1
00:00:00,070 --> 00:00:02,080
到現在爲止

2
00:00:02,080 --> 00:00:03,530
我告訴大家的關於點乘和叉乘的

3
00:00:03,530 --> 00:00:06,440
只是作爲定義 用向量長度乘以

4
00:00:06,440 --> 00:00:07,960
夾角餘弦

5
00:00:07,960 --> 00:00:09,900
或者正弦

6
00:00:09,900 --> 00:00:12,600
但是如果題目給條件不是直觀的向量呢？

7
00:00:12,600 --> 00:00:14,400
如果題目件沒有給出夾角θ呢？

8
00:00:14,400 --> 00:00:17,200
這時應該怎樣計算點乘和叉乘呢？

9
00:00:17,200 --> 00:00:19,200
好吧 我先給出

10
00:00:19,200 --> 00:00:20,060
之前介紹過的各自的定義式

11
00:00:20,060 --> 00:00:26,860
假設a點乘b

12
00:00:26,860 --> 00:00:31,270
要用a的模乘b的模再

13
00:00:31,270 --> 00:00:33,400
乘以夾角餘弦

14
00:00:33,400 --> 00:00:37,830
a x b將等於

15
00:00:37,830 --> 00:00:41,710
a的模乘以b的模再

16
00:00:41,710 --> 00:00:44,150
乘以夾角正弦

17
00:00:44,150 --> 00:00:47,110
所以它們的垂直投影-

18
00:00:47,110 --> 00:00:48,810
再乘以

19
00:00:48,810 --> 00:00:51,100
跟兩向量都正交的單位法向量

20
00:00:51,100 --> 00:00:52,930
至於這個

21
00:00:52,930 --> 00:00:55,300
單位法向量的方向

22
00:00:55,300 --> 00:00:56,360
你可以用右手定則知道

23
00:00:56,360 --> 00:00:59,920
但如果我們沒有θ值

24
00:00:59,920 --> 00:01:01,580
沒有向量夾角怎麽辦呢？

25
00:01:01,580 --> 00:01:07,590
如果只告訴你向量a

26
00:01:07,590 --> 00:01:10,450
而且是向量a的工程表示符號 要怎麽辦呢？

27
00:01:10,450 --> 00:01:11,610
工程表示符號就是

28
00:01:11,610 --> 00:01:13,540
把向量 用其在x y z方向

29
00:01:13,540 --> 00:01:16,070
分解以後得到的三個分量大小來表示

30
00:01:16,070 --> 00:01:22,020
假設a是5i（式子未完）--

31
00:01:22,020 --> 00:01:25,310
i就是在x方向的單位向量

32
00:01:25,310 --> 00:01:33,400
a是5i-6j+3k

33
00:01:34,070 --> 00:01:36,720
i j k是x y z方向上的

34
00:01:36,720 --> 00:01:38,430
單位向量

35
00:01:38,430 --> 00:01:41,450
5是x方向上a的長度

36
00:01:41,450 --> 00:01:43,360
-6是y方向的分量

37
00:01:43,360 --> 00:01:46,040
3是z方向的分量

38
00:01:46,040 --> 00:01:47,340
其實可以畫圖表示

39
00:01:47,340 --> 00:01:49,470
實際上我正在找一個圖形計算器

40
00:01:49,470 --> 00:01:51,200
借助它我就可以給大家在影片裏展示各種圖形了

41
00:01:51,200 --> 00:01:52,350
讓大家有更直觀的感覺

42
00:01:52,350 --> 00:01:53,660
好 假設這就是大家得到的所有的有用條件

43
00:01:53,660 --> 00:02:00,500
至於b 我再編幾個數

44
00:02:00,500 --> 00:02:03,040
b是-2i（未完）

45
00:02:03,040 --> 00:02:05,660
當然現在這些都是在三維空間內討論的

46
00:02:14,400 --> 00:02:15,510
你可以自己畫圖看一下

47
00:02:15,510 --> 00:02:18,150
顯然 如果這就是你得到的問題

48
00:02:18,150 --> 00:02:21,590
並且你要是在電腦仿真中

49
00:02:21,590 --> 00:02:22,740
模擬這些向量

50
00:02:22,740 --> 00:02:23,600
你應該會這麽做：

51
00:02:23,600 --> 00:02:25,400
你會把向量分解成x y z三個分量

52
00:02:25,400 --> 00:02:27,000
因爲如果要是做向量相加運算

53
00:02:27,000 --> 00:02:28,800
只需要分別把各分量相加即可

54
00:02:28,800 --> 00:02:29,980
但如果要做叉乘或點乘的話

55
00:02:29,980 --> 00:02:32,090
要怎麽相乘呢？

56
00:02:32,090 --> 00:02:34,540
在這裡我不給大家證明原理

57
00:02:34,540 --> 00:02:35,700
只是告訴大家怎麽做

58
00:02:35,700 --> 00:02:37,700
點乘非常簡單

59
00:02:37,700 --> 00:02:39,430
如果向量是用這種方式給的

60
00:02:39,430 --> 00:02:41,140
其實還有另一種書寫方法

61
00:02:41,140 --> 00:02:42,700
還可以寫在括號裏

62
00:02:42,700 --> 00:02:47,490
有時候可以把這寫成（5，-6，3）

63
00:02:47,490 --> 00:02:50,090
只是在x y z方向內分量的長度

64
00:02:50,090 --> 00:02:50,600
只是想讓大家

65
00:02:50,600 --> 00:02:54,310
熟悉所有這些表示方法

66
00:02:54,310 --> 00:02:57,560
你可以把b寫成（-2，7，4）

67
00:02:57,560 --> 00:02:58,450
表示的向量都是一樣的

68
00:02:58,450 --> 00:03:00,450
看到其中任何一種你都不應該不認識

69
00:03:00,450 --> 00:03:05,820
好吧 a點乘b到底要怎麽做呢？

70
00:03:08,010 --> 00:03:10,700
這個方法我相信大家肯定會喜歡的

71
00:03:10,700 --> 00:03:14,540
你需要做的就是 把兩者i分量長度相乘

72
00:03:14,540 --> 00:03:17,130
加上兩者j分量相乘

73
00:03:17,130 --> 00:03:20,300
再加兩者k分量相乘

74
00:03:20,300 --> 00:03:25,580
所以應該是5乘以-2

75
00:03:25,580 --> 00:03:37,930
加上-6乘以7加上3乘以4

76
00:03:37,930 --> 00:03:45,210
等於-10-42+12

77
00:03:45,210 --> 00:03:52,100
等於-52+12 即-40

78
00:03:52,100 --> 00:03:53,580
這就是結果 只是一個數字而已

79
00:03:53,580 --> 00:03:57,000
其實我很想在三維畫圖器上畫畫

80
00:03:57,000 --> 00:04:01,200
看看爲什麽最後等於-40

81
00:04:01,200 --> 00:04:03,350
a b一定是反向的

82
00:04:03,350 --> 00:04:05,150
它們各自在對方上的射影

83
00:04:05,150 --> 00:04:06,250
是相反的

84
00:04:06,250 --> 00:04:09,610
所以我們最後得到一個負數

85
00:04:09,610 --> 00:04:12,100
我們這麽做

86
00:04:12,100 --> 00:04:13,680
是因爲我也不想太直觀

87
00:04:13,680 --> 00:04:14,520
這就是點乘的計算方法

88
00:04:14,520 --> 00:04:16,120
非常簡單

89
00:04:16,120 --> 00:04:18,000
僅僅把x方向分量乘起來

90
00:04:18,000 --> 00:04:21,360
加上y分量乘積

91
00:04:21,360 --> 00:04:23,650
再加上所有z分量乘積

92
00:04:23,650 --> 00:04:25,950
所以每當題給條件是工程表示符號

93
00:04:25,950 --> 00:04:28,270
而我要做點乘時

94
00:04:28,270 --> 00:04:33,750
這個方法非常好用 而且不容易犯錯

95
00:04:33,750 --> 00:04:34,980
但是 接下來你會看到

96
00:04:34,980 --> 00:04:38,050
求這種形式的向量的叉乘積

97
00:04:38,050 --> 00:04:41,270
將比較麻煩

98
00:04:41,270 --> 00:04:42,500
當然了 對於點乘

99
00:04:42,500 --> 00:04:43,330
還有其他做法

100
00:04:43,330 --> 00:04:44,050
你可以求出

101
00:04:44,050 --> 00:04:45,860
每個向量的模

102
00:04:45,860 --> 00:04:50,370
然後用三角學的知識

103
00:04:50,370 --> 00:04:52,500
求出θ 使用點乘定義式來計算

104
00:04:52,500 --> 00:04:55,540
說到這我相信你會認爲

105
00:04:55,540 --> 00:04:57,500
第一種方法是相對更簡單的

106
00:04:57,500 --> 00:04:59,210
所以做點乘是沒什麽難的

107
00:04:59,210 --> 00:05:01,350
現在來看如何做叉乘

108
00:05:01,350 --> 00:05:04,800
重申一下 這裡我不進行證明

109
00:05:04,800 --> 00:05:06,390
只是向大家介紹方法

110
00:05:06,390 --> 00:05:07,450
在以後的影片裏

111
00:05:07,450 --> 00:05:10,150
我相信大家總會讓我證明的

112
00:05:10,150 --> 00:05:11,070
那時候我會給出證明

113
00:05:11,070 --> 00:05:15,330
但是叉乘確實是更複雜一些

114
00:05:15,330 --> 00:05:18,110
並且我也從不希望用這種工程符號表示

115
00:05:18,110 --> 00:05:20,240
來做叉乘（太麻煩了）

116
00:05:20,240 --> 00:05:23,780
a x b就等於

117
00:05:23,780 --> 00:05:26,910
這時候要用到矩陣的知識了

118
00:05:26,910 --> 00:05:30,810
你需要取行列式

119
00:05:30,810 --> 00:05:33,030
先畫一條長行列式線

120
00:05:33,030 --> 00:05:34,260
在行列式的頂端-

121
00:05:34,260 --> 00:05:36,940
介紹這種方法只是讓你記住怎麽做

122
00:05:36,940 --> 00:05:38,740
沒有給很出直觀的解釋爲什麽要這麽做

123
00:05:38,740 --> 00:05:41,380
不過在叉乘的實際定義中直觀概念已經給出了

124
00:05:41,380 --> 00:05:44,030
那就是向量的哪部分是跟另一個正交的

125
00:05:44,030 --> 00:05:45,150
將這兩部分相乘

126
00:05:45,150 --> 00:05:46,770
這時右手定則來決定

127
00:05:46,770 --> 00:05:48,490
向量指向的方向

128
00:05:48,490 --> 00:05:51,590
如果給出的是工程表示

129
00:05:51,590 --> 00:05:55,480
在行列式第一行寫 i j k這三個單位向量

130
00:05:58,410 --> 00:06:02,340
然後寫叉乘中第一個向量

131
00:06:02,340 --> 00:06:03,630
因爲對叉乘來說向量順序是不能變的

132
00:06:03,630 --> 00:06:09,030
所以第二行是 5 -6 3

133
00:06:09,030 --> 00:06:11,900
然後寫第二個向量b

134
00:06:11,900 --> 00:06:17,180
所以第三行是 -2 7 4

135
00:06:17,180 --> 00:06:20,000
接下來要對這個3x3矩陣取行列式

136
00:06:20,000 --> 00:06:21,270
應該怎麽做呢？

137
00:06:21,270 --> 00:06:26,240
等於i的子行列式（即余子式）（未完）

138
00:06:26,240 --> 00:06:27,100
要求i的余子式

139
00:06:27,100 --> 00:06:29,040
去掉i所在的行和列

140
00:06:29,040 --> 00:06:30,580
行列式剩下的部分就是i的余子式

141
00:06:30,580 --> 00:06:38,780
-6 3 7 4（如影片所示）行列式乘i

142
00:06:38,780 --> 00:06:41,450
說到這如果你記不清如何做行列式運算

143
00:06:41,450 --> 00:06:42,740
最好複習一下行列式部分的知識

144
00:06:42,740 --> 00:06:47,580
看接下來的運算應該可以喚起你的學習記憶

145
00:06:47,580 --> 00:06:50,800
三個子行列式前的符號 是+ - +

146
00:06:50,800 --> 00:06:53,800
所以j的余子式符號是-

147
00:06:53,800 --> 00:06:55,480
那j的余子式是什麽呢

148
00:06:55,480 --> 00:06:57,550
去掉j所在的行和列

149
00:06:57,550 --> 00:07:01,470
就得到了5 3 -2 4（如影片所示）

150
00:07:05,000 --> 00:07:07,940
先去掉j所在的行與列

151
00:07:07,940 --> 00:07:09,000
不管剩下什麽

152
00:07:09,000 --> 00:07:11,550
這就是j的余子式中的數字

153
00:07:11,550 --> 00:07:13,220
我這麽稱呼

154
00:07:13,220 --> 00:07:18,500
j 然後+ 我想把這些都寫在一行裏

155
00:07:18,500 --> 00:07:19,440
看起來會整齊一點

156
00:07:19,440 --> 00:07:21,000
加k的余子式

157
00:07:21,000 --> 00:07:23,360
去掉k所在的行和列

158
00:07:23,360 --> 00:07:35,060
剩下的是5 -6 -2 7（如影片所示） 乘以k

159
00:07:35,060 --> 00:07:36,690
現在來計算一下

160
00:07:36,690 --> 00:07:39,300
先騰一些運算空間出來

161
00:07:39,300 --> 00:07:41,270
這些寫的太大了

162
00:07:41,270 --> 00:07:43,410
現在不需要這些了 擦掉

163
00:07:43,410 --> 00:07:45,360
那麽運算結果是什麽呢？

164
00:07:45,360 --> 00:07:49,650
來上邊這裡運算吧

165
00:07:49,650 --> 00:07:51,400
這些2x2行列式是蠻簡單的

166
00:07:51,400 --> 00:07:56,650
這個是-6x4-7x3

167
00:07:56,650 --> 00:08:00,510
這裡我經常粗心算錯 也給大家提個醒

168
00:08:00,510 --> 00:08:08,930
-24-21 乘i 減 5x4是20

169
00:08:08,930 --> 00:08:16,590
- -2x3 所以是--6 得到（20--6）j

170
00:08:16,590 --> 00:08:26,000
+5x7 得35 再減-2x（-6）

171
00:08:26,000 --> 00:08:29,830
所以是減12 得（35-12）k

172
00:08:29,830 --> 00:08:34,550
我們可以化簡一下 這裡等於-24-21

173
00:08:34,550 --> 00:08:39,710
是-35（算錯了 是-45） 其實不用放括號裏的

174
00:08:39,710 --> 00:08:43,840
然後是20--6

175
00:08:43,840 --> 00:08:46,690
也就是20+6 得到26

176
00:08:46,690 --> 00:08:47,970
前邊還有一個負號

177
00:08:47,970 --> 00:08:50,640
所以是-26j

178
00:08:50,640 --> 00:08:54,540
這裡是35-12 得到23

179
00:08:56,800 --> 00:08:59,050
這就是叉乘的結果

180
00:08:59,050 --> 00:09:00,770
如果在三維空間裏畫圖表示

181
00:09:00,770 --> 00:09:03,170
你會看到這個是非常有趣的

182
00:09:00,770 --> 00:09:06,970
如果我沒算錯的話（其實i分量算錯了）

183
00:09:06,970 --> 00:09:11,100
-35i-26j+23k 這個向量

184
00:09:11,100 --> 00:09:14,950
跟向量a和b都是垂直的

185
00:09:14,950 --> 00:09:18,400
現在我就講到這

186
00:09:18,400 --> 00:09:20,000
下段影片再見了

187
00:09:20,000 --> 00:09:22,230
希望我能找到一個向量畫圖程序吧

188
00:09:22,230 --> 00:09:24,360
那樣的話做點乘和叉乘運算

189
00:09:24,360 --> 00:09:27,080
就有趣多了

190
00:09:27,080 --> 00:09:30,100
用我剛教的方法運算然後畫出來看看

191
00:09:30,100 --> 00:09:31,550
看看結果是不是滿足我們預期

192
00:09:31,550 --> 00:09:36,330
看看是不是這個向量真的

193
00:09:36,330 --> 00:09:38,200
是像大家用右手定則判斷的那個方向一樣

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00:09:38,200 --> 00:09:41,900
跟兩個向量都垂直

195
00:09:41,900 --> 00:09:45,090
下段影片見