0:00:00.070,0:00:02.080
到現在爲止

0:00:02.080,0:00:03.530
我告訴大家的關於點乘和叉乘的

0:00:03.530,0:00:06.440
只是作爲定義 用向量長度乘以

0:00:06.440,0:00:07.960
夾角餘弦

0:00:07.960,0:00:09.900
或者正弦

0:00:09.900,0:00:12.600
但是如果題目給條件不是直觀的向量呢？

0:00:12.600,0:00:14.400
如果題目件沒有給出夾角θ呢？

0:00:14.400,0:00:17.200
這時應該怎樣計算點乘和叉乘呢？

0:00:17.200,0:00:19.200
好吧 我先給出

0:00:19.200,0:00:20.060
之前介紹過的各自的定義式

0:00:20.060,0:00:26.860
假設a點乘b

0:00:26.860,0:00:31.270
要用a的模乘b的模再

0:00:31.270,0:00:33.400
乘以夾角餘弦

0:00:33.400,0:00:37.830
a x b將等於

0:00:37.830,0:00:41.710
a的模乘以b的模再

0:00:41.710,0:00:44.150
乘以夾角正弦

0:00:44.150,0:00:47.110
所以它們的垂直投影-

0:00:47.110,0:00:48.810
再乘以

0:00:48.810,0:00:51.100
跟兩向量都正交的單位法向量

0:00:51.100,0:00:52.930
至於這個

0:00:52.930,0:00:55.300
單位法向量的方向

0:00:55.300,0:00:56.360
你可以用右手定則知道

0:00:56.360,0:00:59.920
但如果我們沒有θ值

0:00:59.920,0:01:01.580
沒有向量夾角怎麽辦呢？

0:01:01.580,0:01:07.590
如果只告訴你向量a

0:01:07.590,0:01:10.450
而且是向量a的工程表示符號 要怎麽辦呢？

0:01:10.450,0:01:11.610
工程表示符號就是

0:01:11.610,0:01:13.540
把向量 用其在x y z方向

0:01:13.540,0:01:16.070
分解以後得到的三個分量大小來表示

0:01:16.070,0:01:22.020
假設a是5i（式子未完）--

0:01:22.020,0:01:25.310
i就是在x方向的單位向量

0:01:25.310,0:01:33.400
a是5i-6j+3k

0:01:34.070,0:01:36.720
i j k是x y z方向上的

0:01:36.720,0:01:38.430
單位向量

0:01:38.430,0:01:41.450
5是x方向上a的長度

0:01:41.450,0:01:43.360
-6是y方向的分量

0:01:43.360,0:01:46.040
3是z方向的分量

0:01:46.040,0:01:47.340
其實可以畫圖表示

0:01:47.340,0:01:49.470
實際上我正在找一個圖形計算器

0:01:49.470,0:01:51.200
借助它我就可以給大家在影片裏展示各種圖形了

0:01:51.200,0:01:52.350
讓大家有更直觀的感覺

0:01:52.350,0:01:53.660
好 假設這就是大家得到的所有的有用條件

0:01:53.660,0:02:00.500
至於b 我再編幾個數

0:02:00.500,0:02:03.040
b是-2i（未完）

0:02:03.040,0:02:05.660
當然現在這些都是在三維空間內討論的

0:02:14.400,0:02:15.510
你可以自己畫圖看一下

0:02:15.510,0:02:18.150
顯然 如果這就是你得到的問題

0:02:18.150,0:02:21.590
並且你要是在電腦仿真中

0:02:21.590,0:02:22.740
模擬這些向量

0:02:22.740,0:02:23.600
你應該會這麽做：

0:02:23.600,0:02:25.400
你會把向量分解成x y z三個分量

0:02:25.400,0:02:27.000
因爲如果要是做向量相加運算

0:02:27.000,0:02:28.800
只需要分別把各分量相加即可

0:02:28.800,0:02:29.980
但如果要做叉乘或點乘的話

0:02:29.980,0:02:32.090
要怎麽相乘呢？

0:02:32.090,0:02:34.540
在這裡我不給大家證明原理

0:02:34.540,0:02:35.700
只是告訴大家怎麽做

0:02:35.700,0:02:37.700
點乘非常簡單

0:02:37.700,0:02:39.430
如果向量是用這種方式給的

0:02:39.430,0:02:41.140
其實還有另一種書寫方法

0:02:41.140,0:02:42.700
還可以寫在括號裏

0:02:42.700,0:02:47.490
有時候可以把這寫成（5，-6，3）

0:02:47.490,0:02:50.090
只是在x y z方向內分量的長度

0:02:50.090,0:02:50.600
只是想讓大家

0:02:50.600,0:02:54.310
熟悉所有這些表示方法

0:02:54.310,0:02:57.560
你可以把b寫成（-2，7，4）

0:02:57.560,0:02:58.450
表示的向量都是一樣的

0:02:58.450,0:03:00.450
看到其中任何一種你都不應該不認識

0:03:00.450,0:03:05.820
好吧 a點乘b到底要怎麽做呢？

0:03:08.010,0:03:10.700
這個方法我相信大家肯定會喜歡的

0:03:10.700,0:03:14.540
你需要做的就是 把兩者i分量長度相乘

0:03:14.540,0:03:17.130
加上兩者j分量相乘

0:03:17.130,0:03:20.300
再加兩者k分量相乘

0:03:20.300,0:03:25.580
所以應該是5乘以-2

0:03:25.580,0:03:37.930
加上-6乘以7加上3乘以4

0:03:37.930,0:03:45.210
等於-10-42+12

0:03:45.210,0:03:52.100
等於-52+12 即-40

0:03:52.100,0:03:53.580
這就是結果 只是一個數字而已

0:03:53.580,0:03:57.000
其實我很想在三維畫圖器上畫畫

0:03:57.000,0:04:01.200
看看爲什麽最後等於-40

0:04:01.200,0:04:03.350
a b一定是反向的

0:04:03.350,0:04:05.150
它們各自在對方上的射影

0:04:05.150,0:04:06.250
是相反的

0:04:06.250,0:04:09.610
所以我們最後得到一個負數

0:04:09.610,0:04:12.100
我們這麽做

0:04:12.100,0:04:13.680
是因爲我也不想太直觀

0:04:13.680,0:04:14.520
這就是點乘的計算方法

0:04:14.520,0:04:16.120
非常簡單

0:04:16.120,0:04:18.000
僅僅把x方向分量乘起來

0:04:18.000,0:04:21.360
加上y分量乘積

0:04:21.360,0:04:23.650
再加上所有z分量乘積

0:04:23.650,0:04:25.950
所以每當題給條件是工程表示符號

0:04:25.950,0:04:28.270
而我要做點乘時

0:04:28.270,0:04:33.750
這個方法非常好用 而且不容易犯錯

0:04:33.750,0:04:34.980
但是 接下來你會看到

0:04:34.980,0:04:38.050
求這種形式的向量的叉乘積

0:04:38.050,0:04:41.270
將比較麻煩

0:04:41.270,0:04:42.500
當然了 對於點乘

0:04:42.500,0:04:43.330
還有其他做法

0:04:43.330,0:04:44.050
你可以求出

0:04:44.050,0:04:45.860
每個向量的模

0:04:45.860,0:04:50.370
然後用三角學的知識

0:04:50.370,0:04:52.500
求出θ 使用點乘定義式來計算

0:04:52.500,0:04:55.540
說到這我相信你會認爲

0:04:55.540,0:04:57.500
第一種方法是相對更簡單的

0:04:57.500,0:04:59.210
所以做點乘是沒什麽難的

0:04:59.210,0:05:01.350
現在來看如何做叉乘

0:05:01.350,0:05:04.800
重申一下 這裡我不進行證明

0:05:04.800,0:05:06.390
只是向大家介紹方法

0:05:06.390,0:05:07.450
在以後的影片裏

0:05:07.450,0:05:10.150
我相信大家總會讓我證明的

0:05:10.150,0:05:11.070
那時候我會給出證明

0:05:11.070,0:05:15.330
但是叉乘確實是更複雜一些

0:05:15.330,0:05:18.110
並且我也從不希望用這種工程符號表示

0:05:18.110,0:05:20.240
來做叉乘（太麻煩了）

0:05:20.240,0:05:23.780
a x b就等於

0:05:23.780,0:05:26.910
這時候要用到矩陣的知識了

0:05:26.910,0:05:30.810
你需要取行列式

0:05:30.810,0:05:33.030
先畫一條長行列式線

0:05:33.030,0:05:34.260
在行列式的頂端-

0:05:34.260,0:05:36.940
介紹這種方法只是讓你記住怎麽做

0:05:36.940,0:05:38.740
沒有給很出直觀的解釋爲什麽要這麽做

0:05:38.740,0:05:41.380
不過在叉乘的實際定義中直觀概念已經給出了

0:05:41.380,0:05:44.030
那就是向量的哪部分是跟另一個正交的

0:05:44.030,0:05:45.150
將這兩部分相乘

0:05:45.150,0:05:46.770
這時右手定則來決定

0:05:46.770,0:05:48.490
向量指向的方向

0:05:48.490,0:05:51.590
如果給出的是工程表示

0:05:51.590,0:05:55.480
在行列式第一行寫 i j k這三個單位向量

0:05:58.410,0:06:02.340
然後寫叉乘中第一個向量

0:06:02.340,0:06:03.630
因爲對叉乘來說向量順序是不能變的

0:06:03.630,0:06:09.030
所以第二行是 5 -6 3

0:06:09.030,0:06:11.900
然後寫第二個向量b

0:06:11.900,0:06:17.180
所以第三行是 -2 7 4

0:06:17.180,0:06:20.000
接下來要對這個3x3矩陣取行列式

0:06:20.000,0:06:21.270
應該怎麽做呢？

0:06:21.270,0:06:26.240
等於i的子行列式（即余子式）（未完）

0:06:26.240,0:06:27.100
要求i的余子式

0:06:27.100,0:06:29.040
去掉i所在的行和列

0:06:29.040,0:06:30.580
行列式剩下的部分就是i的余子式

0:06:30.580,0:06:38.780
-6 3 7 4（如影片所示）行列式乘i

0:06:38.780,0:06:41.450
說到這如果你記不清如何做行列式運算

0:06:41.450,0:06:42.740
最好複習一下行列式部分的知識

0:06:42.740,0:06:47.580
看接下來的運算應該可以喚起你的學習記憶

0:06:47.580,0:06:50.800
三個子行列式前的符號 是+ - +

0:06:50.800,0:06:53.800
所以j的余子式符號是-

0:06:53.800,0:06:55.480
那j的余子式是什麽呢

0:06:55.480,0:06:57.550
去掉j所在的行和列

0:06:57.550,0:07:01.470
就得到了5 3 -2 4（如影片所示）

0:07:05.000,0:07:07.940
先去掉j所在的行與列

0:07:07.940,0:07:09.000
不管剩下什麽

0:07:09.000,0:07:11.550
這就是j的余子式中的數字

0:07:11.550,0:07:13.220
我這麽稱呼

0:07:13.220,0:07:18.500
j 然後+ 我想把這些都寫在一行裏

0:07:18.500,0:07:19.440
看起來會整齊一點

0:07:19.440,0:07:21.000
加k的余子式

0:07:21.000,0:07:23.360
去掉k所在的行和列

0:07:23.360,0:07:35.060
剩下的是5 -6 -2 7（如影片所示） 乘以k

0:07:35.060,0:07:36.690
現在來計算一下

0:07:36.690,0:07:39.300
先騰一些運算空間出來

0:07:39.300,0:07:41.270
這些寫的太大了

0:07:41.270,0:07:43.410
現在不需要這些了 擦掉

0:07:43.410,0:07:45.360
那麽運算結果是什麽呢？

0:07:45.360,0:07:49.650
來上邊這裡運算吧

0:07:49.650,0:07:51.400
這些2x2行列式是蠻簡單的

0:07:51.400,0:07:56.650
這個是-6x4-7x3

0:07:56.650,0:08:00.510
這裡我經常粗心算錯 也給大家提個醒

0:08:00.510,0:08:08.930
-24-21 乘i 減 5x4是20

0:08:08.930,0:08:16.590
- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j

0:08:16.590,0:08:26.000
+5x7 得35 再減-2x（-6）

0:08:26.000,0:08:29.830
所以是減12 得（35-12）k

0:08:29.830,0:08:34.550
我們可以化簡一下 這裡等於-24-21

0:08:34.550,0:08:39.710
是-35（算錯了 是-45） 其實不用放括號裏的

0:08:39.710,0:08:43.840
然後是20--6

0:08:43.840,0:08:46.690
也就是20+6 得到26

0:08:46.690,0:08:47.970
前邊還有一個負號

0:08:47.970,0:08:50.640
所以是-26j

0:08:50.640,0:08:54.540
這裡是35-12 得到23

0:08:56.800,0:08:59.050
這就是叉乘的結果

0:08:59.050,0:09:00.770
如果在三維空間裏畫圖表示

0:09:00.770,0:09:03.170
你會看到這個是非常有趣的

0:09:00.770,0:09:06.970
如果我沒算錯的話（其實i分量算錯了）

0:09:06.970,0:09:11.100
-35i-26j+23k 這個向量

0:09:11.100,0:09:14.950
跟向量a和b都是垂直的

0:09:14.950,0:09:18.400
現在我就講到這

0:09:18.400,0:09:20.000
下段影片再見了

0:09:20.000,0:09:22.230
希望我能找到一個向量畫圖程序吧

0:09:22.230,0:09:24.360
那樣的話做點乘和叉乘運算

0:09:24.360,0:09:27.080
就有趣多了

0:09:27.080,0:09:30.100
用我剛教的方法運算然後畫出來看看

0:09:30.100,0:09:31.550
看看結果是不是滿足我們預期

0:09:31.550,0:09:36.330
看看是不是這個向量真的

0:09:36.330,0:09:38.200
是像大家用右手定則判斷的那個方向一樣

0:09:38.200,0:09:41.900
跟兩個向量都垂直

0:09:41.900,0:09:45.090
下段影片見