Calculating dot and cross products with unit vector notation
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0:00 - 0:02到現在爲止
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0:02 - 0:04我告訴大家的關於點乘和叉乘的
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0:04 - 0:06只是作爲定義 用向量長度乘以
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0:06 - 0:08夾角餘弦
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0:08 - 0:10或者正弦
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0:10 - 0:13但是如果題目給條件不是直觀的向量呢？
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0:13 - 0:14如果題目件沒有給出夾角θ呢？
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0:14 - 0:17這時應該怎樣計算點乘和叉乘呢？
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0:17 - 0:19好吧 我先給出
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0:19 - 0:20之前介紹過的各自的定義式
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0:20 - 0:27假設a點乘b
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0:27 - 0:31要用a的模乘b的模再
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0:31 - 0:33乘以夾角餘弦
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0:33 - 0:38a x b將等於
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0:38 - 0:42a的模乘以b的模再
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0:42 - 0:44乘以夾角正弦
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0:44 - 0:47所以它們的垂直投影-
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0:47 - 0:49再乘以
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0:49 - 0:51跟兩向量都正交的單位法向量
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0:51 - 0:53至於這個
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0:53 - 0:55單位法向量的方向
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0:55 - 0:56你可以用右手定則知道
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0:56 - 1:00但如果我們沒有θ值
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1:00 - 1:02沒有向量夾角怎麽辦呢？
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1:02 - 1:08如果只告訴你向量a
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1:08 - 1:10而且是向量a的工程表示符號 要怎麽辦呢？
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1:10 - 1:12工程表示符號就是
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1:12 - 1:14把向量 用其在x y z方向
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1:14 - 1:16分解以後得到的三個分量大小來表示
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1:16 - 1:22假設a是5i（式子未完）--
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1:22 - 1:25i就是在x方向的單位向量
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1:25 - 1:33a是5i-6j+3k
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1:34 - 1:37i j k是x y z方向上的
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1:37 - 1:38單位向量
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1:38 - 1:415是x方向上a的長度
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1:41 - 1:43-6是y方向的分量
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1:43 - 1:463是z方向的分量
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1:46 - 1:47其實可以畫圖表示
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1:47 - 1:49實際上我正在找一個圖形計算器
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1:49 - 1:51借助它我就可以給大家在影片裏展示各種圖形了
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1:51 - 1:52讓大家有更直觀的感覺
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1:52 - 1:54好 假設這就是大家得到的所有的有用條件
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1:54 - 2:00至於b 我再編幾個數
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2:00 - 2:03b是-2i（未完）
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2:03 - 2:06當然現在這些都是在三維空間內討論的
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2:14 - 2:16你可以自己畫圖看一下
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2:16 - 2:18顯然 如果這就是你得到的問題
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2:18 - 2:22並且你要是在電腦仿真中
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2:22 - 2:23模擬這些向量
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2:23 - 2:24你應該會這麽做：
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2:24 - 2:25你會把向量分解成x y z三個分量
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2:25 - 2:27因爲如果要是做向量相加運算
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2:27 - 2:29只需要分別把各分量相加即可
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2:29 - 2:30但如果要做叉乘或點乘的話
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2:30 - 2:32要怎麽相乘呢？
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2:32 - 2:35在這裡我不給大家證明原理
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2:35 - 2:36只是告訴大家怎麽做
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2:36 - 2:38點乘非常簡單
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2:38 - 2:39如果向量是用這種方式給的
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2:39 - 2:41其實還有另一種書寫方法
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2:41 - 2:43還可以寫在括號裏
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2:43 - 2:47有時候可以把這寫成（5，-6，3）
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2:47 - 2:50只是在x y z方向內分量的長度
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2:50 - 2:51只是想讓大家
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2:51 - 2:54熟悉所有這些表示方法
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2:54 - 2:58你可以把b寫成（-2，7，4）
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2:58 - 2:58表示的向量都是一樣的
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2:58 - 3:00看到其中任何一種你都不應該不認識
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3:00 - 3:06好吧 a點乘b到底要怎麽做呢？
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3:08 - 3:11這個方法我相信大家肯定會喜歡的
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3:11 - 3:15你需要做的就是 把兩者i分量長度相乘
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3:15 - 3:17加上兩者j分量相乘
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3:17 - 3:20再加兩者k分量相乘
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3:20 - 3:26所以應該是5乘以-2
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3:26 - 3:38加上-6乘以7加上3乘以4
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3:38 - 3:45等於-10-42+12
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3:45 - 3:52等於-52+12 即-40
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3:52 - 3:54這就是結果 只是一個數字而已
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3:54 - 3:57其實我很想在三維畫圖器上畫畫
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3:57 - 4:01看看爲什麽最後等於-40
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4:01 - 4:03a b一定是反向的
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4:03 - 4:05它們各自在對方上的射影
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4:05 - 4:06是相反的
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4:06 - 4:10所以我們最後得到一個負數
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4:10 - 4:12我們這麽做
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4:12 - 4:14是因爲我也不想太直觀
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4:14 - 4:15這就是點乘的計算方法
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4:15 - 4:16非常簡單
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4:16 - 4:18僅僅把x方向分量乘起來
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4:18 - 4:21加上y分量乘積
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4:21 - 4:24再加上所有z分量乘積
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4:24 - 4:26所以每當題給條件是工程表示符號
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4:26 - 4:28而我要做點乘時
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4:28 - 4:34這個方法非常好用 而且不容易犯錯
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4:34 - 4:35但是 接下來你會看到
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4:35 - 4:38求這種形式的向量的叉乘積
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4:38 - 4:41將比較麻煩
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4:41 - 4:42當然了 對於點乘
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4:42 - 4:43還有其他做法
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4:43 - 4:44你可以求出
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4:44 - 4:46每個向量的模
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4:46 - 4:50然後用三角學的知識
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4:50 - 4:52求出θ 使用點乘定義式來計算
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4:52 - 4:56說到這我相信你會認爲
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4:56 - 4:58第一種方法是相對更簡單的
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4:58 - 4:59所以做點乘是沒什麽難的
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4:59 - 5:01現在來看如何做叉乘
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5:01 - 5:05重申一下 這裡我不進行證明
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5:05 - 5:06只是向大家介紹方法
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5:06 - 5:07在以後的影片裏
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5:07 - 5:10我相信大家總會讓我證明的
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5:10 - 5:11那時候我會給出證明
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5:11 - 5:15但是叉乘確實是更複雜一些
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5:15 - 5:18並且我也從不希望用這種工程符號表示
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5:18 - 5:20來做叉乘（太麻煩了）
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5:20 - 5:24a x b就等於
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5:24 - 5:27這時候要用到矩陣的知識了
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5:27 - 5:31你需要取行列式
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5:31 - 5:33先畫一條長行列式線
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5:33 - 5:34在行列式的頂端-
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5:34 - 5:37介紹這種方法只是讓你記住怎麽做
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5:37 - 5:39沒有給很出直觀的解釋爲什麽要這麽做
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5:39 - 5:41不過在叉乘的實際定義中直觀概念已經給出了
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5:41 - 5:44那就是向量的哪部分是跟另一個正交的
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5:44 - 5:45將這兩部分相乘
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5:45 - 5:47這時右手定則來決定
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5:47 - 5:48向量指向的方向
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5:48 - 5:52如果給出的是工程表示
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5:52 - 5:55在行列式第一行寫 i j k這三個單位向量
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5:58 - 6:02然後寫叉乘中第一個向量
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6:02 - 6:04因爲對叉乘來說向量順序是不能變的
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6:04 - 6:09所以第二行是 5 -6 3
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6:09 - 6:12然後寫第二個向量b
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6:12 - 6:17所以第三行是 -2 7 4
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6:17 - 6:20接下來要對這個3x3矩陣取行列式
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6:20 - 6:21應該怎麽做呢？
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6:21 - 6:26等於i的子行列式（即余子式）（未完）
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6:26 - 6:27要求i的余子式
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6:27 - 6:29去掉i所在的行和列
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6:29 - 6:31行列式剩下的部分就是i的余子式
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6:31 - 6:39-6 3 7 4（如影片所示）行列式乘i
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6:39 - 6:41說到這如果你記不清如何做行列式運算
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6:41 - 6:43最好複習一下行列式部分的知識
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6:43 - 6:48看接下來的運算應該可以喚起你的學習記憶
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6:48 - 6:51三個子行列式前的符號 是+ - +
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6:51 - 6:54所以j的余子式符號是-
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6:54 - 6:55那j的余子式是什麽呢
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6:55 - 6:58去掉j所在的行和列
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6:58 - 7:01就得到了5 3 -2 4（如影片所示）
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7:05 - 7:08先去掉j所在的行與列
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7:08 - 7:09不管剩下什麽
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7:09 - 7:12這就是j的余子式中的數字
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7:12 - 7:13我這麽稱呼
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7:13 - 7:18j 然後+ 我想把這些都寫在一行裏
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7:18 - 7:19看起來會整齊一點
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7:19 - 7:21加k的余子式
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7:21 - 7:23去掉k所在的行和列
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7:23 - 7:35剩下的是5 -6 -2 7（如影片所示） 乘以k
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7:35 - 7:37現在來計算一下
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7:37 - 7:39先騰一些運算空間出來
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7:39 - 7:41這些寫的太大了
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7:41 - 7:43現在不需要這些了 擦掉
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7:43 - 7:45那麽運算結果是什麽呢？
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7:45 - 7:50來上邊這裡運算吧
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7:50 - 7:51這些2x2行列式是蠻簡單的
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7:51 - 7:57這個是-6x4-7x3
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7:57 - 8:01這裡我經常粗心算錯 也給大家提個醒
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8:01 - 8:09-24-21 乘i 減 5x4是20
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8:09 - 8:17- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j
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8:17 - 8:26+5x7 得35 再減-2x（-6）
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8:26 - 8:30所以是減12 得（35-12）k
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8:30 - 8:35我們可以化簡一下 這裡等於-24-21
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8:35 - 8:40是-35（算錯了 是-45） 其實不用放括號裏的
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8:40 - 8:44然後是20--6
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8:44 - 8:47也就是20+6 得到26
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8:47 - 8:48前邊還有一個負號
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8:48 - 8:51所以是-26j
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8:51 - 8:55這裡是35-12 得到23
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8:57 - 8:59這就是叉乘的結果
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8:59 - 9:01如果在三維空間裏畫圖表示
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9:01 - 9:03你會看到這個是非常有趣的
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9:01 - 9:07如果我沒算錯的話（其實i分量算錯了）
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9:07 - 9:11-35i-26j+23k 這個向量
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9:11 - 9:15跟向量a和b都是垂直的
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9:15 - 9:18現在我就講到這
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9:18 - 9:20下段影片再見了
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9:20 - 9:22希望我能找到一個向量畫圖程序吧
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9:22 - 9:24那樣的話做點乘和叉乘運算
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9:24 - 9:27就有趣多了
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9:27 - 9:30用我剛教的方法運算然後畫出來看看
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9:30 - 9:32看看結果是不是滿足我們預期
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9:32 - 9:36看看是不是這個向量真的
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9:36 - 9:38是像大家用右手定則判斷的那個方向一樣
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9:38 - 9:42跟兩個向量都垂直
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9:42 - 9:45下段影片見
- Title:
- Calculating dot and cross products with unit vector notation
- Description:
-
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 09:47
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles for Calculating dot and cross products with unit vector notation |