Intuition for Second Fundamental Theorem of Calculus

Vediamo se ho un certo tipo di funzione s di t

che è la posizione in funzione del tempo.

Posizione in funzione del tempo.

E lasciami disegnare un potenziale s di t proprio qui sopra

Abbiamo un asse orizzontale come asse del tempo

E lasciami disegnare. Disegnerò qualcosa che somiglia a una parabola.

E lasciami disegnare a tentativi. Disegnerò qualcosa di simile a una parabola

Anche se avrei potuto farlo generale, ma giusto per rendere le cose un po' più semplici per me

quindi disegnero qualcosa che somigli a una parabola.

Se chiamiamo questa asse y possiamo anche chiamare questo y è uguale a s di t

come un ragionevole modo di disegnare in grafico la nostra posizione come funzione del tempo

E ora pensa a cosa accade se vogliamo pensare al cambiamento della posizione

tra due momenti, diciamo tra il tempo a, diciamo che questo è il tempo a lì e questo qui è il tempo b

QUindi il tempo b è qui. Quindi quale sarà il cambaiamento nella posizione tra il tempo a e il tempo b

Bene al tempo b siamo a alla posizione s di b

E al tempo a eravamo alla posizione s di a

Quindi il cambiamento di posizione tra il tempo a e il tempo b ...

Lasciamelo scrivere: il cambiamento nella posizione tra - e questo può sembrare ovvio ma lo scrivo lo stesso - tra il tempo a e b

sarà s di b, questa posizione, meno questa posizione, s di a

????? fino a questo punto.

Ma pensiamo a cosa accade se prendiamo al derivata di questa funzione qui

Quindi cosa accade se prendiamo la derivata della posizione come funzione del tempo?

RIcorda la derivata misura la pendenza della tangente in ciascun punto.

QUindi diciamo che stiamo guardando a punto là

La pendenza della linea tangente ci dice che per una piccola variazione in t - sto esagerando nella visualizzazione -

...per una veramente piccola variazione in t, quanto stiamo variando nella posizione?

Quisndi scriviamo questo come ds su dt. E' la derivata della nostra funzione della posizione

a ogni dato punto. Quindi quando stiamo parlando di come la posizione varia in funzione del tempo,

cos'è questo? QUesta è la velocità

Quindi questa è uguale alla velocità.

Lascimelo scrivere in diversa notazione.

Quindi questa stessa sarà una funzione del tempo.

Quindi possiamo scriverla... Questa è uguale a s primo di d

questi sono due modi diversi di scrivere la derivata di s rispetto a t

Questo rende un po' più chiaro che questa stessa è una funzione del tempo

e noi sappiamo che questa è la stessa cosa della velocità

La velocità come funzione del tempo

che noi scriviamo come v di t: v(t).

Mettiamo in grafico cosa possa sembrare v(t).

Disegniamola. Quindi lasciami mettere un altro asse, altri assi qui giù che sembrano

abbastanza vicino all'originale

Mi da qualche stato reale???. Sembra molto bello.

E allora lasciami provare a disegnare v(t).

Quindi ancora una volta questo è il mio asse x questo è il mio asse y

E voglio disegnare y= v (t). E questa è una parabola

Quindi la pendenza qui è zero

Il coefficiente di cambaimanto è zero. E continua a

a incrementare . La pendenza diventa sempre più ripida.

Quindi v(t) può sembare qualcosa del genere.

Quindi questo è il grafico di y è uguale a v di t, v(t).

Ora usando questo grafico pensiamo se possiamo

concettualizzare la distanza o la variazione di posizione tra

tra el tempo a e il tempo b. Andiamo indietro alle nostre Somme di Riemann.

Pensiamo a come una area molto piccola di un rettangolo si mostrerebbe.

Dividiamo questo in un mucchio di rettangoli

Farò dei rettangoli molto larghi così abbiamo dello spazio su cui lavorare.

Puoi immaginarne di molto più piccoli.

E farò una Somma di Riemann sinistra qui.

Possiamo fare una Somma di Riemann destra.

Possiamo fare una Somma di Riemann trapezioidale.

Possiamo fare quel che vogliamo.

Quindi possiamo continuare ad andare così.

Lasciamene fare 3 per ora. Lasciamene fare 3 proprio qui.

E questa è una molto grossolana approssimazione.

Puoi immaginare che diventino più vicini.

Cosa approssima l'area di questi rettangoli?

Bene, questo proprio qui ... hai f di a o dovrei dire v di a v(a)

Quindi la tua velocità al tempo a è l'altezza

qui è allora questa distanza qui è un cambiamento nel tempo

delta t, quindi l'area per questo rettangolo è la tua velocità in quel momento per

la variazione nel tempo. Qual'è la tua velocità ???? varia nel tempo.

Questa sarà un cambiamento di posizione.

Questo ti dice che questa è una approssimazione del cambiamento

nella posizione durante questo tempo.

Allora l'area di questo rettangolo è un'altra approssimazione per

per il tuo cambiamento nella posizione durante il prossimo

delta t. E allora puoi immaginare che questa qui sia una approssimazione per

il tuo cambiamento nella posizione durante il successivo delta t.

Quindi se vuoi veramente figurarti il tuo cambiamento nella posizione

tra a e b, potresti semplicemente fare una somma di Riemann, se vuoi approssimarla

se vuoi prendere la somma da "a" è uguale a 1 "a" è uguale a n

di - e faro una somma di Riemann da sinistra, e ancora una volta potremmo farne una centrale, una trapezioidale

una da destra...- di v di t di i meno 1. Questo è il primo rettangolo. Per il primo