.650 A distribuição binomial nos diz que o valor de esperança de 0:02:50.650,0:02:55.220 uma variável aleatória é igual ao número de tentativas da qual 0:02:55.220,0:02:57.460 esta variável aleatória é composta por, correto? 0:02:57.460,0:02:59.490 Antes, em vídeos anteriores nós estivemos contando o número 0:02:59.490,0:03:00.500 de caras em lançamentos de moedas. 0:03:00.500,0:03:03.070 Então isso poderia ser o número de lançamentos de moedas, vezes 0:03:03.070,0:03:07.290 a probabilidade de sucesso em cada lançamento. 0:03:07.290,0:03:09.000 E isso é o que nós fizemos na distribuição binomial. 0:03:09.000,0:03:11.670 Então talvez nós possamos modelar nossa situação de tráfego 0:03:11.670,0:03:12.780 de uma maneira similar. 0:03:12.780,0:03:15.400 Este é o número de carros que passa em uma hora. 0:03:15.400,0:03:22.800 Então talvez possamos dizer lambda carros por hora é igual 0:03:22.800,0:03:24.330 a -- eu não sei. 0:03:26.850,0:03:29.880 Vamos fazer cada experimento ou cada lançamento da moeda igual a 0:03:29.880,0:03:31.780 quando passar um carro em um dado minuto. 0:03:31.780,0:03:37.980 Então como há 60 minutos numa hora, então 0:03:37.980,0:03:40.870 haverão 60 tentativas. 0:03:40.870,0:03:43.190 E então, a probabilidade que nós tenhamos sucesso em cada uma 0:03:43.190,0:03:46.990 dessas tentativas, se nós modelarmos isso como uma distribuição binomial 0:03:46.990,0:03:54.450 será lambda sobre 60 carros por minuto. 0:03:54.450,0:03:55.660 E isso poderá ser uma probabilidade. 0:03:55.660,0:03:58.640 Isso poderá ser n, e isso poderá ser a probabilidade, se dissermos 0:03:58.640,0:04:00.270 que isso é uma distribuição binomial. 0:04:00.270,0:04:04.030 E esta probabilidade não poderá ser uma aproximação tão má assim. 0:04:04.030,0:04:06.130 Se você neste caso disser, oh, esta é uma distribuição 0:04:06.130,0:04:10.380 binomial, então a probabilidade da nossa variável 0:04:10.380,0:04:12.940 aleatória irá ser igual a algum valor dado, k. 0:04:12.940,0:04:16.170 Você sabe, a probabilidade de que 3 carros, exatamente 3 carros passem 0:04:16.170,0:04:19.750 em uma dada hora, nós poderíamos igualar isso a n. 0:04:19.750,0:04:21.890 Então n seria 60. 0:04:21.890,0:04:26.010 Escolhido k, e como você sabe, eu tenho 3 carros vezes a 0:04:26.010,0:04:27.190 probabilidade de sucesso. 0:04:27.190,0:04:29.570 Então é a probabilidade de que um carro passe em qualquer minuto. 0:04:29.570,0:04:34.770 Então isso será lambda sobre 60 elevado ao número de 0:04:34.770,0:04:35.980 sussessos que nós precisamos. 0:04:35.980,0:04:41.660 Então à potência de k, vezes a probabilidade de não haver sucesso ou 0:04:41.660,0:04:46.560 de que nenhum carro passe, elevado a n menos k. 0:04:46.560,0:04:50.230 Se nós tivermos k sucessos nós teremos 60 menos k insucessos. 0:04:50.230,0:04:52.950 Haverá 60 menos k minutos nos quais nenhum carro passou. 0:04:52.950,0:04:55.270 Isso realmente não será nada mal para uma aproximação na qual 0:04:55.270,0:04:57.250 você possui 60 intervalos e você afirma que isso é uma distribuição 0:04:57.250,0:04:58.560 binomial. 0:04:58.560,0:05:00.310 E você provavelmente terá resultados razoáveis. 0:05:00.310,0:05:02.600 Mas á uma questão chave aqui. 0:05:02.600,0:05:06.580 Neste modelo em que nos a modelamos como uma distribuição binomial, 0:05:06.580,0:05:09.980 o que acontece se mais de um carro passar em determinada hora? 0:05:09.980,0:05:11.630 Ou se mais de um carro passar em determinado minuto? 0:05:11.630,0:05:14.270 Uma maneira que nós temos agora é chamar de sucesso se um 0:05:14.270,0:05:15.320 carro passar em um determinado minuto. 0:05:15.320,0:05:18.790 E você terá que realizar uma contagem do tipo, um sucesso mesmo 0:05:18.790,0:05:21.190 que 5 carros passarem naquele minuto. 0:05:21.190,0:05:23.390 Então você dirá, ok, OK Sal, eu sei a solução aqui. 0:05:23.390,0:05:26.040 Eu apenas tenho que trabalhar com grãos mais finos. 0:05:26.040,0:05:28.870 Ao invés de dividir por minutos porquê eu não 0:05:28.870,0:05:31.050 divido isso por segundos? 0:05:31.050,0:05:36.210 Então a probabilidade de que eu tenha k sucessos -- ao invés de 60 0:05:36.210,0:05:39.820 intervalos, eu terei agora 3.600 intervalos. 0:05:39.820,0:05:43.170 Então a probabilidade de k segundos com sucesso, então em um segundo 0:05:43.170,0:05:48.610 ocorreu de um carro passar naquele instante entre 3.600 segundos. 0:05:48.610,0:05:52.190 Então isto é 3.600 escolhido k, vezes a probabilidade de que um carro 0:05:52.190,0:05:55.210 passou em qualquer dado segundo. 0:05:55.210,0:05:57.930 Isso será o número esperado de carros numa hora dividido por 0:05:57.930,0:06:00.430 tantos segundos em uma hora. 0:06:00.430,0:06:01.403 Nós iremos ter k sucessos. 0:06:03.990,0:06:06.270 E isso são os insucessos, a probabilidade de um insucesso 0:06:06.270,0:06:12.050 e nós iremos ter 3.600 menos k insucessos. 0:06:12.050,0:06:13.910 E isso será uma aproximação ainda melhor. 0:06:13.910,0:06:16.770 Isso aqui não será tão ruim assim, mas ainda, você terá esta 0:06:16.770,0:06:19.100 situação na qual 2 carros podem vir num intervalo de meio 0:06:19.100,0:06:19.980 segundo um do outro. 0:06:19.980,0:06:21.910 E você irá dizer, oh, OK Sal, eu vejo o padrão aqui. 0:06:21.910,0:06:23.650 Nós apenas temos que tornar isso mais e mais granular. 0:06:23.650,0:06:26.170 Nós apenas temos que tornar este número grande e 0:06:26.170,0:06:27.400 sempre maior e maior. 0:06:27.400,0:06:28.950 E a sua intuição está correta. 0:06:28.950,0:06:31.340 E o que você terá no final será a 0:06:31.340,0:06:33.860 distribuição de Poisson. 0:06:33.860,0:06:35.620 E isso é realmente interessante porque por muitas vezes o pessoal 0:06:35.620,0:06:38.600 lhe dará a fórmula da distribuição de Poisson e você 0:06:38.600,0:06:40.420 poderá fazer algo como acrescentar os números a a utilizar. 0:06:40.420,0:06:43.250 Mas é muito interessante saber que isso é realmente apenas a distribuição 0:06:43.250,0:06:45.790 binomial e a distribuição binomial realmente vem 0:06:45.790,0:06:48.590 de algo como o senso comum de lançar moedas. 0:06:48.590,0:06:50.500 É disso que tudo isso está vindo. 0:06:50.500,0:06:53.710 Mas antes disso fizemos uma prova de como trabalhar com limites 0:06:53.710,0:06:55.670 de maneira a -- deixe-me mudar de cor. 0:06:55.670,0:06:58.470 Anteriormente nós provamos que se pegássemos o limite como este número 0:06:58.470,0:07:01.270 aqui, o número de intervalos aproxima o infinito 0:07:01.270,0:07:04.070 e isso se torna a distribuição de Poisson. 0:07:04.070,0:07:07.290 Estou me assegurando de que temos um bocado de ferramentas 0:07:07.290,0:07:09.150 matemátcas no nosso cinto de trabalho. 0:07:09.150,0:07:12.760 Assim a primeira é algo que você já está razoavelmente 0:07:12.760,0:07:15.860 familiarizado, mas eu apenas gostaria de assegurar que 0:07:15.860,0:07:25.680 o limite quando x se aproxima do infinito de 1 mais a/x à potência de x é 0:07:25.680,0:07:31.020 igual a e elevado a ax -- não, desculpe-me. 0:07:31.020,0:07:38.020 É igual a e elevado a a e agora apenas para provar isso para você, 0:07:38.020,0:07:39.260 deixe-me fazer uma pequena substituição aqui. 0:07:39.260,0:07:43.640 Digamos que este n é igual a -- deixe-me dizer 1 sobre 0:07:43.640,0:07:47.880 n é igual a a sobre x. 0:07:47.880,0:07:52.890 E isso então será x que irá equivaler a na. 0:07:52.890,0:07:55.290 x vezes 1 é igual a n vezes a. 0:07:55.290,0:08:00.050 E então o limite com x convergindo ao infinito, 0:08:00.050,0:08:02.045 o que a converge? 0:08:02.045,0:08:02.885 a é -- desculpe-me. 0:08:02.885,0:08:04.920 Com x indo ao infinito para onde n converge? 0:08:04.920,0:08:07.350 Bem n é x dividido por a. 0:08:07.350,0:08:08.710 Então n pode também convergir ao infinito. 0:08:08.710,0:08:10.810 Então isso será a mesma coisa que simplesmente fazer nossa 0:08:10.810,0:08:16.460 substituição do limite com n aproximando o infinito de 1 0:08:16.460,0:08:21.390 mais -- a/x, eu fiz a substituição como 1/n. 0:08:21.390,0:08:26.720 E x é, por esta substituição, n vezes a. 0:08:26.720,0:08:30.500 E isso está para ser a mesma cosa que o limete com n 0:08:30.500,0:08:36.090 indo ao infinito de 1 mais 1/n elevado a n, tudo 0:08:36.090,0:08:39.390 isso elevado a a. 0:08:39.390,0:08:41.760 E uma vez que não há n aqui nós podemos simplesmente pegar o limite 0:08:41.760,0:08:43.450 disso e então pegar isso à potência de a. 0:08:43.450,0:08:47.690 Então isso irá ser igual ao limite com n indo ao 0:08:47.690,0:08:52.600 infinito de 1 mais 1/n elevado à enésima potência, tudo 0:08:52.600,0:08:53.780 isso elevado a a. 0:08:53.780,0:08:58.040 E essa é a nossa definição, ou uma das maneiras de se chegar a 0:08:58.040,0:09:00.820 se você for assistir aos vídeos de interesse composto e tudo isso. 0:09:00.820,0:09:01.880 Isso é como nós chegamos ao e. 0:09:01.880,0:09:03.460 E se você testar isso na sua calculadora, apenas tente n´s 0:09:03.460,0:09:07.260 maiores e maiores aqui e você chegará a e. 0:09:07.260,0:09:12.010 Esta parte interna é igual a e, e nós elevamos isso à potência 0:09:12.010,0:09:14.060 de a, então isso será igual a e elevado a a. 0:09:14.060,0:09:16.240 Então espero que você fique bastante satisfeito de que este 0:09:16.240,0:09:17.860 limite seja igual a e elevado a a. 0:09:17.860,0:09:19.860 E então uma outra ferramenta que eu gostaria de colocar no seu cinto de trabalho, e eu irei 0:09:19.860,0:09:22.340 provavelmente realizar a prova no próximo vídeo. 0:09:22.340,0:09:32.950 A outra ferramenta é reconhecer que x fatorial sobre 0:09:32.950,0:09:42.860 x menos k fatorial é igual a x vezes x menos 1 vezes x 0:09:42.860,0:09:50.030 menos 2, por todo o caminho de vezes x menos k mais 1. 0:09:50.030,0:09:51.880 E nós fizemos isso por muitas vezes, mas isso é da maneira 0:09:51.880,0:09:53.060 mais abstrata que nós já escrevemos. 0:09:53.060,0:09:55.580 Eu posso lhe dar um bocado de -- e apenas para você saber, 0:09:55.580,0:09:57.330 haverão exatamente k termos aqui. 0:09:57.330,0:10:01.700 1, 2, 3 -- Então o primeiro termo, o segundo termo, o terceiro termo, por todo 0:10:01.700,0:10:04.310 sempre, e este é o k-gésimo termo. 0:10:04.310,0:10:07.210 E isso é importante para nossa dedução da 0:10:07.210,0:10:09.160 distribuição de Poisson. 0:10:09.160,0:10:13.870 Mas apenas para fazer isso em números reais, se eu tiver 7 fatorial 0:10:13.870,0:10:20.110 sobre 7 menos 2 fatorila, isso será igual a 7 vezes 6 0:10:20.110,0:10:24.070 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1. 0:10:24.070,0:10:27.360 Sobre 2 vezes -- não desculpe-me. 0:10:27.360,0:10:28.940 7 menos 2, isso é 5. 0:10:28.940,0:10:33.500 Então iso sobre 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1. 0:10:33.500,0:10:37.190 Isso se cancela e você terá apenas 7 vezes 6. 0:10:37.190,0:10:40.990 E então isso são 7 e então o último termo é 7 menos 0:10:40.990,0:10:43.045 2 mais 1, que é 6. 0:10:47.560,0:10:51.290 Neste exemplo, k era 2 e você teve exatamente 2 termos. 0:10:51.290,0:10:53.230 E uma vez que nós saibamos estas duas coisas agora estamos 0:10:53.230,0:10:55.710 prontos para deduizir a distribuição de Possion e isso eu farei 0:10:55.710,0:10:58.415 no próximo vídeo. 0:10:58.415,0:10:59.980 O vejo em breve.