Sigma notation for sums

В това видео искам да ти представя

идеята за означение със символа "сигма", който ще бъде обширно използван

по време на обучението ти по математика.

Нека просто кажем, че искахме да намерим сумата на няколко члена,

като тези членове имат даден модел.

Нека кажем, че искаме да намерим сумата на първите 10 числа.

Може да кажеш, че 1 плюс 2, плюс 3, плюс...

като стигаш чак до плюс 9, плюс 10.

Ясно е, че мога дори да напиша цялото това нещо,

но можеш да си представиш, че това ще стане доста по-трудно, ако искаше

да намериш сумата на първите 100 числа.

Щяхме да имаме 1 плюс 2, плюс 3, плюс,

като ще стигнем чак до 99, плюс 100.

Така че математиците са казали: "Нека измислим някакво означение,

вместо да пишем цялото това, отбелязано с точките,

с което да можем да изразим по-ясно този вид суми."

И ще го виждаш понякога.

Ето откъде идва означението със символа сигма.

Първата сума тук горе

може да бъде представена като сигма.

Използваме главна буква сигма,
тази гръцка буква тук.

След това определяме индекс.

Можеш да започнеш индекса от някаква стойност.

Да кажем, че индексът започва от 1.

Ще използвам буквата i за индекс.

Нека кажем, че i започва от 1, и ще направя сумата да е до 10.

i започва от 1 и стига до 10.

Ще събера всички i.

Как това се превръща в това тук?

Започваш от това, което е индексът.

Ако индексът е 1, слагаш i да е равно на 1.

Записваш 1 и след това увеличаваш индекса.

След това i ще бъде равно на 2.

i е 2.

Записваш 2.

Събираш всеки от тези членове.

Като ще стигнеш чак до i, равно на 10.

Стигаш чак до i равно на 10.

Като знаеш всичко това, което ти казах, ти препоръчвам

да спреш видеото на пауза и да напишеш означението сигма

за тази сума тук.

Приемам, че го направи,

това ще бъде сумата.

Първият член – може да е

лесно да кажем, че ще започнем отново
от i, равно на 1.

i е равно на 1.

Но сега няма да спрем, докато не стигнем до i, равно на 100,

като ще съберем всички i.

Нека направим още един пример.

Нека си представим сбора от

i, равно на 0 до 50 от –

не знам, да кажем – π по i на квадрат.

π по i на квадрат.

Как ще изглежда тази сума?

Отново ти препоръчвам да спреш видеото на пауза

и да го напишеш, да разложиш тази сума.

Нека го направим стъпка по стъпка.

Когато i е равно на 0, това ще бъде π по 0 на квадрат.

Ясно е, че това е 0, но ще го запиша.

π по 0 на квадрат.

След това увеличаваме i.

Уверяваме се, че не сме достигнали това,

че i не е вече на горната си граница

ето тук, или тази горна стойност.

Сега казваме i е равно на 1, π по 1 на квадрат –

плюс π по 1 на квадрат.

Горната стойност ето тук 1 ли е, където трябва да спрем?

Не.

Следователно продължаваме.

След това отиваме до i, равно на 2 –

плюс π по 2 на квадрат.

Мисля, че виждаш модела тук.

Ще продължим по същия начин чак

докато в един момент – ще продължим да увеличаваме i,

докато i стане 49.

Ще имаме π по 49 на квадрат.

по 49 на квадрат.

И накрая увеличаваме i. i става равно на 50,

така че ще имаме плюс π по 50 на квадрат.

След това казваме: "Добре, последното i е

равно на тази горна граница и сега
можем вече да спрем.

Така че виждаш, че това означение,

този символ сигма за сума, беше
много по-ясен начин,

много по-чист начин за представяне на това,

вместо да пишем цялата сума.

Но ти ще виждаш хората да използват и двата начина.