到現在爲止
我告訴大家的關於點乘和叉乘的
只是作爲定義 用向量長度乘以
夾角餘弦
或者正弦
但是如果題目給條件不是直觀的向量呢？
如果題目件沒有給出夾角θ呢？
這時應該怎樣計算點乘和叉乘呢？
好吧 我先給出
之前介紹過的各自的定義式
假設a點乘b
要用a的模乘b的模再
乘以夾角餘弦
a x b將等於
a的模乘以b的模再
乘以夾角正弦
所以它們的垂直投影-
再乘以
跟兩向量都正交的單位法向量
至於這個
單位法向量的方向
你可以用右手定則知道
但如果我們沒有θ值
沒有向量夾角怎麽辦呢？
如果只告訴你向量a
而且是向量a的工程表示符號 要怎麽辦呢？
工程表示符號就是
把向量 用其在x y z方向
分解以後得到的三個分量大小來表示
假設a是5i（式子未完）--
i就是在x方向的單位向量
a是5i-6j+3k
i j k是x y z方向上的
單位向量
5是x方向上a的長度
-6是y方向的分量
3是z方向的分量
其實可以畫圖表示
實際上我正在找一個圖形計算器
借助它我就可以給大家在影片裏展示各種圖形了
讓大家有更直觀的感覺
好 假設這就是大家得到的所有的有用條件
至於b 我再編幾個數
b是-2i（未完）
當然現在這些都是在三維空間內討論的
你可以自己畫圖看一下
顯然 如果這就是你得到的問題
並且你要是在電腦仿真中
模擬這些向量
你應該會這麽做：
你會把向量分解成x y z三個分量
因爲如果要是做向量相加運算
只需要分別把各分量相加即可
但如果要做叉乘或點乘的話
要怎麽相乘呢？
在這裡我不給大家證明原理
只是告訴大家怎麽做
點乘非常簡單
如果向量是用這種方式給的
其實還有另一種書寫方法
還可以寫在括號裏
有時候可以把這寫成（5，-6，3）
只是在x y z方向內分量的長度
只是想讓大家
熟悉所有這些表示方法
你可以把b寫成（-2，7，4）
表示的向量都是一樣的
看到其中任何一種你都不應該不認識
好吧 a點乘b到底要怎麽做呢？
這個方法我相信大家肯定會喜歡的
你需要做的就是 把兩者i分量長度相乘
加上兩者j分量相乘
再加兩者k分量相乘
所以應該是5乘以-2
加上-6乘以7加上3乘以4
等於-10-42+12
等於-52+12 即-40
這就是結果 只是一個數字而已
其實我很想在三維畫圖器上畫畫
看看爲什麽最後等於-40
a b一定是反向的
它們各自在對方上的射影
是相反的
所以我們最後得到一個負數
我們這麽做
是因爲我也不想太直觀
這就是點乘的計算方法
非常簡單
僅僅把x方向分量乘起來
加上y分量乘積
再加上所有z分量乘積
所以每當題給條件是工程表示符號
而我要做點乘時
這個方法非常好用 而且不容易犯錯
但是 接下來你會看到
求這種形式的向量的叉乘積
將比較麻煩
當然了 對於點乘
還有其他做法
你可以求出
每個向量的模
然後用三角學的知識
求出θ 使用點乘定義式來計算
說到這我相信你會認爲
第一種方法是相對更簡單的
所以做點乘是沒什麽難的
現在來看如何做叉乘
重申一下 這裡我不進行證明
只是向大家介紹方法
在以後的影片裏
我相信大家總會讓我證明的
那時候我會給出證明
但是叉乘確實是更複雜一些
並且我也從不希望用這種工程符號表示
來做叉乘（太麻煩了）
a x b就等於
這時候要用到矩陣的知識了
你需要取行列式
先畫一條長行列式線
在行列式的頂端-
介紹這種方法只是讓你記住怎麽做
沒有給很出直觀的解釋爲什麽要這麽做
不過在叉乘的實際定義中直觀概念已經給出了
那就是向量的哪部分是跟另一個正交的
將這兩部分相乘
這時右手定則來決定
向量指向的方向
如果給出的是工程表示
在行列式第一行寫 i j k這三個單位向量
然後寫叉乘中第一個向量
因爲對叉乘來說向量順序是不能變的
所以第二行是 5 -6 3
然後寫第二個向量b
所以第三行是 -2 7 4
接下來要對這個3x3矩陣取行列式
應該怎麽做呢？
等於i的子行列式（即余子式）（未完）
要求i的余子式
去掉i所在的行和列
行列式剩下的部分就是i的余子式
-6 3 7 4（如影片所示）行列式乘i
說到這如果你記不清如何做行列式運算
最好複習一下行列式部分的知識
看接下來的運算應該可以喚起你的學習記憶
三個子行列式前的符號 是+ - +
所以j的余子式符號是-
那j的余子式是什麽呢
去掉j所在的行和列
就得到了5 3 -2 4（如影片所示）
先去掉j所在的行與列
不管剩下什麽
這就是j的余子式中的數字
我這麽稱呼
j 然後+ 我想把這些都寫在一行裏
看起來會整齊一點
加k的余子式
去掉k所在的行和列
剩下的是5 -6 -2 7（如影片所示） 乘以k
現在來計算一下
先騰一些運算空間出來
這些寫的太大了
現在不需要這些了 擦掉
那麽運算結果是什麽呢？
來上邊這裡運算吧
這些2x2行列式是蠻簡單的
這個是-6x4-7x3
這裡我經常粗心算錯 也給大家提個醒
-24-21 乘i 減 5x4是20
- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j
+5x7 得35 再減-2x（-6）
所以是減12 得（35-12）k
我們可以化簡一下 這裡等於-24-21
是-35（算錯了 是-45） 其實不用放括號裏的
然後是20--6
也就是20+6 得到26
前邊還有一個負號
所以是-26j
這裡是35-12 得到23
這就是叉乘的結果
如果在三維空間裏畫圖表示
你會看到這個是非常有趣的
如果我沒算錯的話（其實i分量算錯了）
-35i-26j+23k 這個向量
跟向量a和b都是垂直的
現在我就講到這
下段影片再見了
希望我能找到一個向量畫圖程序吧
那樣的話做點乘和叉乘運算
就有趣多了
用我剛教的方法運算然後畫出來看看
看看結果是不是滿足我們預期
看看是不是這個向量真的
是像大家用右手定則判斷的那個方向一樣
跟兩個向量都垂直
下段影片見